历年专升本高等数学试题

2007年成人高考专升本数学模拟试题
一、选择题 （5×10分=50分）
1.∞
→n lim (1+2n )-n =( ) A. 0 B e -2 C e 2 D 2e -2
2. 下列函数在（-∞，+∞）内单调递减的是（ ）
A y=-x
B y=x 2
C y=-x 2
D y=cosx
3. 设y=x -12 +5,设y ／=( )
A -12 x -32
B -12 x 12
C -12 x -32 +5
D -12
x -12 +5 4. 曲线y=x 3-6x+2的拐点坐标（ ）
A （0,4）
B （0,2）
C （0,3）
D (0,-2)
5. ⎠⎛cosx dx 等于( )
A –sinx+c
B sinx
C cosx+c
D –cosx
6. ⎠⎛0
1
xe x dx 等于（ ）
A 1
B 2
C 12
D -1
7. ⎠⎛0
2
（x 2+4x ）dx =( )
A 323
B 11
C 0
D 5
8. 设函数z=e x +y ,则dz dx =( )
A 12 e x +y (1 x dx+1 y
dy) B 2e x +y (1 x dx+1 y
dy) C 12 e x+y (1x dx+1y
dy) D -12 e x +y (1 x dx+1 y
dy)
9. 若cotx 是f(x)一个原函数，则f(x)等于（ ）
A csc 2x
B -csc 2x
C sec 2x
D -sec 2x
10.对于任意两个事件A 和B ，下面结论正确的是（）
A 若A
B ≠Ø，则事件A 、B 一定独立 B 若AB ≠Ø，则A 、B 可能独立
C 若AB ＝Ø，则A 、B 一定独立
D 若AB ＝Ø，则A 、B 一定不独立
二、填空题（4分×10=40分）
11. 3
lim →x (2x 2-5x+4）= 12. 0
lim →x sin5x 2x = 13.设函数y=x lnx
,求y //= 14.y=x 3拐点坐标是
15.⎠⎛xex 2dx =
16.⎠⎛0
1
xe x dx =
17. ⎠⎛0
∏4
tan 2θd θ =
18.设二元函数y=sin(x 2+y 2),则dy dx = 19.已知z ＝arcsin(xy),dz=
20.曲线y=e -x 在点（0,1）处的切线斜率k=
三、解答题（70分）
21.计算1lim -→x x 2-2x-3x 2-1
(8分) 22.设函数Z=e y(x2+y2) 求dz=（8分）
23. ⎠
⎛xsin(x 2+1)dx （8分） 24.⎠⎜⎛1
e
lnx x
dx （8分） 25.
（1（2）求x 的期望EX
26.求函数f(x,y)=4(x-y)-x 2-y 2的极值 （10分）
27.（1）求直线y=2x y=x x=2 x=4所围成的平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 （5分）
（2
2+1 所围成的平面图形的面积S
如图所示
28.设Z ＝Z （x,y ）由下面方程所确定，试求dz yz 2-xz 3-1=0 （10分）
2007年成人高考本科数学模拟试题参考答案
一、选择题（5×10分=50分）
1. B
2. A
3. A
4. B
5. A
6. B
7. A
8. A
9. B 10 B
二、填空题（4分×10=40分）
11. 7 12. 52 13. 1xln 3x (2-lnx) 14. (0,0) 15. 12
ex 2+C 16. 1 17. 1- ∏4 18. 2xcos(x 2+y 2) 19. 1 1-x 2y 2
(ydx+xdy) 20. -1 三、解答题（21、22、23、24、25每个题各8分；26、27、28各10分，共70分）
21. 1lim -→x x 2-2x-3x 2-1 =1lim -→x （x-3）(x+1)(x-1)(x+1) =1lim -→x (x-3)(x-1) = lim -4-2
=2
22.dz=de y(x2+y2)=e y(x2+y2)d (yx2+y3)=e y(x2+y2)(x 2dy+2xydx+3y 2dy)
= e y(x2+y2)[2xydx+(x 3+3y 2)dy]
23. ⎠⎛sin(x 2+1)dx =12 ⎠⎛sin(x 2+1)d(x 2+1) =- 12
cos(x 2+1)+C 24. ⎠⎜⎛1
e lnx x dx =12 lin 2x ⎠⎛1e =12 25.(1) 0.2+a+0.4=1 a=0.4
(2) Ex=1×0.2+2×0.4+4×0.4=2.6
26.解: az ax
=4-2x=0 x=2
az ax =-4-2y=0 y=-2
可解得 A=-2
B=0 C —2
B 2-AC=-4﹤0,A=-2﹤0
∴f(2,-2)=8 为极大值 27.（1）Vx=⎠⎛24 π (2x)2dx -⎠⎛24
πx 2
=π⎠⎛243x 2dx =πx 3⎠⎛2
4 =56π (2)S=⎠⎛01(-x 2+1) dx+⎠⎛12(-x 2+1)2dx =(-x 3
3 +x) ⎠⎛01+(x 33 -x) ⎠⎛1
2=2
28.F(x,y,z)=yz 2-xz 3-1
zF zX =-z 3, zF zy =z 2, zF zz
=2yx-3xz 2 zz zX =-Fx Fz =z 2
2y-3xz
zz zy =-Fy Fx =-z 2y-3xz
Dz=z 22y-3xz dx - -z 2y-3xz dy
2010年成考专升本高等数学试题一
【模拟试题】
一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

