【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：D3等比数列及等比数列前n项和

D3 等比数列及等比数列前n 项和
【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】19．（本题满分12分） 设数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 的前n 项和n S 满足)1(2
3
-=n n b S 且2512,b a b a == （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式：
（Ⅱ）设,n n n c a b =⋅，设n T 为{}n c 的前n 项和，求n T . 【知识点】 等差数列等比数列数列求和D2 D3 D4
【答案解析】(1) 21n a n =-, 3n n b =. （2）1
3(1)3n n T n +=+-
（1）∵数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =32（b n -1），∴b 1=S 1=3
2
(b 1-1)，解得b 1=3． 当n≥2时，b n =S n -S n-1=
32(b n -1)- 3
2
(b n-1-1)，化为b n =3b n-1． ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3×3n-1=3n ．∵a 2=b 1=3，a 5=b 2=9．
设等差数列{a n }的公差为d ．
∴11349
a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得d=2，a 1=1．∴a n =2n-1．综上可得：a n =2n-1，
b n =3n ． （2）
c n =a n •b n =（2n-1）•3n ．
∴T n =3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n ， 3T n =32+3×33+…+（2n-3）•3n +（2n-1）•3n+1．
∴-2T n =3+2×32
+2×33
+…+2×3n
-（2n-1）•3n+1
=23(31)
31
n ⨯---（2n-1）•3n+1-3
=（2-2n ）•3n+1-6．∴T n =3+(n-1)3n+1． 【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n 项和公式即可得出．
【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】8．已知等比数列{}n a 满足n a ＞0，n ＝1,2，…，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当n ≥1时，
2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝ （ ）
A ．n (2n －1)
B ．(n ＋1)2
C ．n 2
D ．(n －1)2
【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3
【答案解析】C 由等比数列的性质可得a n 2=a 5•a 2n-5=22n ，=（2n ）2，
∵a n ＞0，∴a n =2n ，故数列首项a 1=2，公比q=2，
故log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=log 2a 1•a 3•…•a 2n-1=log 2(a 1)n q 0+2+4+…+2n -2 =log 22n •2
(022)
2
n n +-=log 22n+n2-n =log 22n2=n 2，故答案为C.
【思路点拨】由题意可得a n =2n ，可得数列首项a 1=2，公比q=2，进而可得原式=log 2(a 1)n q 0+2+4+…+2n-2，代入由对数的性质化简可得答案．
【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】4. 已知各项均为正
数的等比数列}{n a 中，1321
3,,22a a a 成等差数列，则
=++10
81311a a a a （ ） A. 27
B.3
C.
1-或3 D.1或27
【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3 【答案解析】A ∵1321
3,,22
a a a 成等差数列∴3a 1+2a 2=a 3，∴3a 1+2a 1q=a 1q 2∴q 2-2q-3=0 ∵q ＞0∴q=3∴
=++10
813
11a a a a =q 3=27故选A
【思路点拨】由已知可得，3a 1+2a 2=a 3，结合等比数列的通项公式可求公比q ，而
=++10
813
11a a a a =q 3，代入即可求解.
【数学理卷·2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】21.
（本题满分13分）已知函数
2
()sin f x x x =，各项均不相等的有限项数列{}n x 的各项i x 满足||1
i x ≤.令
1
1
()()
n
n
i i i i F n x f x ===⋅∑∑，
3
n ≥且
n ∈N
，例如：
123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++⋅++.
(Ⅰ)若⎪⎭
⎫
⎝⎛=π2n f a n ，数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S 19的值； (Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。

