(完整版)多元统计分析试题及答案

2009学年第2学期 考试科目：多元统计分析 考试类型：（闭卷） 考试时间：100 分钟
学号 姓名 年级专业
一、填空题（5×6=30）
22121212121
~(,),(,),(,),,1X N X x x x x x x ρμμμμσρ
⎛⎫
∑==∑=
⎪⎝⎭
+-1、设其中则Cov(,)=____.
10
31
2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ='
∑=--∑、设则=服从。

()1
2
34
433,4
92,32
16___________________
X x x x R -⎛⎫ ⎪'==-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
=∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵
4、
__________， __________，
________________。

215,1,
,16(,),(,)
15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。

二、计算题（5×11=50）
(),
123设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为
211X h =
的共性方差111
X σ
=
的方差21X g =1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.4473
0.8350.4470.1032013
R ⎛
⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪
-⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭
12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441,
2142X x x x N x x x x x μμ-⎛⎫
⎪'=∑=-∑=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
-⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
、设其中试判断与是否独立？
11262(90,58,16),82.0 4.3107
14.62108.946460.2,(5)( 115.6924)14.6210 3.172
37.14.5X S μ--'=-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭0、对某地区农村的名周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得相关数据如下,根据以往资料,该地区城市2周岁男婴的这三个指标的均值现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。

其中0.010.010.0137608.946437.376035.5936(0.01,(3,2)99.2,(3,3)29.5,(3,4)16.7)
F F F α⎛⎫ ⎪
⎪
⎪-⎝
⎭
====
12124122411362190.5,(21),(12)35q q C e C e Bayes X μμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==∑=∑=∑= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫
= ⎪⎝⎭
12、设已知有两正态总体G 与G ，且，，，而其先验概率分别为误判的代价；试用判别法确定样本属于哪一个总体？
1234411(,,,)~(0,),01
11T X X X X X N ρρρρ
ρρρρρρρ
ρρ⎛⎫ ⎪
⎪=∑∑=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭
4、设，协方差阵
(1) 试从Σ出发求X 的第一总体主成分；
(2) 试问当 取多大时才能使第一主成分的贡献率达95％以上。

ρ
1212111221225(,),(,),100
000010.950()00.95
10000100T T X X X X Y Y X Z Y Z ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪
∑∑⎡⎤ ⎪=∑==⎢⎥ ⎪∑∑⎣⎦ ⎪⎝⎭
、设为标准化向量，令且其协方差阵
V ，求其第一对典型相关变量和它们的典型相关系数？
三、证明（7+8=15）
1,()X E XX μμμ∑''=∑+、设随机向量的均值向量、协方差矩阵分别为、试证：。

'2~(,),,~(,)P r X N N A b A A μμ⨯⨯∑+∑r p r 1、设随机向量又设Y=A X+b 试证：Y 。

华南农业大学期末试卷（A ）答案
一、填空题
1、0
2、W 3（10，∑）
3、
2113
4211361114
6
R ⎛⎫-
⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
4、0.872 1 1.743
5、T 2（15，p ）或（15p/(16-p)）F （p ，n-p ）
二、计算题
2312131231112213312121,2,1002102121000110
223164210010
2x x y y x x x x x x y x x y x x x y E y y V y -⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭、令则
01-101
-101-11234411002141021061661620162040210
616(1,6
1620)
3162040y y N ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
--⎛⎫ ⎪
=- ⎪
⎪-⎝
⎭
--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭
01-1故，的联合分布为故不独立。

010
01121000.02::8.02.2,
1.54.310714.62108.9464(23.13848)14.6210 3.17237.37608.946437.376035.5936()()
670.0741420.445
H H X S T n X S X F μμμμμμμ---=≠-⎛⎫
⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭
-⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
'=--=⨯=0、假设检验问题：，经计算可得：构造检验统计量：由题目已知1001
0.01(3,3)29.535(3,3)147.5
3
0.012T F H α=⨯===2.0
，由是
所以在显著性水平下，拒绝原设即认为农村和城市的周岁男婴上述三个指标的均值有显著性差异
11121221121233
21()
()exp[()()]exp(424)()
3912421
1ˆ(),,()411624283(1|2)
,()exp(2)5(2|1)35T Bayes f x W x x x x f x q C d e W x d e q C X μμμμμμμμ--=
=-∑-≈++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=∑=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎡⎤====<=⎢⎥⎣⎦⎡⎤
⇒=⎢⎣3、由判别知其中，2
G ∈⎥⎦
121341123114013,
11
11101111112222111222x x x x Z X X X λρρρρλρρ
λρρρλρρρρλλλλρ
λρ
ρρρλρρλρ
ρλρρρρλλ--------==+--------===-----⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪---- ⎪
⎪= ⎪---- ⎪ ⎪
⎪----⎝⎭⎝⎭'
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=++1234、(1)由得特征根为解所对应的方程得所对应的单位特征向量为故得第一主成分4
1
11
2
1395%4
0.95410.933
3
X λρ
λλλλρ++=
≥+++⨯-≥≈234
(2)第一个主成分的贡献率为
得
1
12
2
11221112
2
111222
2111
22120.1010,0100.10.100
01000.950.1000010.95000.01000100.90250
00.902500.90250.9025,T
T TT TT λλλ
λλλ-⎛⎫⎛⎫∑∑ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=∑∑∑∑∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-==--⇒=－
－－
－
5、由题得＝＝＝求的特征值，得211112111111
112221112111100.950
00.9025,00.90250.100001111000.9501100.100100.95,0.54,0.95T TT e e e V X W Y V W λαβλαρ---=⇒=⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∑== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=∑∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
===的单位正交化特征向量为第一典型相关变量，且（）为一对典型相关系数。

三、证明题
1()[()()]
()()()()()V X E X EX X EX E XX EX EX E XX E XX μμμμ'∑=--''=-''
=-''
=∑+、证明：=故
'
'2()()()()()()~(,)r Y E Y E AX b AE X b A b
V Y V AX b AV X A A A Y N A b A A μμ=+=+=+'=+==∑+∑、证明:由题可知服从正态分布，
故。