重庆市西南大学附属中学校2019届高三第九次月考数学(文)试题(附答案)

西南大学附属中学校高2019级第九次月考
数 学 试 题（文）
2019年4月
（全卷共150分，考试时间为120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3． 考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的． 1．
已知}2|{>=x x A ，{N |4}B x x =∈≤，则=B A I （ ）
A ．{|24}x x <≤
B ．{234}，，
C ．{34}，
D ．{|2}x x >
2．
已知i 是虚数单位，复数2i(1i)z =-+，则z 的虚部为（ ）
A ．2
B ．i 2-
C ．i 2
D ．2-
3．
一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的
概率是（ ） A ．9
5
B ．
53 C ．15
8 D ．32
4．
已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是20x y ±=，则该双曲线的离心率是
（ ） A 6 B 5
C ．2
D ．3
5．
一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余
下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（ ） A ．1∶3 B ．1∶4
C ．1∶5
D ．1∶6
6．
已知4.02=a ，2.09=b ，34(3)c =，则（ ）
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
7．
等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量a 45()a a =，，b 76()a a =，，且4=g a b ，
（第5题图）
1
1
俯视图
则
2122210
log log log
a a a
+++=
L（）
A．12B．10C．5D．
2
2log5
+
8．已知m、n、l是三条不同的直线，αβγ
、、是三个不同的平面，给出以下命题：
①若//
m n
αα
⊂，，则//
m n；②若m n l m l
αβαβαβ
⊂⊂⊥=⊥
I
，，，，，则m n
⊥；③若////
n m m n
αα
⊂
，，则；④若//////
αγβγαβ
，，则．其中正确命题的序号是（）A．②④B．②③C．③④D．①③
9．函数
1
()sin ln
1
x
f x x
x
-
=
+
g的大致图象为（）
A．B．C．D．
10．在三棱锥P ABC
-中，PA ABC
⊥平面，22
AB BC CA
===，且三棱锥P ABC
-的体积为
8
3
，若三棱锥P ABC
-的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．π
4B．
π
16
C．π8D．π
16
11．已知直线
1
360
l x y
+-=
：与圆心为(01)
M，，半径为5的圆相交于A，B两点，另一
直线
2
22330
l kx y k
+--=
：与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）A．2
5B．2
10C．)1
2
(5+D．)1
2
(5-
12．已知奇函数()
f x是定义在R上的单调函数，若函数2
()()(2||)
g x f x f a x
=+-恰有4个零点，则a的取值范围是（）
A．(1)
-∞，B．(1)
+∞
，C．(01]
，D．(01)
，
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13．已知x，y满足1
1
y x
x y
y
≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪
≥-
⎩
，则2
z x y
=+的最大值为．
14．若数列{}
n
a中，若
1
3
n n
a a
+
=+，
28
26
a a
+=，则
12
a=．
15．函数
ππ
()sin(2)cos(2)
36
f x x x
=++-的单调减区间为．
x
y 908070605040302010
16． 在区间[15]，和[26]，内分别取一个数，记为a 和b ，则方程
22
22
1()x y
a b a b -=<表示离心率小于5的双曲线的概率为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．
(本小题满分12分)设函数ππ
(3sin()(0)22
f x x ωφωφ=+>-
<<），的图象的一个对称中心为π
(0)12
，，且图象上最高点与相邻最低点的距离为2π124+． (1) 求ω和ϕ的值； (2) 若)2π0(4312π2
(<<=+
αα
）f ，求)4
π
cos(+α的值． 18．
(本小题满分12分) 如图，边长为2
的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED △，DCF △分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．
(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积． 19．
(本小题满分12分) 艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病
毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码x 1
2 3 4 5 6 7 8 感染者人数y
（单位：万人）
34.3
38.3
43.3
53.8
57.7
65.4
71.8
85
(1) 请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的
折线图；
(2) 请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系； (3) 建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019
年我国艾滋病病毒感染人数．
A
F
M
E
F
D
参考数据：42 6.48，8
1
449.6i i y ==∑，
8
1
2319.5i i
i x y
==∑8
21
()46.2i
i y
y =-=∑．
参考公式：相关系数1
22
1
1
()()
()()n
i
i i n
n
i
i i i x
x y y r x
x y y ===--=
--∑∑∑，回归方程ˆˆˆy
bx a =+中， 1
2
1
()()
ˆ()n
i
i i n
i
i x
x y y b
x
x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-． 20．
(本小题12分) 已知椭圆()22
2210x y C a b a b
+=>>：的短轴长等于23，右焦点F 距C
最远处的距离为3． (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r
，求四边
形AOBE 面积S 的最大值．
21．
(本小题12分) 设函数2()ln 21f x x x ax =+++．
(1) 当3
2
a =-时，求()f x 的极值；
(2) 若()f x 的定义域为(2)a ++∞，，判断()f x 是否存在极值．若存在，试求a 的取值范围；否则，请说
明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分． 22．
(本小题满分10分) 【选修4—4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()33π
ρθ-l 与x 轴交于点M ．
(1) 求l 的直角坐标方程和点M 的极坐标；
(2) 设l 与C 相交于A ，B 两点，若||||||MA AB MB ，
，成等比数列，求p 的值． 23．
(本小题满分10分) 【选修4—5：不等式选讲】
已知函数()|2|()|3|f x x g x x m =-=-++，．
(1) 解关于x 的不等式()10()f x a a +->∈R ；
(2) 若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围．
西南大学附属中学校高2019级第九次月考
数学试题参考答案（文）
2019年4月
一、选择题：
1—5 CDBBA 6—10 ACABD 11—12AD 二、填空题：
13. 3 14. 34 15. Z k k k ∈+
+],12
7,12
[πππ
π 16. 15
32
三、 解答题：
17．解：(1) 由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为
124
2
+π
得4
1212||2
2πωπ+=+）（∴2=ω……………………………3分 Θ函数)sin(3(ϕω+=x x f ）的图象的一个对称中心为）
，（012π
∴Z k k ∈=+⨯
,12
2πϕπ
………………5分
Θ2
2
π
ϕπ
<
<-
∴6π
ϕ-
=
………………6分
(2) 由 (1) 知：)
62sin(3(π
-
=x x f ） ∴43sin 3]6
)12
2
(
2sin[312
2
(
=
=-
+
=+
απ
π
α
π
α
）f
∴41
sin =
α
Θ20πα<<∴415cos =
α ∴82
30411522)cos sin 22)4cos(-=
-⨯=-=+ααπα（
…………12分 18．解：(1) 证明： Θ在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，BC CD ⊥
∴在三棱锥DEF M -中MF MD ⊥，ME MD ⊥且M MF ME =I ∴MEF MD 面⊥∴EF MD ⊥ …………6分
(2) ΘF E 、分别BC AB 、边的中点
∴1==BF BE
∴2
11121=⨯⨯==∆∆BEF MEF S S
85
71.8
65.4
57.7
53.8
43.3
38.334.3
y(万人）x
908070
605040
30
20
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
∴由（1）知MD S V MEF DEF M ⋅=∆-3122
131⨯⨯=31
=………12分
19．解：(1) 如右图………………………………2分
(2) Θ2.56,2
9
==
y x 3.2968)()(8
1
8
1
=-=
--∴
∑
∑
==y x y x y y x x i i i i i i
∑∑∑∑====--=
--8
1
2
81
2
81
8
1
2
2
)
()()()(i i
i i
i i i
i
y y
x x y y
x x
376
.2992.4642=⨯=∴99
.0)()()
)((11
2
2
1
≈----=
∑∑∑===n
i n
i i
