高二期中考试(数学)试卷含答案解析

高二期中考试（数学）
（考试总分：150 分）
一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）
1.（5分）椭圆22
5
1162x y +=的长轴长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．10
D ．8
2.（5分）()2
20y +=表示的图形是（ ）
A ．圆
B ．两条直线
C ．一个点
D ．两个点
3.（5分）设a ∈R ，则“2a a <”是“||1a <”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4.（5分）某班有学生50人，现将所有学生按1,2,3,...,50随机编号，若采用系统抽样的
方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4,,24,,44a b 号学生在样本中，则a b +=（ ） A ．14
B ．34
C ．48
D ．50
5.（5分）已知命题A 成立可推出命题B 不成立，那么下列说法一定正确的是（ ）
A ．命题A 成立可推出命题
B 成立 B ．命题A 不成立可推出命题B 不成立
C ．命题B 不成立可推出命题A 成立
D ．命题B 成立可推出命题A 不成立
甲、 6.（5分）乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分
别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
乙、
A ．12x x >，12s s <
B ．12x x =，12s s <
C ．12x x =，12s s >
D ．12x x <，12s s >
7.（5分）我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开
放．某4A 景区对重新开放后的月份x 与该月游客的日平均人数y （单位：千人/天）进行了统计分析，得出下表数据：
若y 与x 线性相关．且求得其线性回归方程为2y x =-，则表中t 的值为（ ） A ．4.7
B ．4.8
C ．5
D ．无法确定
8.（5分）下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形
区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．1.6
D ．1.8
9.（5分）给出一个程序框图，输出的结果为s=132，则判断框中应填（ ）
A ．i 11≥?
B ．i 10≥?
C ．i 11≤?
D ．i 12≤?
10.（5分）在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双
曲线的标准方程为（ ）
A ．22
142x y -=
B ．22
1714
x y -=
C ．22
136
x y -=
D ．22
1147
y x -=
11.（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点∈A l ，点B C ∈，若
3FA FB =-，则FB =（ ）
A ．4
B ．8
C ．
43
D ．83
12.（5分）已知抛物线()2
:20C y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α
的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下面陈述不正确的为（ ）
A ．2121234
x x y y p +=-
B ．22sin p
AB α
=
C ．112AF BF p
+= D ．记原点为O ，则2
sin AOB
p S α
=
△ 二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）设F 1、F 2是双曲线22
11620
x y -=的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1
的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于_________．
14.（5分）某胸科医院感染科有3名男医生和2名女医生，现需要这5名医生中任意抽
取2名医生成立一个临时新型冠状病毒诊治小组抽取的2名医生恰好都是男医生的概率_____．
15.（5分）已知1F ，2F 分别为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，且离心率
2
3
e =
，点P 是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______.
16.（5分）已知下列几个命题：
①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为
22
1259
x y +=； ②“1x >”是“||0x >”的必要不充分条件；
③已知命题:33p ≥，:34q >，则p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假；
④双曲线22
1916
x y -=-的离心率为54．其中正确的命题的序号为_____．
三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）已知：双曲线:C 22
1169
x y -=.
（1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；
（2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点3)A -，求该双曲线的方程.
18.（12分）已知1k >，命题:1p m k <<；22
:12
x y q m +=表示焦点在y 轴上的椭
圆．
（1）若3k =，且p q ∧为真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求k 的取值范围．
19.（12分）已知命题[]2
:0,1,0,p x x a ∀∈-≥命题2
:,220q x x ax a ∃∈+++=R ，若
命题,p q 都是真命题，求实数a 的取值范围．
20.（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下
表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程；
（2）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：
7
7
21
1
134.4,140i i
i i i x y
x ====∑∑.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别
为：12
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-
21.（12分）在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和
为
（1）求动点P 的轨迹方程C
．
（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，AB =
.求t 的值 22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
1:21C x y -=．
（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线1C 交于P 、Q 两点．若l 与圆22
1x y +=相切，求证：
OP OQ ⊥；
答案
一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）【答案】C
2.（5分）【答案】C 由已知得20,20,x y -=⎧⎨
+=⎩即2,
2.x y =⎧⎨=-⎩
所以方程表示点()2,2-．
3.（5分）【答案】A
4.（5分）【答案】C 14a ∴=，34b =，48a b ∴+=.
