第三章 §3.3 3.3.2 第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用

第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用 学习目标 1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题． 导语
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
一、直线与抛物线的位置关系
问题1 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． 提示 如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点． 知识梳理
设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程k 2x 2＋2(km －p )x ＋m 2＝0.
(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，
y 2＝4x ，
消去y ， 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)
当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，
∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，
此时直线l 平行于x 轴．
当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．
①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，
l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；
②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切；
③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离．
综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点；
当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点；
当k >1时，l 与C 没有公共点．
反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．
跟踪训练1 已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 并整理，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；
当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1.因此直线l 的斜率的取值范围是[－1,1]．
二、弦长问题
问题2 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图．如何求弦AB 的长度？
提示 1.利用弦长公式．
2．根据抛物线的定义|AB |＝x 1＋x 2＋p . 知识梳理
设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p . 注意点：
(1)x 1·x 2＝p 24
. (2)y 1·y 2＝－p 2.
(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α
(α是直线AB 的倾斜角)． (4)1|AF |＋1|BF |＝2p
为定值(F 是抛物线的焦点)． 例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，
且|AB |＝52
p ，求AB 所在的直线方程． 解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ≠52
p ，不满足题意． 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，
则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x －p 2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，
消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.
由根与系数的关系得y 1＋y 2＝
2p k ，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝
⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k
2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.
所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0
或2x ＋y －p ＝0.
延伸探究
若本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．
解 如图，过A ，B ，M 分别作准线x ＝－p 2
的垂线交准线于点C ，D ，E . 由定义知|AC |＋|BD |＝52
p ， 则梯形ABDC 的中位线|ME |＝54p ， ∴点M 到y 轴的距离为54p －p 2＝34
p . 反思感悟 求弦长问题的方法
(1)一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k
2|y 1－y 2|. (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .
跟踪训练2 已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．
(1)若|AB |＝10，求实数m 的值；
(2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值．
解 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，
y 2＝8x ，
得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.
由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，
y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m .
(1)因为|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·64－32m ＝10，
所以m ＝716
，经检验符合题意． (2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，
解得m ＝－8或m ＝0(舍去)．
所以m ＝－8，经检验符合题意．
三、抛物线的轨迹问题
例3 设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到
定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12
. (1)求点P 的轨迹方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．
解 (1)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝12
， ∴x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝y ＋12
，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y . (2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，
x 2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.
∵|AB |＝
1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·4k 2＋8
＝26，
∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.
反思感悟 求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
跟踪训练3 若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1. 因为两圆外切，所以|MC |＝R ＋1.
又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切，
所以圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .
所以|MC |＝d ＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p
＝2，p＝4，
2
故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.
1．知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系．
(2)抛物线中弦长问题．
(3)抛物线的轨迹问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是() A．椭圆B．双曲线
C．双曲线的一支D．抛物线
答案 D
解析依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，
设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，
所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是() A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
答案 D
解析当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l 与抛物线是相交的．当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．
3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
答案(4,2)
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＝2，
y 2＝4x ， 得x 2－8x ＋4＝0，Δ>0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，
故线段AB 的中点坐标为(4,2)．
4．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.
答案 0或1
解析 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k ≠0时，联立方程消去y ，得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，
由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，
∴k ＝1.
综上，k ＝0或1. 课时对点练
1．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )
A ．16
B ．12
C ．10
D ．8
答案 B
解析 由题意得p ＝6，
∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋6＝12.
2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹为( )
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．圆
答案 A
解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ，由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，所以圆心C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物
线的特征，故圆心C 的轨迹是抛物线．
3．直线2x －y －4＝0与抛物线y 2＝6x 交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为( )
A ．8 B.2852 C.3052 D.3352
答案 B
解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝6x ，2x －y －4＝0， 消去y 并整理得2x 2－11x ＋8＝0，Δ>0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝112
，x 1x 2＝4， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4×1214－4×4＝2852
. 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85
D ．3 答案 A
解析 方法一 设与抛物线相切的直线，
且与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0.
与抛物线y ＝－x 2联立，消去y 可得3x 2－4x －m ＝0，
由题意知，Δ＝16＋12m ＝0，
∴m ＝－43
. ∴最小值为两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－43＋85＝4
3
. 方法二 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，
该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5
， 当m ＝23时，取得最小值43
. 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线相交于A ，B 两点，
若线段AB 的中点为E ，O 为坐标原点，且|OE |＝13，则p 等于( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．12
答案 A
解析 由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 为y ＝x －p 2
， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，
相减得， y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1＋y 2＝2p ， 因为E 为线段AB 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，p ， 因为E 在直线AB ：y ＝x －p 2
上，所以E ⎝⎛⎭⎫3p 2，p ， 又因为|OE |＝13，所以p ＝2.
6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝16，则p 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．2 2
D ．8
答案 C
解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，
准线方程为x ＝－p 2
，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴直线AB 的方程为y ＝x －p 2
， 代入y 2＝2px 可得x 2－3px ＋p 24
＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24
， 由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2
， ∴|AF |·|BF |＝⎝
⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24
＝p 24＋32p 2＋p 24
＝2p 2＝16，
解得p ＝2 2.
7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．
答案 72
解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，p ＝2.由抛物线的定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |
＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2
＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋p ＝7，故x 1＋x 2＝5.于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72
. 8．已知抛物线C ：y 2＝2x ，斜率为k 的直线l 过定点M (x 0，0)，直线l 交抛物线C 于A ，B
两点，且A ，B 位于x 轴两侧，OA →·OB →＝3(O 为坐标原点)，则x 0＝________.