*1. 设函数f x x x x ()[)=-+∈+∞2442，，，g x ()是f x ()的反函数，则（ ）
A. g x x ()=-2
B. g x x ()=+2
C. g x x ()=--2
D. g x x ()=-+2
令y f x x x x ==-+=-()()22442
⇒-=⇒=+x y x y 22，反函数为y x =+2，选B
*2. 若x 0是f x ()的极值点，则（ ）
A. f x '()0必定存在，且f x '()00=
B. f x '()0必定存在，但f x '()0不一定等于零
C. f x '()0可能不存在
D. f x '()0必定不存在
应选C 。

例：y x =在x =0处取得极小值，但该函数在x =0处不可导，而f '()0不存在
*3. 设有直线
x y z 043
==-，则该直线必定（ ） A. 过原点且垂直于x 轴
B. 过原点且平行于x 轴
C. 不过原点，但垂直于x 轴
D. 不过原点，且不平行于x 轴 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为{} l =-043，，，x 轴的正向方向向量为{}
v =100，，， l v l v ⋅=⨯+⨯+-⨯=⇒⊥1040300()，故直线与x 轴垂直，故应选A 。

*4. 幂级数a x n n
n =∞∑0在点x =2处收敛，则级数()-=∞
∑10n n n a （ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与a n 有关
a x n n n =∞∑0在点x =2处收敛，推得对∀∈-x 022()，，a x n n n 00=∞
∑绝对收敛，特别对x 01=-有a x a n n n
n n n =∞=∞∑∑=-00
1()绝对收敛，故应选A 。

5. 对微分方程y y y e x '''++=-32，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是（ ）
A. y Ae x *=-
B. y Ax B e x *()=+-
C. y Axe x *=-
D. y Ax e x *=-2
二. 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。