5.（5分）【答案】D 逻辑学认为命题与逆否命题是等价的，也就是命题真，则逆否命
题也真．
“命题A 成立可推出命题B 不成立”的逆否命题为“命题B 成立可推出命题A 不成立”
∴命题B 成立可推出命题A 不成立一定正确
6.（5分）【答案】B 11
(91415151621)156x =+++++=，
21
(71315151723)156
x =+++++=，
1S =
2S = 所以12x x =，12s s <．
7.（5分）【答案】B 由表格中的数据可得4578
64
x +++=
=，
1.9 3.2 6.111.244
t t
y ++++=
=，
将点()
,x y 的坐标代入回归直线方程得
11.26244
t
+=-=，解得 4.8t =.
8.（5分）【答案】B 由几何概型的概率公式可知
225
22600
S =⨯， 1.5S ∴=. 9.（5分）【答案】A 运行程序，12,1i s ==，判断是，12,11s i ==，判断是，
132,10s i ==，判断否，输出132s =.故填i 11≥?，所以选A.
10.（5分）【答案】B
∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程
为222x y -=k
．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为
2
2
2x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22
x y 1714
-=
11.（5分）【答案】D 依题意()1,0F ，准线1x =-，焦点到准线的距离为2，由于
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故
234
AF FB AF FB ==+，解得8
3
FB =.
12.（5分）【答案】D 由题意知，令直线2
p
x my =+
，()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线2:2C y px =联立方程，消去x 得22
20y pmy p --=，所以122y y pm +=，
2
12y y p =-，所以21212224p p p x x my my ⎛
⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，则2121234x x y y p +=-，故A
正确；由1πtan 2m αα⎛⎫
=
≠ ⎪⎝⎭
，所以12AB AF BF x x p =+=++()212222m y y p pm p =++=+=()222
122121tan sin p p m p α
α
⎛
⎫+=+
= ⎪⎝
⎭，当π2α=时，经检验22sin p
AB α
=
亦成立，故B 确；
1212
1211112222x x p p p p p AF BF x x x x +++=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()122
121224
x x p
p p x x x x ++==+++()()121222*********x x p x x p p p p p p x x p x x ++++==+++++，故C 正确；如图，作OE 垂直AB 于E ，则2
2
112sin 22sin 22sin AOB
p p p S AB OE ααα
=⋅=⋅⋅=△，当π2α=时，经检验
2
2sin AOB
p S α
=
△亦成立，故D 错误，
二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）【答案】17 因为点P 到焦点1F 的距离等于9，即1||9PF =，则解得
2||1PF =或17．
又因为焦半径最小值为642c a -=-=，所以217.PF =
14.（5分）【答案】
3
10
记3名男医生分别为A 、B 、C ，2名女医生分别为d 、e ，
从这5名医生中任意抽取2名医生的所有可能结果为：AB 、AC 、Ad 、Ae 、BC 、Bd 、Be 、Cd 、Ce 、de ，共10种，
其中抽取的2名医生恰好都是男医生的可能结果有AB 、AC 、BC ，共3种，
所以所求概率为
310
．
15.（5分） 解：由题意知24c =，则2c =，
又2
3
c e a =
=，∴3a =，由椭圆的定义得1226PF PF a +==， 又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，∴24PF =，12=PF ，
过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则1PD =，2DF =
∴12PF F △的面积为
1
22
⨯= 16.（5分）【答案】③④
①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为
22
1259
x y +=(5)x ≠±，当5x =±时，构不成三角形，错误； ②当0.1x =时．1x <．所以||0x >不一定有1x >．错误；
③已知命题:33p ≥是真命题，:34q >是假命题，根据复合命题的真假判断，