答案 3
解析 设直线l 的方程为y ＝k (x －x 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
与抛物线方程联立可得⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝2x ，y ＝k (x －x 0)， 消去y 并整理可得，k 2x 2－(2k 2x 0＋2)x ＋k 2x 20＝0，
由根与系数的关系可得，x 1x 2＝x 20，
则y 1y 2＝－4x 1x 2＝－2x 0，
∵OA →·OB →＝3，
∴x 1x 2＋y 1y 2＝3，即x 20－2x 0＝3，
解得x 0＝3(负值舍去)．
9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A ，B 两点．求证：
(1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
(2)直线AB 过定点．
证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x 0，y 0)，
(1)k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2
， ∵OA ⊥OB ，
∴k OA ·k OB ＝－1，
∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，
∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2
， ∴y 212p ·y 222p
＋y 1y 2＝0， ∵y 1≠0，y 2≠0，
∴y 1y 2＝－4p 2，∴x 1x 2＝4p 2.
(2)当直线AB 的斜率存在时，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，
∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，
∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2
， ∴k AB ＝2p y 1＋y 2
， ∴直线AB ：y －y 1＝2p y 1＋y 2
(x －x 1)， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2
， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2
， ∵y 21＝2px 1，y 1y 2
＝－4p 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2
， ∴y ＝2p y 1＋y 2
(x －2p )， ∴AB 过定点(2p ,0)．
当直线AB 的斜率不存在时，则k OA ＝1，
∴直线OA ：y ＝x ，与抛物线方程联立，得x 2＝2px ，
∴A (2p ,2p )，故直线AB 过定点(2p ,0)，
综上，AB 过定点(2p ,0)．
10.如图，已知抛物线y 2＝4x ，其焦点为F .
(1)求以M (1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m ，n 都经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点和C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．
解 (1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．
设所求直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2
＝2， ∴所求直线方程为2x －y －1＝0.
(2)依题意知，直线m ，n 的斜率存在，设直线m 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，
消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，其两根为x 3，x 4，且x 3＋x 4＝4k 2＋2. 由抛物线的定义可知，|AB |＝2＋x 3＋x 4＝4k
2＋4， 同理，|CD |＝4k 2＋4，
∴四边形ACBD 的面积S ＝12
(4k 2＋4)·⎝⎛⎭⎫4
k 2＋4＝8⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1
k 2≥32.当且仅当k ＝±1时取得最小值．
11．设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )
A ．2 B.153 C.163
D ．3 答案 A
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，3x ＋4y ＋12＝0， 得3y 2＋16y ＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，
∴直线3x ＋4y ＋12＝0与抛物线相离．
又d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1，
而d 1＋1为P 到准线x ＝－1的距离，
故d 1＋1为P 到焦点F (1,0)的距离，
从而d 1＋1＋d 2的最小值为F 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离， 即|1×3＋0×4＋12|32＋4
2＝3， 故d 1＋d 2的最小值为2.
12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )
A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3
答案 C
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得⎩⎨⎧ x ＝13，
y ＝－233
或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2 3. ∵点M 在x 轴的上方，
∴M (3,23)．
∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)．
∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，
|MF |＝|MN |＝3＋1＝4.
∴△MNF 是边长为4的等边三角形．
∴点M 到直线NF 的距离为2 3.
13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋
y 22的最小值是________．
答案 32
解析 设AB 的方程为x ＝my ＋4，
代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，Δ>0，
则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，
所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，
当m ＝0时，y 21＋y 22的最小值为32.
14．已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.
答案 2
解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0)，
所以直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，
得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
所以x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2
，x 1x 2＝1， 因为∠AMB ＝90°，
所以MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋[k (x 1－1)－1]·[k (x 2－1)－1]
＝(1－k －k 2)(x 1＋x 2)＋(1＋k 2)x 1x 2＋k 2＋2k ＋2
＝(1－k －k 2)2(k 2＋2)k 2＋(1＋k 2)＋k 2＋2k ＋2＝0，
解得k ＝2.
经检验，k ＝2符合题意．
15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y 2＝2px (p >0)，如图，一平行于x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于x 轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________．
答案 y 2＝3x
解析 由抛物线的光学性质可得，PQ 必过抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.
当直线PQ 的斜率不存在时，易得|PQ |＝2p ；
当直线PQ 的斜率存在时，
设PQ 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x －p 2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，
得k 2
⎝⎛⎭⎫x 2－px ＋p 24＝2px ， 整理得4k 2x 2－(4k 2p ＋8p )x ＋k 2p 2＝0，
所以x 1＋x 2＝p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24
. 所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ⎝⎛⎭
⎫1＋1k 2>2p . 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p ＝3，
所以抛物线的方程为y 2＝3x .
16.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．
解 (1)由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，
则该直线方程为y ＝x －p 2
， 代入y 2＝2px (p >0)，
得x 2－3px ＋p 24
＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则有x 1＋x 2＝3p .
∵|MN |＝8，
∴x 1＋x 2＋p ＝8，
即3p ＋p ＝8，解得p ＝2，
∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ，
得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0.
∵直线l 为抛物线C 的切线，
∴Δ＝0，解得b ＝1.
∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.
由(1)可知x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.
设P (m ，m ＋1)，
则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，
∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)]·[y 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋
1)·(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2.
∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，
∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4. ∵y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，
∴y 1＋y 2＝4×x 1－x 2y 1－y 2
＝4， ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且
仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取得最小值，最小值为－14.。