华师版数学九年级下册教案-第27章 圆-27.1. 3 圆周角

3圆周角(第4课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题．

2．理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质．

3．体会分类、归纳的数学思想方法，提高解决实际问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质．

【教学难点】

探究并论证圆周角定理及其推论．

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P40～P44的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2．半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.

3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.

4．圆周角定理的推论1：90°的圆周角所对的弦是直径．

5．如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做圆内接多边形.

6．圆周角定理的推论2：圆内接四边形的对角互补.

7．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，则∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°.若BD是直径，则∠BAD＝∠BCD＝90°.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝110°，

则∠CBE 的度数是________.

【教师点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠D ＋∠CBA ＝180°.由∠CBA ＋∠CBE ＝180°，可得∠D ＝∠CBE ＝110°.

【答案】110°

【例2】如图，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径．求证：∠BAE ＝∠CA D.

【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAE ＝∠CAD →由AD ⊥BC ，AE 是直径，考虑在△ADC 和△ABE 中证明→利用圆周角定理的推论1及等角的余角相等进行证明．

【证明】连结BE . ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠E ＝90°. ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＋∠C ＝90°.

∵AB ︵

是∠E 和∠C 所对的弧， ∴∠E ＝∠C (圆周角定理)．

∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CA D.

【互动总结】(学生总结，老师点评)涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．

活动2 巩固练习(学生独学)

1．在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为( C ) A ．25° B ．50° C ．25°或155°

D ．50°或130°

2．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠C ＝35°，则∠AOB 的度数为70°.

3．如图，A 、B 、C 为⊙O 上的任意三点，若∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数为130°.

4．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．

解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.

∵∠ACD ＝25°，∴∠B ＝∠ACD ＝25°， ∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.

5．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，直径AD ＝6 cm ，∠DAC ＝2∠B ，求AC 的长．

解：连结O C.

∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ， ∴∠AOC ＝∠DAC ，∴CO ＝A C. 又∵OA ＝OC ，∴AO ＝AC ＝OC ， ∴△AOC 是等边三角形， ∴AC ＝AO ＝1

2AD ＝3 cm.

活动3 拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点(在直径AB 的同一侧)，且BC ︵

＝CD ︵

，弦AC 、BD 相交于点P ，如果∠APB ＝110°，求∠ABD 的度数．

【互动探索】连结CD 、CB ，首先求出∠CBD 的度数，进而求出∠CAB 的度数，最后求出∠ABD 的度数．

【解答】如图，连结CD 、C B. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠APB ＝∠DPC ＝110°， ∴∠CBD ＝∠DPC －∠ACB ＝20°. ∵BC ︵ ＝CD ︵ ， ∴BC ＝CD ，

∴∠CBD ＝∠CDB ＝20°， ∴∠CAB ＝∠CDB ＝20°，

∴∠ABD ＝180°－∠APB －∠CAB ＝50°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，求出∠CBD 的度数．

【例4】如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，且∠BAC ＝20°，AD ︵ ＝CD ︵ .请连结线段CB ，求四边形ABCD 各内角的度数．

【互动探索】利用圆周角定理的推论2求出∠D 的度数，再根据等弧与所对的圆周角相等求出∠DAC 、∠DCA 的度数，从而求出其他角的度数．

【解答】如图，连结B C. ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∵∠BAC ＝20°，

∴∠B ＝90°－∠BAC ＝70°.

∵四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，