*6. x x x x x
→+∞++-=lim
/3321_________________. x x x x x x x x
x →+∞→+∞++-=++-=lim
/lim /()332312111111 7. 设y e x x
=+12
，则y '=_________________. *8. 设F x e dt n t x x ()()-=⎰22
，则F x n ()()=_________________. 解：F x F x e dt xe e n n t x
x x x ()()()(())'()'--===-⎰12222 F x F x xe e e x e e x e e e n n x x x x x x x x
()()()(())'()'
==-=+-=+--1222244222222
*9. dx x x
e 112
+=⎰ln _________________. 解dx x x d x x x e e e 11121111
222
+=++=+⎰⎰ln (ln )ln ln =-=-232231()
10. 设z x y =
++12122ln()，则dz ()11，=_________________. *11. 已知{}{} a b ==-121211，，，，，，则过点M 0111()，，且同时平行于向量 a 和 b 的平面的方程为_________________.
学海无涯苦作舟！ 面的法向量为 n a b i j k i j k =⨯=-=+-1
2121
135 平面的方程为311510()()()x y z -+---=即3510x y z +-+=
12. 微分方程dy dx
y e x +=32的通解是_________________. *13. 幂级数()x n
n n -=∞
∑1920的收敛区间是_________________. 解：令u x x n n
n ()()=-19
2，u x x n n n +++=-122119()() n n n n n n n n u x u x x x x →∞+→∞++=-⋅-=-lim
lim ()()()()
()122122199119 由()x -<19
12
解得，-<<24x ，于是收敛区间是()-24， 14. 设 a i j k =++2，则与 a 同方向的单位向量 a 0=_________________.
*15. 交换二次积分I dx f x y dy x x
=⎰⎰()，201的次序得I =_________________. 解：积分区域如图所示：D ：y x y y ≤≤≤≤，01，于是
I dx f x y dy dy f x y dx y y x x ==⎰⎰⎰⎰()()，，01012
(1,1)
x
1
三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。

*16. 计算x x x
dx ++⎰(arctan )2
21 解：x x x dx ++⎰(arctan )2
2
1 =+++⎰⎰x x dx x x
dx 1122
2(arctan )
=+++⎰⎰1211222d x x
x d x ()(arctan )(arctan ) =+++12113
23ln()(arctan )x x c *17. 设f x e
x ()=-1
2，求h f h f h →+-011lim ()() 解：h f h f h f →+-=0
111lim
()()'() ==-=-e x e x x 1
311222()
18. 判定函数y x x =-3
2
3的单调区间 19. 求由方程yx t dt y
22010-+=⎰所确定的隐函数y y x =()的微分dy
*20. 设函数f x x f x dx e ()ln ()=-⎰1，求f x dx e
()1⎰
解：设A f x dx e =
⎰()1，则f x x A ()ln =-，两边求定积分得 A f x dx x A dx e e
==-⎰⎰()(ln )11
=--=-++(ln )x x x Ax Ae A e 11
解得：A e
=
1，于是 f x x e ()ln =-1 21. 判定级数()-+=∞∑121n n n n 的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？
22. 设z x y xy =+223sin ，求∂∂∂z x y
23. 求微分方程y y y xe x '''++=32的通解 *24. 将函数f x x ()arctan =2展开为麦克劳林级数
解：f x x x x n n '()(arctan )'()==+=-=∞∑221424220
=-+=∞∑()122102n n n n x （-
<<1212
x ）
f x f f t dt x dx n n n n x x ()()'()[()]-==-+=∞
∑⎰⎰012210200 =-=-+++=∞+=∞∑⎰∑()()1212212122102100n
n n n
n n n x n x dx n x 即f x x n x n n n n ()arctan ()==-++=∞+∑2122121
21 -≤≤1212x 25. 设d dx f x x
()21=，求f x '() 26. 求函数z x y =--122在条件y -
=120之下的最值。

*27. 求曲线y x x =+3
2
1()的渐近线 解：（1） x x y x x →∞→∞=+=∞lim
lim
()
321 ∴曲线没有水平渐近线
（2）x x y x x →-→-=+=∞11321lim
lim
()
，曲线有铅直渐近线x =-1 （3）x x y x x x a →∞→∞=+==lim
lim ()
2211 x x y ax x x x →∞→∞-=+-lim
lim
()(())3
2
1 =---+=-=→∞x x x x x x b lim
()
3322212 所以曲线有斜渐近线
y x =-2
*28. 设区域为D ：12022≤+≤≥x y y ，，计算dxdy x y D 422--⎰⎰ 解：积分区域如图所示（阴影部分） dxdy x y
d r r dr D 44222120--=-⎰⎰⎰⎰θπ =---⎰π121442
212r d r () =--=-ππ432212
r ()
y
x O
【试题答案】 一.
1. 令y f x x x x ==-+=-()()22442
⇒-=⇒=+x y x y 22，反函数为y x =+2，选B
2. 应选C 。