i
n
i i i
y y
x x
y y x x
r
具有强线性相关关系………………………………………………………………6分
(3) Θ,05.742
3.296)()
()(1
2
1
≈=---=
∑∑==Λ
n
i i
i n
i i
x x
y y x x
b
48.245.405.72.56≈⨯-=-=Λ
Λx b y a
48.2405.7+=∴Λ
x y ……………………………………………………………………10分 当9=x 时，93.8747.24905.7=+⨯=y
∴预测2019年我国艾滋病感染累积人数为93.87万人………………………12分
20．解：(1) 由已知得23b =，2
2
2
3c b a ,c a +==+
22
143
x y C ∴+=所求椭圆的方程为 …………4分
(2) 设:1l x ty =+，则由l 与C 的方程消x 得：
()2234690t y ty ++-= …………5分 设()()1122A x y B x y 、、、，122122634934t y y t y y t -⎧
+=
⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
AOBE Q 为平行四边形
4
31
1222
221++=-==∴t t y y S S AOB
∆ …………9分 112≥=+m t 令m
m m m S 3
141
3122
+=
+=得
由双勾函数的单调性易得当1=m 即时，
0=t 3=max S …………12分 21．解：(1) Θ0>x ∴定义域为）
，（∞+0 当2
3-
=a 时函数），（013ln )(2
>+-+=x x x x x f ，321)(-+='x x x f
03210)(=-+='x x x f ，即令， 21
1==x x 或解得
单调递增，单调递增，在，，在)12
1
(),1()210()(易知+∞x f
4
1
21ln 2111)(-=-=处取得极大值，在处取得极小值在函数x x x f ………………4分
(2) ）
（01
22221)(2>++=++='x x
ax x a x x x f 令0)(='x f 即01222=++ax x
令122)(2
++=ax x x g ，则对称轴2
a x -
= Θ02≥+a ∴ 2-≥a ………………………………………………5分 ① 当22+≤-
a a ，即3
4-≥a 时 1)2(2)2(2)2(2++++=+a a a a g 091242≥++=a a 恒成立
∴)(x f 在）
，（∞++2a 无极值点. ………………………………………………6分 ② 当22+>-
a a ，即34-<a ，∴3
42-<≤-a 1)2(242)2(2
+-+⨯=-a a a a g 122+-=a ………………………………………7分
当0122≥+-a 时，0)('≥x f 恒成立，)(x f 无极值. …………………………8分
当012
2
<+-a 时，有22>-<a a 或
∴22-<≤-a
存在)2,2(1a a x -+∈，使得0)(1=x f ，存在)2
(2∞+-∈，
a
x ，使得0)(2=x f Θ01)2(2)2(2)2(2
>++++=+a a a a g ， 01)2
(242)2(2
<+-+⨯=-a
a a a g
当+∞→x 时，0)(>x g
∴当),2(1x a x +∈时，0)('>x f ，当)(21x x x ，∈时，0)('<x f ，当)(2∞+∈，x x 时，0)('>x f ， 22-<≤-a 有极值
综上所述，22-<<-a ………………………………………………………12分
22．解：(1) 由2sin()33
π
ρθ-sin 3cos 3,33y x ρθρθ-==
∴ l 的直角坐标方程33y x =+ 令0y =得点M 的直角坐标为(1,0)-， ∴点M 的极坐标为(1,)π…………5分 (2) 由 (1) 知l 的倾斜角为3π，参数方程为112,3x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入22y px =
得23480,t pt p -+=121248,33
p p t t t t ∴+=
=
22212121212||||||,(),()5AB MB MA t t t t t t t t =⋅∴-=∴+=Q 24815
(
)5,332
p p p ∴=⨯∴=……………………………………………………………10分 23．解：(1) 不等式f(x)＋a －1＞0，即|x －2|＋a －1＞0，
当a ＝1时，解集为x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a ＞1时，解集为全体实数R ；
当a ＜1时，∵|x －2|＞1－a ，∴x －2＞1－a 或x －2＜a －1，∴x ＞3－a 或x ＜a ＋1， 故解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)．……………………….5分
(2) f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，即为|x －2|＞－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，
即|x －2|＋|x ＋3|＞m 恒成立．
又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x－2)－(x ＋3)|＝5，于是得m ＜5， 即m 的取值范围是(－∞，5)．………………………………10分。