北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》第2课时示范公开课教学课件

已知：如图，点 A1，B1，C1，D1 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 A1B1C1D1 为正方形.
已知：如图，点 A1，B1，C1，D1 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 A1B1C1D1 为正方形.
又∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD(正方形的对角线相等) AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直)，∴A1B1 = A1D1 = B1C1 = C1D1，∠1 = 90°.∴四边形 A1B1C1D1是菱形，∠2 = 90°.∴四边形 A1B1C1D1为正方形.
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
满足怎样条件的矩形是正方形？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的___________时，会变成一个正方形.
一组邻边相等
【猜想2】当矩形的________________时，会变成一个正方形.
3 正方形的性质与判定第2课时
观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形具有哪些性质呢？
正方形
观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有哪些性质呢？
正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCB=90°.
分析：
由BF∥CE，CF∥BE，可证四边形 BECF 是平行四边形.
又由BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，可得∠EBC = ∠ECB =45°，所以EB = EC.从而四边形BECF 是菱形.
在△BEC中，∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
对角线互相垂直
你能证明这两个猜想吗？
猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形.又∵ AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.
猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.
以菱形的四边中点为顶点可以组成一个矩形.
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中 点. 求证：四边形 EFGH 为菱形.
以矩形的四边中点为顶点可以组成一个菱形.
证明：连接 AC，BD.∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴EF∥AC 且 EF = AC.同理可证 HG∥AC且HG = AC，EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD.∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD(矩形的对角线相等)，∴EF = EH.∴四边形 EFGH 是菱形(菱形的定义).
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形 BECF 是平行四边形.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°.
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
2.如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且 AE = BF = CG = DH. 四边形 EFGH 是什么特殊四边形？你是如何判断的？
正方形的判定
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
猜想4：对角线相等的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.又∵ AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°.∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠BAD=90°.∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形.
符号语言：
定理4：对角线相等的菱形是正方形.
∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，∴四边形ABCD是正方形.
符号语言：
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.
∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形.
符号语言：
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
满足怎样条件的菱形是正方形？
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°.又∵ AC⊥BD，∴△AOB ≌ △AOD(SAS).∴AB = AD.∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.
符号语言：
1.已知：如图，E，F边形 AECF 是菱形.
证明: 在正方形 ABCD 中，BE ＝DF，易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD.∴CE ＝AE ＝AF ＝FC．∴四边形 AECF 是菱形．
解：四边形 EFGH 是正方形.∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH，易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE.∴EH ＝HG＝GF＝FE，且∠AHE＝∠DGH ．∵∠DGH ＋∠DHG＝90°.∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°.∴四边形 EFGH 是正方形.
思考：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？
平行四边形
猜想：正方形
你能尝试证明吗？
证明：连接 AC，BD，∵ A1，B1 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ A1B1∥AC 且A1B1 = AC.同理可证 C1D1∥AC 且 C1D1 = AC.A1D1∥BD且 A1D1 = BD，B1C1∥BD且B1C1 = BD.∴四边形 A1B1C1D1 为平行四边形.
1
2
以正方形的四边中点为顶点可以组成一个正方形.
菱形的中点四边形会是什么形状？
猜想：矩形
猜想：菱形
请尝试证明这两个猜想？
矩形的中点四边形会是什么形状？
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD.∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG.∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.又∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直).∴∠1 = 90°. ∴四边形PFQO 为矩形.∴∠2=90°.∴四边形 EFGH 是矩形(矩形的定义).
决定中点四边形形状的关键因素是什么？
对角线不垂直，不相等
平行四边形
对角线不垂直，不相等
平行四边形
对角线相等
菱形
对角线垂直
矩形
对角线相等且垂直
正方形
决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.
证明: 在正方形 ABCD 中,BE ＝DF,易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ,即 CE ＝AE ＝AF ＝FC,∴四边形 AECF 是菱形．
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.∴□ BECF 是菱形(菱形的定义).在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，∴∠BEC = 90°.∴菱形 BECF 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
你还有别的证法吗？
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.
怎样判定一个四边形是正方形呢？
你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形.
你知道这样做的道理吗？
【猜想3】当菱形的_____________时，会变成一个正方形.
有一个角是直角
【猜想4】当菱形的________________时，会变成一个正方形.
对角线相等
你能证明这两个猜想吗？
猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，四边形ABCD是平行四边形.又∵ ∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
以矩形的四边中点为顶点可以组成一个菱形.
以菱形的四边中点为顶点可以组成一个矩形.
以正方形的四边中点为顶点可以组成一个正方形.
以任意四边形的四边中点为顶点可以组成一个平行四边形.
教科书 第25页习题1.8 第4题