例：y x =在x =0处取得极小值，但该函数在x =0处不可导，而f '()0不存在
3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为{}
l =-043，，，x 轴的正向方向向量为
{}
v =100，，， l v l v ⋅=⨯+⨯+-⨯=⇒⊥1040300()，故直线与x 轴垂直，故应选A 。

4.
a
x n n
n =∞
∑0
在点x =2处收敛，推得对∀∈-x 0
22()，，a x n n
n 00
=∞
∑绝对收敛，特别对x 01=-有a x a n n n
n n n =∞=∞
∑∑=-0
1()绝对收敛，故应选A 。

5. r r 2320++=特征根为r r 1212=-=-，，由此可见α=-1（ e e e x x x --==()1α）是特征根，于是可设y xAe Axe x x *==--，应选C 。

二.
6.
x x x x x x x x
x →+∞
→+∞++-=++-=lim /lim /()33231211111
1 7. y e x e x x x x e x x e x x x x x
'()()'()()()()()=+-++=+-+=-+111121112222222
222
8. 解：F
x F
x e dt xe e n n t x
x x x ()
()
()(())'()'--===-⎰122
2
2
F
x F
x xe
e e x e e x e e
e n n x x x x x x x x
()
()()(())'()'
==-=+-=+--12
2
224422
222
2
9. 解dx
x x d x x
x e e e 11121111
222+=++=+⎰⎰
ln (ln )ln ln =-=-232231() 10.
∂∂z x x
x y =++122
，
∂∂z y y x y =++122⇒=+dz dx dy ()111313
，
（ dz z x
dx z y
dy y ()()
()
11111，，，=
+
∂∂∂∂）
11. 平面的法向量为
n a b i
j k
i j k =⨯=-=+-1
212
1
1
35 平面的方程为311510()()()x y z -+---=即3510x y z +-+= 12. 解：p x q x e x ()()==32，
通解为y e q x e dx c p x dx p x dx
=⎰
⎰+-⎰()()(()) =⎰⎰+-⎰e e e dx c dx x dx
323()
=+-⎰e e dx c x x 35()
=+-e e c x x 351
5()
=+-1
5
23e ce x x
13. 解：令u x x n n
n
()()=-192，u x x n n n +++=-122119()()
n n n n n n n n
u x u x x x x →∞
+→∞++=-⋅-=
-lim
lim ()()()()()122122
199119 由
()x -<1912
解得，-<<24x ，于是收敛区间是()-24， 14. a =++=1126222
，
a a a i j k 0161626
==
++ 15. 解：积分区域如图所示：D ：y x y y ≤≤≤≤，01，于是 I dx f x y dy dy f x y dx y
y x
x
==⎰⎰
⎰⎰()()，，0
1
1
2
(1,1) x 1
三.
x x +(arctan )2
=+++⎰⎰x x dx x x dx 1122
2
(arctan ) =+++⎰⎰1211222
d x x
x d x ()(arctan )(arctan ) =
+++1211
323ln()(arctan )x x c 17. 解：h f h f h
f →+-=0
111lim ()()
'() ==-
=-e
x e x x 13
1
12
22(
)
18. 解：y x x x x x '()()'
()=----3333223222
=--x x x 2222
93()
()
当-<<33x 时，y '>0，函数单调增加；当x <-3或x >3时，y '<0，函数单调减少，故函数的单调递减区间为()()-∞-⋃+∞，，33，单调递增区间为()-33， 19. 解：方程两边对x 求导（注意y y x =()是x 的函数）： y x xy y y ''22210+-+⋅= 解得 y xy y x
'=
+-212
2
⇒==+-dy y dx xy y x
dx '212
2
20. 解：设A f x dx e
=
⎰()1
，则f x x A ()ln =-，两边求定积分得
A f x dx x A dx e e ==-⎰⎰()(ln )1
1
=--=-++(ln )x x x Ax Ae A e
11
解得：A e =
1
，于是 f x x e
()ln =-1
21. 解：（1）先判别级数()-+=+=∞
=∞
∑
∑
112
2
1
1
n n n n n
n n
的收敛性
令u n n
n n v n n =
+>
+=
+11111
22
()∆
v n n n n =∞
=∞
∑∑
=+11
1
1发散 ∴=+=∞
=∞
∑
∑u n n
n n n 12
1
1
发散
（2）由于所给级数是交错级数且 <1>u n n
n n u n n =
+>
+++=+11112
2
1()()
<2>n n u →∞=lim 0
由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。