①存在数列{}n x 使得()0F n =；②如果数列{}n x 是等差数列，则()0F n >； ③如果数列{}n x 是等比数列，则()0F n >。

【知识点】数列求和；数列性质得研究. D2 D3 D4
【答案】【解析】(Ⅰ) 2
50π-； （Ⅱ）①③是真命题，②是假命题.理由：见解析.
解析：()⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ2sin 222
n n n f a n Ⅰ………1分
()()+---∈-==+++∴N k k a a a a k k k k ,4224142434π ………3分 []2220195018141062ππ-=⋅++++-==∴S S ………5分
（Ⅱ）①显然是对的，只需{}n x 满足120n x x x +++=………7分
②显然是错的，若120n x x x +++=，()0F n =………9分
③也是对的，理由如下：……10分
首先2()sin f x x x =是奇函数，因此只需考查01x <≤时的性质，此时2
,sin y x y x ==都是增
函数，从而2()sin f x x x =在[0,1]上递增，所以2
()sin f x x x =在[1,1]-上单调递增。

若
120x x +<，则12x x <-，所以12()()f x f x <-，即12()()f x f x <-，
所以12()()0f x f x +<.同理若120x x +>，可得12()()0f x f x +>， 所以120x x +≠时，1212()(()())0x x f x f x ++>.
由此可知，数列{}n x 是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；
若各项符号不一致，则公比0q <且1-≠q ，(
)恒不为零q
q
x x x x n
n --=+++∴111
21 ，
若n 是偶数，222121()(1),1,2,
,2
i i i n
x x x q q i --+=+=符号一致， 又212212(),[()()]i i i i x x f x f x --++符号一致，所以符合()0F n >；
若n 是奇数，可证明(
)q
q
x x x x n
n --=+++111
21 总和1
x 符号一致”
，
同理可证符合()0F n >；……………12分
综上所述，①③是真命题；②是假命题……………13分 【思路点拨】(Ⅰ)、由sin()2
n π
取值得周期性，寻找前n 项和的求和规律 ； （Ⅱ）、①当120n x x x +++=时，()0F n =.所以①是对的；②当数列{}n x 是等差数列，
且120n x x x ++
+=时，()0F n =.所以②是错的；③当数列{}n x 是等比数列时，根据已
知条件得公比q 1≠±，分q>0,q<0两种情况讨论得()0F n >.所以③是对的.
【数学理卷·2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】11、已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，,112a a -=,934a a -=则=+54a a 。