p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，正确；
④双曲线22
1916
x y -=-，2216,9a b ==，所以22225c a b =+=，54c e a ==，正
确．
其中正确的命题的序号是③④，
三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）【答案】(1)双曲线:C 22
1169
x y -=，所以4,3a b ==，∴
5c ==，
∴双曲线C 的焦点坐标()5,0-，()5,0，顶点坐标()4,0-，()4,0，离心率
54
c e a =
=．
（2）设所求双曲线的方程为：22
169
x y -=λ，将()
3A -代入上式
(
()2
2
316
9
λ--
=，解得：1
4
λ=-
∴所求双曲线的方程为：224194
y x -=． 18.（12分）【答案】（1）（1,2） （2）（1,2］
（1）当q 为真时，0＜m ＜2， 又p ∧q 为真命题，从而p 真且q 真．
由13
02m m ＜＜＜＜⎧⎨⎩
，得1＜m ＜2．∴m 的取值范围为（1，2）；
（2）∵p 是q 的充分不必要条件∴集合{m |1＜m ＜k }是集合{m |0＜m ＜2}的真子集， ∴1＜k ≤2．
19.（12分）【答案】1a ≤-
命题[]2
:0,1,0,p x x a ∀∈-≥为真命题 ∴2a x ≤对[]0,1x ∈恒成立
()2min a x ∴≤，即0a ≤
命题2:,220q x x ax a ∃∈+++=R 为真命题
∴方程2220x ax a +++=有实数根，即()224424480a a a a ∆=-+=--≥ 1a ∴≤-或2a ≥
命题,p q 都是真命题
∴1a ≤-
故答案为：1a ≤-.
20.（12分）【答案】（1）0.5 2.3y x =+；（2）6800元.
解：（1）由表可得：123456747
++++++==x ， 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 4.37y ++++++==，又77
211134.4,140i
i i i i x y x ====∑∑， 71722217134.474 4.30.5140747i i
i i i x y x y b x
x ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑ 4.30.54 2.3a y bx ∴=-=-⨯= y ∴关于x 的线性回归方程为0.5 2.3y x =+； （2）由（1）可得：0.5 2.3y x =+，
∴当9x =时，0.59 2.3 6.8y =⨯+=，
即该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为6800元.
21.（12分）【答案】（1）2
212
x y +=；（2）1t =±. 解：（1
）因为12PF PF +=P
轨迹为椭圆，并且长轴长2a =， 因为焦点坐标分别为()1,0-，()1,0，所以22c =，又因为222a b c =+，所以1b =，
所以P 点运动轨迹椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，
因为22220x y y x t
⎧+-=⎨=+⎩，消元化简得2234220x tx t ++-=， 所以()222
1612222480t t t ∆=--=->， 122124322
3t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
所以
AB ==，
又因为AB =
=， 解得1t =±，满足>0∆，所以1t =±.
22.（12分）【答案】（
1；（2）证明见解析. （1）双曲线2
21:112
x C y -
=，左顶点(2A
-，渐近线方程：y =．
过点A
与渐近线y =平行的直线方程为
)2
y x =+
，即1y =+．
解方程组1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
得41
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以所求三角形的面积为1||2S OA y ==‖． （2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线PQ 与已知圆相切，
1=，即22b =． 由2221
y x b x y =+⎧⎨-=⎩得22210x bx b ---=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12212
21x x b x x b +=⎧⎨=--⎩ 又1212()()y y x b x b =++，
所以12121212(())OP OQ x x y y x x x b x b ⋅=+=+++
()212122x x b x x b =+++
22222(122)0b b b b =--++=-=．
故OP OQ ⊥．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系，证明直线垂直可转化为向量的数量积等于零，考查了考生的基本运算能力，属于中档题.。