22. 解：∂∂z
x
x y y =+223sin
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂2232z x y y z x y x y y ==+()(sin ) =+4322xy y y cos
23. 先求方程y y y '''++=320的通解：
特征方程为 r r 2320++=，特征根为r 11=-，r 22=-，于是齐次方程通解为 y c e c e x x =+--122 (1)
方程中的f x xe xe x x ()==α，其中α=1不是特征根，可令 y ax b e x *()=+
则y ax a b e x *'()=++，y ax a b e x *''()=++2 代入原方程并整理得
()656ax a b e xe x x ++=⇒=61a ， 560a b +=⇒=
=-a b 165
36
， y x e x *()=-165
36
(2)
所求通解为 y y y c e c e x e x x x =+=++---*()122165
36
24. 解：f x x x x n n '()(arctan )'()==+=-=∞
∑22
14242
20
=-+=∞
∑()122102n n n n x （-
<<1212
x ） f x f f t dt x dx n n n n x
x
()()'()[()]-==-+=∞
∑⎰⎰012210
20
=-=-+++=∞
+=∞
∑⎰
∑()()12
122121
2210
21
n
n n
n
n n n x
n x dx n x
即f x x n x n
n n n ()arctan ()==-++=∞
+∑21221210
21 -≤≤1212x 25. 解：因
d dx f x f x x ()'()222=⋅由d dx f x x ()21
=得 f x x
'()2212=，从而f x x '()=1
2
26. 解：把条件极值问题转化为一元函数的最值
z x x x ()=--
=-1143
4
22 当x =0时，函数取到最大值
32
当x =±
3
2
时，函数取到最小值0 27. 解：（1） x x y x x →∞
→∞
=
+=∞lim lim ()3
2
1
∴曲线没有水平渐近线 （2）
x x y x x →-→-=
+=∞1
1
3
2
1lim lim ()，曲线有铅直渐近线x =-1
（3）
x x y x x x a →∞
→∞=+==lim lim ()22
11
x x y ax x x x →∞
→∞
-=
+-lim lim
()(()
)321 =
---+=-=→∞
x x x x x
x b lim ()3322
212
所以曲线有斜渐近线 y x =-2
28. 解：积分区域如图所示（阴影部分）
dxdy x y
d r r
dr D
4422
2
1
2
--=-⎰
⎰⎰⎰
θπ
=-
--⎰π121
442
21
2
r d r ()
=--=-ππ43221
2r ()
y
x O
2009 上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题
考生类别（文、理）
一、
选择题（每题3分，共15分）
1. =⎪⎭
⎫
⎝⎛-++∞→x
x x x 121lim ____C_____。

