【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮专项复习课件：专题5 第2讲 圆锥曲线

此时，方程(*)为x2－8x＋4＝0，其判别式大于零， ∴存在满足题设的直线m. 且直线m的方程为：y－2＝x－4，即x－y－2＝0. 方法2：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 依题意，得yx11＋＋yx22＝＝48，， 易判断直线m不可能垂直于y轴， ∴设直线m的方程为x－4＝a(y－2)，
8.
(文)(2014·东北三校二模)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线
l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心
P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且
→ OA
→ ·OB
＝－16，求证：直线AB恒过定点．
[解析] (1)⊙O的圆心M(0,2)，半径r＝1，设动圆圆心 P(x，y)，由条件知|PM|－1等于P到l的距离，
(理)设P是椭圆
x2 9
＋
y2 5
＝1上一点，M、N分别是两圆：(x＋
2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值，
最大值分别为( )
A．4,8
B．2,6
C．6,8 [答案] A
D．8,12
• [解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆 圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知 |PA|＋|PB|＝2a＝6，连接PA，PB，分别与 两圆相交于M、N两点，此时|PM|＋|PN|最 小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝4；连接PA ，PB并延长，分别与两圆相交于M′、N′两点 ，此时|PM′|＋|PN′|最大，最大值为|PA|＋ |PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分别为4、
[解析] 在y＝±bax中令x＝c得，A(c，bac)，B(c，－bac)，在 ax22－by22＝1中令x＝c得P(c，ba2)，
由O→P＝mO→A＋nO→B得
c＝m＋nc，
m＋n＝1，
ba2＝mabc－nabc， ∴m－n＝bc，
m＋n＝1， 由mn＝29，
可得， mn＝＝1323，，
或 mn＝＝2313，，
(舍去)，
∴bc＝13，∴bc22＝19，∴c2－c2 a2＝19，∴e＝3
4
2 .
[点评] 可先求出A、B的坐标，代入条件式中得P点坐
标，再由P在双曲线上，结合mn＝29解出e.
(2014·山东理，10)已知a>b>0，椭圆C1的方程为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1，双曲线C2的方程为ax22－by22＝1，C1与C2的离心率之积为 23，
∴|PM|等于P到直线y＝－2的距离，∴P点轨迹是以M(0,2) 为焦点，y＝－2为准线的抛物线．
方程为x2＝8y.
(2)设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2) 将直线AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以 x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b， 又因为O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x6124x22＝－8b＋b2＝－16⇒ b＝4 所以直线BC恒过定点(0,4)． [点评] 第(1)问可用直译法求解．
1(a>0，b>0)
焦点在x轴正半 轴上y2＝ 2px(p>0)
图象
椭圆
双曲线
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a，y∈R
顶点 (±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
几 对称 何性关于x轴、y轴和来自点对称性 焦点质
(±c,0)
长轴长2a，短 实轴长2a，虚
轴
轴长2b
轴长2b
抛物线 x≥0，y∈R
定义知，|PF|＝d2，
∴d1＋d2＝d1＋|PF|，显见当
PF⊥l1，即P为P1点时d1＋d2＝|FM|，
此时距离之和取到最小值，
∵|FM|＝9
2
2，∴所求最小值为9
2
2 .
• [点评] 当问题涉及抛物线上动点到焦点(或 准线)的距离，或双曲线(椭圆)上动点到两焦 点距离时，应考虑定义是否能发挥作用．
右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两
点，与双曲线的一个交点为P，设O为坐标原点，若O→P＝mO→A
＋nO→B(m，n∈R)，且mn＝29，则该双曲线的离心率为(
)
32 A. 2
35 B. 5
32
9
C. 4
D.8
• [答案] C
[分析] 由于过焦点F的直线l与两渐近线的交点为A、B及l 与双曲线交点为P，故可得A、B、P的坐标，再由O→P＝mO→A＋ nO→B及mn＝29可得a、b、c的关系，即可求得离心率e.
• [解析] (1)因为P到点F的距离等于它到直线l 的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点，直 线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.
(2)方法1：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交
于A(x1，y1)、B(x2，y2)，
依题意，得yx11＋＋yx22＝＝48.，
①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x＝4， 由yx2＝＝44，x， 得y＝±4与y1＋y2＝4矛盾，不合题意． ②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y－2＝k(x－ 4)，联立方程组yy－2＝24＝x，kx－4， 消去y，得k2x2－(8k2－4k＋4)x＋(2－4k)2＝0，(*) ∴x1＋x2＝8k2－k42k＋4＝8，解得k＝1.
则C2的渐近线方程为( )
A．x± 2y＝0
B. 2x±y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
[答案] A [解析] e21＝ac122＝a2－a2 b2， e22＝ac222＝a2＋a2 b2， ∴e21·e22＝a4－a4 b4＝1－(ba)4＝34，∴ba＝ 22， ∴双曲线的渐近线方程为y＝± 22x.
