二元一次方程的应用教案

二元一次方程组的应用

适用学科初中数学适用年级初中一年级

适用区域浙江温州（浙教版）课时时长（分钟）120分钟

知识点二元一次方程组的应用

教学目标学会列二元一次方程组解应用题

教学重点二元一次方程组应用题的解法与步骤

教学难点找出题中的等量关系，列出方程

教学过程

一、问题引入

我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有▲ 只，兔有▲ 只．

要解决这一问题，我们可以从以下几个方面进行思考：

（1）问题中所求的未知数有几个？

（2）用哪些等量关系？

（3）怎么设未知数？可以列出几个方程？

（4）本题能用一元一次方程求解吗？用列二元一次方程组的方法求解，有什么优点？

【答案】22，11

【解析】解：设鸡有x只，兔子有y只，由题意得，

∴鸡有22只，兔子有11只.

当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母表示未知数往往比较容易列出方程。要注意的是必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元一次方程组。在本题的求解进程中，我们经历了哪些问题解决的基本步骤？

二、知识讲解

知识点1.列方程组解应用题的基本思想

关键是找等量关系，有几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：

（１）方程两边表示的是同类量；

（２）同类量的单位要统一；

（３）方程两边的数值要相等；

知识点2.列方程组解应用题的一般步骤

一般步骤可分五步：

1、审题，弄清题意及题目中的数量关系；

2、设未知数，可直接设元，也可间接设元；

3、列出方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组；

4、解所列方程组，并检验正确性；

5、写出答案；

三、例题精析

【例题1】

【题干】雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置

8000人．则该企业捐助甲、乙两种型号的帐篷各多少顶？

【答案】甲种1000顶，乙种500顶。

【解析】分析：等量关系有：①甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数=1500顶；②甲种帐篷安置的总人数+乙种帐篷安置的总人数=8000人，进而得出答案．

解：根据甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，得方程x+y=1500；根据共安置8000人，得方程6x+4y=8000．

列方程组为：．解得

1000

500

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，

答：甲种1000顶，乙种500顶。

【例题2】

【题干】夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，

将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费7

元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在

调价前每瓶各多少元？

【答案】调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元．【解析】分析：先设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，列

出方程组，求出解即可．

解：设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据题意得：，

解得：．

答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元．

【例题3】

【题干】为了抓住2013年凉都消夏文化节的商机，某商场决定购进甲，乙两种纪念品，若

购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种纪念品2件，乙

种纪念品3件，需要280元．

（1）购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？

（2）该商场决定购进甲乙两种纪念品100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于

购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时又不能超过6430元，则该商场共有几

种进货方案？

（3）若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）

问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）购进甲乙两种纪念品每件各需要80元和40元；（2）11种；（3）购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件时，可获最大利润，最大利润是2280元．

【解析】分析：（1）设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元，根据购进甲种纪念品1

件，乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需

要280元列出方程，求出x，y的值即可；

（2）设购进甲种纪念品a件，则乙种纪念品（100﹣a）件，根据购进甲乙两种纪

念品100件和购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时又不能超过6430元列

出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出进货方案；

（3）根据实际情况计算出各种方案的利润，比较即可．

解：（1）设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元，根据题意得：

，解得：，

答：购进甲乙两种纪念品每件各需要80元和40元；

（2）设购进甲种纪念品a件，则乙种纪念品（100﹣a）件，根据题意得：

，

解得：50≤a≤，

∵a只能取整数，a=50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，

∴共11种进货方案，

方案1：购进甲种纪念品50件，则购进乙种纪念品50件；

方案2：购进甲种纪念品51件，则购进乙种纪念品49件；

方案3：购进甲种纪念品52件，则购进乙种纪念品48件；

方案4：购进甲种纪念品53件，则购进乙种纪念品47件；

方案5：购进甲种纪念品54件，则购进乙种纪念品46件；

方案6：购进甲种纪念品55件，则购进乙种纪念品45件；

方案7：购进甲种纪念品56件，则购进乙种纪念品44件；

方案8：购进甲种纪念品57件，则购进乙种纪念品43件；

方案9：购进甲种纪念品58件，则购进乙种纪念品42件；

方案10：购进甲种纪念品59件，则购进乙种纪念品41件；

方案11：购进甲种纪念品60件，则购进乙种纪念品40件；

（3）因为甲种纪念品获利最高，

所以甲种纪念品的数量越多总利润越高，

因此选择购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件利润最高，

总利润=60×30+40×12=2280（元）

则购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件时，可获最大利润，最大利润是2280