A. 0 B. ∞+ C. 不存在 D. 2
1e
2. 两个无穷大的和一定是___D____。

A. 无穷大量
B. 常数
C. 没有极限
D. 上述都不对
3. 在抛物线2x y =上过____D_______点的切线与抛物线上横坐标为11=x 和
32=x 的两点连线平行。

A. )1,1(
B. )9,3(
C. )0,0(
D. )4,2(
4. 在下列函数中，在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是____C______。

A. x e B. ||ln x C. 21x - D. 2
11
x
-
5. 0=x 是x
x x f 1
sin
)(=的_____ A ____。

A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 震荡间断点
二、 填空题（每空3分，共15分）
1. =-⎰2
|1|dx x ___1____
2. )(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的____充分_____条件。

3. 方程x y y x y x y x sin 2432=''+'+'''是_____三_____阶微分方程。

4. 平行于向量}6,7,6{=m 的单位向量是_⎭⎬⎫
⎩⎨⎧116,117,116和
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧---116,117,116
________。

5. 若直线b x y +=是抛物线2x y =在某点处的法线，则=b _____4
3
______。

三、
计算题（每题6分，共36分）
1. x
dt
t x x cos 1)1ln(lim
20
-+⎰→
原式=422lim sin )21ln(2lim 00=⋅=+→→x
x
x x x x
2. 设2ln 93
arcsin 2+-+=x x
x y ，求dy
dx x x x x x dy ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡--
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22931133arcsin
3. 设)sin ,(22y e y x xf u x +=，且),(v u f 有二阶连续偏导数，求y u 和xy u
[]
)cos (221y e f y f x y
u
x +⋅=∂∂
++=∂∂∂=∂∂∂2122cos 2yf e yf x
y u
y x u x []
)sin 2(cos cos sin 222222121211y e f x f y e yf e y e yf x yf x x x x x ⋅+⋅++⋅+⋅ 化简略。

4. 设y x e y x -=+2)(，求
dx
dy 设y x e y x y x F --+=2)(),(
y
x y
x y x e
y x e y x F F dx dy --++-+-=-=)(2)(2
5.
⎰+xdx x x ln 1
原式=()C x x x x x xd dx x x xdx x ++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎰⎰⎰2
ln 21ln ln ln ln ln 11
6. 求微分方程x e y y y 265=+'-''的通解。

解：3,20
652==+-r r r
∴齐通解：x x e c e c y 3221+=
非齐一个特解：x ae y =*代入原方程1=a ， ∴通解x x x e e c e c y ++=3221
四、（8分）：求过点)2,1,3(-P 且通过直线1
2354:
z
y x L =+=-的平面方程。

思路：在直线找一点)0,3,4(1-P ，作S PP
⨯1得平面的法向量，由点法式方程即得。

五（8分）：求函数x x x y 123223--=在区间]4,2[-上最大值和最小值。

解：0)1)(2(612662=+-=--='x x x x y 2,1=-=∴x x 由)4(),2(),2(),1(f f f f --比较，得
220)(m in 4
32)(m ax =⇒-==⇒=x x f x x f
六（8分）：设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，记
{}]1,0[,)(max ∈=x x f M 。

证明：至少存在一点),1,0(∈ξ使得M f 2)(≥'ξ。

证明：设0)(),1,0(00>=∈M x f x （若0=M ，则0)(≡x f 显证）
在)(],0[0x f x 满足Lagrange 定理条件 0
000101)
()0()()()
,0(x x f x f x f f x =-=
'∈∃ξξ
在]1,[0x 上同样)1,(02x ∈∃ξ 0
00021)
(1)()1()(x x f x x f f f --=--=
'ξ
)()(100ξf x x f M '==∴ )()1()(200ξf x x f M '-==∴ )()1()(22010ξξf x f x M '-+'=∴ 讨论：①当)()(21ξξf f '≥'
则)()()1()()()1()(2110102010ξξξξξf f x f x f x f x M '='-+'≤'-+'=
②当)()(21ξξf f '≤'
则)()()1()()()1()(2220202010ξξξξξf f x f x f x f x M '='-+'≤'-+'= 证毕。

