全国统一高考数学练习卷及含答案 (5)

普通高等学校招生全国统一考试
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是
()A．120B．168C．204
D．2162.不等式|x+log2x|<|x|+|log2x|的解集为
()A．(0,1)B．(1,+∞)C．(0,+∞)D．(-∞,+∞)
3.已知α、β以及α+β均为锐角，x=sin(α+β),y=sinα+sinβ,z=cosα+cos β,那么x、y、z 的大小关系是(
)A．x<y<z B．y<x<z C．x<z<y D．y<z<x
4.过曲线xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是
()
A．a2B．
C．2a2D．不确定5.若
展开式的第3项为144，则的值是()A．2B．1C．D．0
6.正四面体的内切球和外接球的半径分别为r 和R，则r:R 为()
A．1：2B．1：3C．1：4
D．1：97.已知椭圆的中心在原点，离心率
且它的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，则此椭圆的方程为（
）A．
B．C．D．22a 9)21(0x -)1211(lim 20---→x x x x 2113422=+y x 16822=+y x 1222
=+y x 14
22=+y x
8.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1市场供给量单价
（元/kg）
2
2.4 2.8
3.2 3.64
供给量
（1000kg）
50
6070758090表2市场需求量单价
（元/kg）
4
3.4 2.9 2.6 2.32需求量
（1000kg）50
6065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（）
A.（2.3，2.6）内
B．（2.4，2.6）内C.（2.6，2.8）内D．（2.8，2.9）内
9.椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）
A．41
B．21C．2D．4
10.若曲线
x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P 的坐标为（）A．（1，3）
B．（-1，3）C．（1，0）D．（-1，0）
11.已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在（-∞，]0上是减函数，若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是（）
A．a≤2
B．a≤-2或a≥2C．a≥-2D．-2≤a≤2
12.如图，E、F 分别是三棱锥P-ABC 的棱AP、BC 的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（
）
A．60°B．45°C．0°D．120°
二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）
1.“面积相等的三角形全等”的否命题是______命题（填“真”或者“假”）
2.已知βαβαββα+=++⋅+=则为锐角且,,,0tan )tan (tan 3)1(3tan m m 的值为_____
3.某乡镇现有人口1万，经长期贯彻国家计划生育政策，目前每年出生人数与死亡人数分别为年初人口的0.8%和1.2%，则经过2年后，该镇人口数应为_____万.（结果精确到0.01）
4.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689）.则五位“渐升数”共有____个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为______.
三、大题：(满分70分)
1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t
y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪
+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
2cos sin 110ρθθ+=
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
2.已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：（1）222
111a b c a b c ++≤++；
（2）
333()()()24a b b c c a +++≥++．3.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
4.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
5.已知直线l 的极坐标方程为，圆C 的参数方程为为参数）．
（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线l被圆截得的弦长．
6.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．
参考答案：
一、选择题：
1-5题答案:BAACC
6-10题答案:BACAC
11-12题答案:BA
二、填空题：
1、真
2、3
3、0.99
4、126,24789
三、大题：1.解：（1）因为2
21111t t --<≤+，且
()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l
的直角坐标方程为2110x +=.
（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.
C 上的点到l
π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l
.
2.解：（1）因为
2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++.所以222
111a b c a b c ++≤++.
（2）因为, , a b c 为正数且1abc =
，故有
333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)
a b b c a
c 3≥⨯⨯⨯=24.
所以
333()()()24a b b c c a +++++≥.
3．解：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，
故11B C ⊥BE ．
又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．
（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知11Rt Rt ABE A B E ≅△△，所以45AEB ∠=︒，故AE AB =，12AA AB =．
以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系
D-xyz，
则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,1,1)CE =- ，1(0,0,2)CC = ．
设平面EBC 的法向量为n=（x，y，x），则
0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,0,
x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n=(0,1,1)--.
设平面1ECC 的法向量为m=（x，y，z），则
10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即20,0.
z x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取m=（1，1，0）．于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．
所以，二面角1B EC C --的正弦值为2．
4．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 5.参考答案：（1）由，得，∴y ，即．圆的方程为x2+y2＝100．（2）圆心（0，0）到直线
的距离d ，y＝10，
∴弦长l ．6.参考答案：（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD 为矩形，
∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P 是DF 的中点，∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），
设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，
则cosθ，
∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．
（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），
设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），
（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），
设平面APC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，），
平面ADF的法向量（1，0，0），
∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，
∴|cos|，
解得，∴P（0，，），
∴PF的长度|PF|．。