• 2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐 近线方程的区别．
• 3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有 且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线 与抛物线有且仅有一个交点．
命题热点突破
圆锥曲线的定义与标准方程
(文)已知直线l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0， 抛物线C：y2＝16x，P是C上一动点，则P到l1与l2距离之和的最 小值为________．
定义
椭圆
双曲线
抛物线
定点F和定直线
|PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝ l，点F不在直 2a(2a<|F1F2|) 线l上，P到l距
离为d，|PF|＝d
标准方 程
椭圆 焦点在x轴上
ax22＋by22＝ 1(a>b>0)
双曲线
抛物线
焦点在x轴上 ax22－by22＝
• [方法规律总结]
• 1．涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或 焦点弦问题，及到抛物线焦点(或准线)距离 的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义．
• 2．求圆锥曲线标准方程时“先定型，后计 算”，即先确定是何种曲线，焦点在哪个轴 上，然后利用条件求a、b、p的值．
圆锥曲线的几何性质
(2013·汕头模拟)设双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的
[分析] 观察抛物线C与直线l2的系数可以发现，l2为C的 准线，由抛物线的定义可将P到l2的距离转化为P到焦点F的距 离，则问题变为P到F的距离与P到l1的距离之和最小，画出图 形易见，当PF⊥l1时，“距离之和”取到最小值．
[答案]
92 2
[解析] 在同一坐标系中画出直线l1、l2和曲线C如图． P在C上任意一点，由抛物线的
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k， ∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2 ∴F2A⊥AB，F2A⊥AF1， ∴△AF1F2是等腰直角三角形，
从而c＝
22a，所以椭圆离心率为e＝ac＝
2 2.
(理)设椭圆E：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a，b>0)过M(2，
2 )，N(
6 ，1)
依题意，得yx11＋＋yx22＝＝48.， ∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上， ∴有yy2122＝ ＝44xx12， ，① ② 由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)．
当x1＝x2时，弦AB的中点不是N，不合题意， ∴yx11－－yx22＝y1＋4 y2＝1，即直线AB的斜率k＝1， 注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹C 相交)， ∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y－2＝x－ 4，即x－y－2＝0.
[解析] (1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝ 1，
又∵△ABF2的周长为16， ∴由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. ∴|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k， 由椭圆定义知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k， 在△ABF2中，由余弦定理得， |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)(2a－k)， ∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0， ∴a＝3k，
问题求解．
直线与圆锥曲线的位置关系
(文)(2014·安徽文，21)设F1、F2分别是椭圆E：ax22 ＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B 两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率．
成才之路·数学
• 新课标版 二轮专题复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
专题五 解析几何
专题五 第二讲 圆锥曲线
命题角度 聚焦
核心知识整 合
方学法科警素示能培养 探究
命题热点 突破
课后强化作业
命题角度聚焦
• (1)以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、 圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、 双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函 数、平面向量、不等式结合命题，若与立体 几何结合，会在定值、最值、定义角度命题 ．
两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线
与椭圆E恒有两个交点A、B且
→ OA
⊥
→ OB
？若存在，写出该圆的
方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．
• [分析] (1)将已知点的坐标分别代入椭圆的 方程，得a，b.(2)假设满足题意的圆存在， 依据直线与圆相切的条件及OA⊥OB的坐标 关系，求圆的半径R，若求出R，则存在， 进[解而析求] |A(1)B将|的M、取N的值坐范标围代入，椭否圆则E的不方存程，在得．
(0,0)
关于x轴对称
p2，0
椭圆
双曲线
离心
率 几
e＝ac＝ 1－ba22 e＝ac＝ 1＋ba22
(0<e<1)
(e>1)
何 准线
性 通径
质 渐近
线
|AB|＝2ab2 y＝±bax
抛物线 e＝1 x＝－2p
|AB|＝2p
• 1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2 ＝a2＋b2，双曲线中c2＝a2－b2的区别．
[方法规律总结]
1．求椭圆、双曲线的离心率问题，关键是根据已知条件
确定a、b、c的关系，然后将b用a、c代换，求e＝
c a
的值；另外
要注意双曲线的渐近线与离心率的关系．
2．注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用．
3．圆锥曲线的性质常与等差、等比数列、三角函数、不
等式等问题联系在一起，一般先利用条件转化为单一知识点的
• (2)每年必考一个大题，相对较难，且往往为 压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介 入，增加了本部分高考命题的广度与深度， 成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题 者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、 不等式、数列、三角等知识结合进行综合考
核心知识整合
• 椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
• (理)(2013·青岛检测)已知点F(1,0)，直线l： x＝－1，动点P到点F的距离等于它到直线l 的距离．
• (1)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方 程；
• (2)是否存在过N(4,2)的直线m，使得直线m 被截得的弦AB恰好被点N所平分？
• [分析] 由定义可求出曲线C的方程，然后假 设直线m存在，设直线m的斜率为k，由弦 AB被N平分求出k.
联立方程组yx2－＝44＝x，ay－2， 消去x，得y2－4ay＋8a－16＝0， ∵Δ＝16(a－1)2＋48>0， ∴直线与轨迹C必相交． 又y1＋y2＝4a＝4，∴a＝1. ∴存在满足题设的直线m， 且直线m的方程为：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.
方法3：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，