七（每题5分，共10分，文科类考生必做）：
1. 设)(2
2
y x f z +=，其中)(u f 二阶连续可导，求y
x z
∂∂∂2。

f xy y f x y
x z
x f x
z
''=⋅''=∂∂∂⋅'=∂∂4)2(222 2.
⎰
-2
1
||dx xe x
原式=2
122
1
2
12
1
2
1
1
1
||2x x x x x x e e e dx e xe xde dx xe dx xe --=-==+⎰⎰⎰⎰- 2222e e e e e =+--=
八（每题5分，共10分，理工类考生必做）： 1. 计算⎰
⎰x x
dy y
y
dx sin 1
0 原式
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-=-==1010101021
0cos sin sin )1(sin )(sin 2y yd ydy ydy y dy y
y y y dx dy y y y y
1sin 1sin 1cos 11cos cos cos cos 1
01
1
010-=-++-=-+-=⎰y ydy y y y
2. 计算⎰⎰
++D
dxdy y
x 2
2
11，其中D 由曲线0,0,122===+y x y x 在第一象限所
x
围部分。

令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 原式2ln 4)1ln(41)1(2111021022202ππθθπ=+=++=+=⎰⎰⎰⎰r r r d d r
rdrd D
x
2005年全国成人高考专升本试题之高等数学二
2008年成人高考（专升本）高等数学一考试试题和参考答案
2007年专升本考试高等数学（二）试题精解
1．解析 本题为数列求极限，其通项是个分式，且分子、分母均为n 的多项式，分子、分母同除以n 的最高次幂后再用无穷小量的性质求极限。

即
213211321=-+
=-+∞
→∞→n
n n n n n lim lim （答案为B ） 2．解析 利用导数的定义，由已知的导数值求极限值。

4
2212212121210
=⨯='=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆)()
()()()(lim lim
f x f x f x f x f x x （答案为D ） 3．解析 已知函数x y
=，设.1='y （答案为A ）
4．解析 由极值存在的第一充分条件可知，)(0f 是函数)(x f 的极小值。

（答
案为A ）
5．解析 由导数运算法则，可得
),cos()()cos(1211222-='-•-='x x x x y
.)cos(dx x x dx y dy 122-='=（答案为C ）
6．解析 由原函数的定义可知，233x x x f ='=)()(，则.)(x x f 6='（答案
为D ） 7．解析 x x x x f +=cos )(3在对称区间[]11,-上是连续奇函数，
“偶倍奇零”，则有
⎰
-=+11
3
0.)cos (dx x x x （答案为B ）
8．解析
.cos )(cos xy
y
xy x xy x z 221=∂∂•=∂∂（答案为A ） 9．解析
).(,)(y x y
x z y x x z +=∂∂∂+=∂∂6322（答案为B ） 10．解析 设A 表示事件“甲乙两人必须排在一起”。

五人排成一行，是5个不同元素的全排列，故试验的样本空间的基本事件总数为
.!12055===P n
事件A 为有限制条件的排列，其包含的基本事件数为
.
)(5
2
1204848
22424====⨯=•=n m A P P P m （答案为B ） 11．解析 本题为分段函数)(x f 求点1=x 处极限，但应注意点1=x 并非分段点，属于0≥x 的取值范围，应当用相应的函数解析式x x f =)(求极限。

11
1
==→→x x f x x lim lim )(
12．解析 本题属
型未定式的极限。

解法Ⅰ 可将分母用平方差公式分解因式后，再运用极限的四则运算法则及重要极限Ⅰ求极限。

21
1111111111
1121=--•+=-+-=--→→→→x x x x x x x x x x x x )sin())(()sin()sin(lim lim lim lim
解法Ⅱ （等价无穷小量代换）当1→x 时，11--x x ~)sin(，则
.))(()sin()sin(lim lim lim 21
11111111
121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x
13．解析 本题主要考查商的导数运算法则。

