【学案导学设计】2020-2021学年高中数学(人教A版,必修五)作业：2.4 等比数列(2)

§2.4 等比数列(二)
课时目标
1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．
2．把握等比数列的性质，能用性质机敏解决问题．
1．一般地，假如m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特殊地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .
2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的挨次排列，所得的新数列仍为等比数列．
3．假如{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n
a n
}，{|a n |}仍是等比
数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2
q 1
，|q 1|.
一、选择题
1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C
解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，
∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10
.
∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，
∴m －1＝10，∴m ＝11.
2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B
解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.
3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c
n
＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 答案 C
解析 设等比数列公比为q .
由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c
2
，
则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q
＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 答案 A
解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2
＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 3
8＝10，∴a 8＝310. ∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013
， 又∵数列{a n }各项为正数，
∴a 5＝501
6
.
∴a 4a 5a 6＝a 35
＝5012
＝5 2. 5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( ) A.43 B.34 C ．2 D ．343 答案 A
解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 3
5＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，
∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)
＝log 3a 45＝log 3343＝4
3
. 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7
等于( )
A.56
B.65
C.23
D.32 答案 D
解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1， 由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.
∴a 5＝6，a 4＋a 6＝
6
q
＋6q ＝5. 解得q ＝26
，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝3
2.
二、填空题
7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________. 答案 4
解析 由题意知，q 4＝a 5
a 1
＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.
8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6 解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，
∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2
＝(a 1＋6)a 1，
解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.
9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2.
插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.
10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则
a 2－a 1
b 2
的值是________．
答案 12
解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，
则a 2－a 1＝d ＝1
3[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则
b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.
∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12
.
三、解答题
11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，
则由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝x (18－y )
2(18－y )＝y ＋(21－x )，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
y ＝6
或⎩⎨⎧
x ＝75
4，
y ＝45
4
.
故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，9
4
.
12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列． 证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n . 要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·
c 3成马上可． 事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，
c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)
＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2
)．
由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 力量提升
13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D
解析 依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
2b ＝a ＋c ， ①a 2
＝bc ， ②
a ＋3
b ＋
c ＝10， ③
①代入③求得b ＝2.
从而⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝4，
a 2＝2c ⇒a 2＋2a －8＝0，
解得a ＝2或a ＝－4.
当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，
∴a ＝－4.
14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：
①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4
a
依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式． 解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝32
9
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩
⎨⎧
a 1＝13a 6＝323求⎩
⎨⎧
a 1＝32
3a 6＝13
当⎩⎨⎧ a 1＝1
3a 6
＝32
3
时q ＝2
∴a n ＝13·2n －1
23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49
成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1
当⎩
⎨⎧
a 1＝
323a 6＝
1
3
时q ＝12，a n ＝13·26－n
23a 2＋a 4＋49
≠2a 23， ∴不符合题意，
∴通项公式a n ＝13
·2n －1
.
1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．
2．假如证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2
n ＋1≠a n ·a n ＋2.
3．巧用等比数列的性质，削减计算量，这一点在解题中也格外重要．。