控制收敛定理

控制收敛定理
今天正好看到这个问题跑来回答一下233）
一般测度空间中的Lebegue控制收敛定理：
若 f_n 为测度空间 (,\mathcr{F},\mu) 上的可测函数列，有
f_n\overet{p}\rightarrow f 或 f_n\overet{a。

e。

}\rightarrow f ，
且存在 g\in L^1 使得，f_n，\leq g ，则 \int
f_n\,d\mu\rightarrow \int f\,d\mu\ (n\rightarrow \infty)当然，我觉得题主可能不仅仅想知道控制收敛定理是什么，还会想要
知道控制收敛定理可以用来干什么、以及控制收敛定理有没有更多更有意
思的不同版本。

我们不妨下面假定 (,\mathcr{F},\mu) 是一个概率空间，并且总在这个概率空间上进行讨论，来看看可以用控制收敛定理做些什么
事情。

利用概率空间的有限性得到一个显然的推论是Lebegue有界收敛定理：若 _n 为随机变量列，有 _n\overet{p}\rightarrow 或
_n\overet{a。

}\rightarrow ，且 _n 几乎处处一致有界，则
\mathbb{E}_n\rightarrow \mathbb{E}\ (n\rightarrow \infty)其在概率中另一个重要的应用是推出Vitali收敛定理：
对于随机变量列 _n ，若有 _n\in L^p,_n\overet{p}\rightarrow ，则下列三者等价：
1、_n^p一致可积
2、 _n\overet{L^p}\rightarrow \in L^p
3、，_n，_p\rightarrow ，，_p,\ \in L^p
熟悉Vitali收敛定理证明的读者会清楚从3推出2时（这是一个弱
推强），Lebegue控制收敛定理提供了关键的收敛性。

在具体的计算方面，Lebegue控制收敛定理结合Fubini定理能够被
用来证明Levy' Inverion Formula：
对于随机变量的分布 F ，及其对应特征函数 \phi ，对于 \forall
a<b ，总是有 \frac{F(b)+F(b-0)}{2}-\frac{F(a)+F(a-0)}{2}=
\frac{1}{2\pi}\lim_{T\rightarrow \infty} \int _{-T}^T\frac{e^{-itb}-e^{-ita}}{-it}\phi(t)\,dt
这个定理的关键意义在于完成了“分布与特征函数一一对应”的论证。

（这里很有意思的一点是积分故意没有写成 \int_{-\infty}^\infty 而是写作 \lim_{T\rightarrow \infty} \int _{-T}^T 的Cauchy主值意
义下的无穷积分，其中奥妙在计算过程中便足以体会）
最后，我还想给题主说说Lebegue控制收敛定理的一些有趣的推广。

在概率论中，一个逃不开的重要对象就是条件期望。

自然地，条件期望也有Lebegue控制收敛定理。

（注意到概率空间上
的积分就是期望，顾名思义条件期望拥有与期望类似的性质）我们总是用
\mathcr{G} 表示一个子 \igma 域。

对于一列随机变量 _n ，若 _n\overet{a。

}\rightarrow 且存在
Y\in L^1 使得，_n，\leq Y ，则 \mathbb{E}(_n，
\mathcr{G})\overet{a。

}{\underet{L^1}{\rightarrow}}
\mathbb{E}(，\mathcr{G})
注意到这里的收敛同时是几乎处处的与 L^1 的，这是因为
dominated实际上能够推出一致可积性，再利用Vitali收敛定理即可论证。

（思考一下普通形式的Lebegue控制收敛定理一定是 L^1 的吗？）事实上，我最近看到一个更加有意思更加强的Lebegue控制收敛定理
的推广，那就是Levy' Upward Thm：
对于随机变量列 _n 与一列滤子 \mathcr{F}_n ，若 \up_n，_n，
\in L^1 且有 _n\overet{a。

}\rightarrow 以及
\mathcr{F}_n\nearrow \mathcr{F}_\infty （这里 \mathcr{F}_\infty
=\igma(\bigcup_{n=1}^\infty\mathcr{F_n}) ），那么 \mathbb{E}(_n，\mathcr{F}_n)\overet{a。

}{\underet{L^1}{\rightarrow}}
\mathbb{E}(，\mathcr{F}_\infty)
这里特别强的一点就是 _n 无需adapted to \mathcr{F}_n这可以视
为是同时关于随机变量与条件的控制收敛，upward顾名思义指的是滤子
的上升。

它的一个简单的推论是：Levy' 0-1 Law：
\forall A\in \mathcr{F}_\infty,\mathcr{F}_n\nearrow
\mathcr{F}_\infty,\mathbb{E}(I_A，
\mathcr{F}_n)\overet{a。

}{\underet{L^1}{\rightarrow}}I_A 在这个零一律下看，Kolmogorov零一律就算是小巫见大巫了233）。