.)(ln ln )(ln ln )
(ln )(ln ln )(2
22
11
x x x x x x x x x x x y -=•
-='-'='
14．解析 .,,x x x e y e y e y ----='''=''-='
15．解析
,ln ),,()(10+='+∞=x y x Df 令0='y ，得.1-=e x
当1->e x
时，恒有0>'y ，所以函数x
x
y ln =
的单调增加区间是[)
.,+∞-1
e
16．解析 由基本积分公式可知，.arcsin C t t
dt +=-⎰
2
1
17．解析 根据定积分的定义，定积分⎰
21
dx x f )(是常数值，所以
.)(02
1
=⎰dx x f dx
d
18．解析 用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分
.)
()()(10
9
52210
15
221125
21
023
1
=+=
+=+
=+⎰⎰
x x dx
x x dx x x 19．解析 ,ln ,x x y
z x y x z y y =∂∂•=∂∂-1
.ln xdy x dx yx dy y
z
dx x z dz y y +=∂∂+∂∂=
-1 20解析
,,
y y
z
x x z 22
3
21=∂∂=∂∂ 解方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧==,
,0202
321
y x 得⎩⎨⎧==.,
00y x 驻点为).,(00 21．解析 用洛必达法则求
型未定式极限，有 .ln lim lim
11
1
111==-→→x x x
x x 22．解析 ).()(x
x x x x x x y ++++='++++=
'121
111111
23．解析 本题为第一换元法计算不定积分。

解法Ⅰ 作变量代换，令,,ln du dx x
u x
==1
⎰⎰+=+==.ln sin sin cos ln cos C x C u udu dx x x
解法Ⅱ 凑微分法，使用凑微分公式
,ln x d dx x
=1
⎰⎰+==.ln sin )(ln ln cos ln cos C x x xd dx x x
24．解析 如下所示。

解法Ⅰ （公式法）令,),,(z e z y x z y x F -++=
则
,,,z e z
F
y F x F -=∂∂=∂∂=∂∂111
,,1111-=∂∂∂∂-=∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂z z e z F y F y z e z F x F
x
z
.1
-+=∂∂+∂∂=z e dy dx dy y z dx x z dz
解法Ⅱ 等式两边分别解法对x 和y 求偏导数，得
,,y z e x
z e z z ∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+
y z 1x z 1
所以
,,1
1
y z 11x z -=∂∂-=∂∂z z e e 则有 .1
y z x z -+=∂∂+∂∂=z e dy dx dy dx dz 25．解析 设A 表示“至少有1个黑球”。

有两种解法：
解法Ⅰ .)(2221312
3731215273122517
=++=••C C C C C C C C A P 解法Ⅱ2221
113
12
3
507=-=-=•C C C A P A P )()( 26．解析 ⎪⎩⎪
⎨⎧+
==+)(,)(,
24
3112322
l lh S l h 由（1）得
,l h 2
3
6-=
代入（2）得,224
3236l l l S +-= ,l l dl dS 2
336+-= 令0=dl dS ，得 ,)(113642
336+=-=l 由所给问题的实际意义可知11
364)(+=l （米）即为所求。

27．解析 本题主要考查用换元分法证明等式。

作变量代换，令,t x =-
3则dt dx -=，当1=x 时，2=t ；当2=x 时，1=t 。

则有.)()()()(⎰⎰⎰⎰==-=-212112213dx x f dt t f dt t f dx x f
28．解析 由题意可知,)()(22222x x x e x e xe x f +='=
.
)()()()()(C e
x C
xe e x e x dx x f x xf x xdf dx x f x x x x x +=+-+=-=='⎰⎰⎰22223222
2008年成人高考（专升本）高等数学二考试试题和参考答案
2010年成人高考专升本高等数学模拟试题和答案解析。