【知识点】等比数列. D3
【答案】【解析】27 解析：()()2112
4
31111
3919a a a q q a a a q q =-⇒+=⎧⎪⇒=⎨=-⇒+=⎪⎩（负值舍去）114a ⇒=， 所以=+54a a 34
11332744
⨯+⨯=.
【思路点拨】由已知条件求出首项和公比即可.
【数学理卷·2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】16. （本小题满分12分）
在正项等比数列{}n a 中， 公比()0,1q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当n
S S S n +⋅⋅⋅++212
1取最大值时，求n 的值.
【知识点】数列的求和；等比数列的通项公式．D3 D4 【答案】【解析】（1）42n n a -=;（2）76或=n 解析：252534231=++a a a a a a ，
()2522
422
4422
2=+=++∴a a a a a a ，
{}n a 是正项等比数列，
542=+∴a a ， 23=a ， 2
1
,10,522=∴<<=+∴
q q q q . n n n a a --=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅=∴41
3221.
（2）,2
7,2)7(,4log 2n
n S n n S n a b n n n n -=-=
-== 11
12
n n S S n n --=--
12n S n ⎧⎫
∴-⎨⎬⎩⎭
数列是公差为首项为3的等差数列，且为递减数列
当,76,0,
7或=∴==n n
S n n 当n S S
S n +⋅⋅⋅++2121取最大值时，76或=n
【思路点拨】（1）利用等比数列的性质和通项公式即可得出；（2）利用等差数列的前n 项和公式、二次函数的单调性即可得出．
【数学理卷·2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】9. 已知1,1x y >>,且
11
ln ,,ln 44
x y 成等比数列，则xy 的最小值是 A. 1 B.
1
e
C. e
D. 2 【知识点】等比数列的性质．D3 【答案】【解析】C 解析：因为
11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则1ln ln ,4
x y = 由1,1x y >>,则ln 0,ln 0,x y >>所以()ln ln ln 2ln ln 1,xy x y x y =+≥=当且仅当
1
ln ln ,e 2
x y x y ====即时取等号,所以e xy ≥,xy 的最小值是e ,故选C.
【思路点拨】依题意11ln ,,ln 44x y 成等比数列，可得1
ln ln ,4
x y =，再利用对数的运算法
则结合基本不等式，即可求出xy 的最小值．
【数学理卷·2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】6. 设等比数列n {a }的前n 项和为n S ,若
633,S S = 则 96
S
S =（ ） A. 2 B.
73 C. 8
3
D.3 【知识点】等比数列的性质．D3 【答案】【解析】B 解析：
33
63333332S S q S q S S +=⇒=⇒=,363693333363311247133
S S q S q S q q S S q S q ++++++====++, 故选B.
【思路点拨】根据等比数列的性质得到n 2n n 3n 2n S S S S S ，，--成等比列出关系式，又
633,S S =表示出S 3，代入到列出的关系式中即可求出96
S
S 的值．
【数学理卷·2015届河南省实验中学高三上学期期中考试（201411）】15设x 、1a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b 、y 成等比数列，则2
1221)(b b a a +的取值范围是 ．
【知识点】等差数列等比数列D3 D4
【答案解析】[4，+∞）或（-∞，0] 在等差数列中，a 1+a 2=x+y ；在等比数列中，xy=b 1•b 2． ∴21221)(b b a a +=2
()x y xy
+=
222x xy y xy
++=x y +y
x +2．． 当x•y ＞0时，x y +y x ≥2，故21221)(b b a a +≥4；当x•y ＜0时，x y +y x
≤-2，故212
21)(b b a a +≤0．
故答案为：[4，+∞）或（-∞，0]
【思路点拨】由题意可知21221)(b b a a +=2
()
x y xy
+=
222x xy y xy
++=x y +y
x +2． 由此可知 2
12
21)(b b a a +的取值范围．
【数学理卷·2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】2、已知实数1,,9m 成
等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为（ ） A ．
63 B ．2 C ．63或2 D ．22
或3 【知识点】等比数列；圆锥曲线.D3,H8
【答案】【解析】C 解析：解：∵1，m ，9构成一个等比数列，
∴m=±3．
当m=3时，圆锥曲线221x y m +=是椭圆，它的离心率是2633= 当m=-3时，圆锥曲线2
21x y m
+=是双曲线，它的离心率是2． 故答案为：
6
3
或2．
【思路点拨】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=-3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率． 【典例剖析】主要考查等比数列的性质及圆锥曲线的概念.
【数学理卷·2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】20.（本小题满分13分）
已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知147
16
a a +=-，且对于任意的n N *∈有n S ，2n S +，1n S +成等差数列； （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知n b n =（n N *∈），记312123
n
n n
b b b b
T a a a a =
++++
，若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m 的范围。

【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合.D3 D4 D5
【答案】【解析】(1) 1
()2n
n a =-；(2) 17
m ≥
解析：（1）
2132312111
,,,2,2(1)(2),=-2
q S S S S S S a q q a q q ∴=+∴++=+设公比为，成等差得， 3
11411111+=1+=-=-()22
n n n a a a q a a a q -∴==-7又（）
，，所以16…………4分 （2）1
,(),22n n n n n n
b b n a n a ==-∴=⋅，
231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+
+⋅
23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+++-⋅+⋅
23122222n n n T n +∴-=+++
+-⋅
11122(2)(1)2212
n n n n T n n +++-∴=--⋅=-⋅+-………10分
若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，则2
1
(1)[(1)2
21]n n m n n +-≤-⋅+--，
21(1)(1)(21)n n m n +-≤-⋅-， 11
21n n m +-∴≥
-，
令11
()21
n n f n +-=-，12
121
1(2)21(1)()02121(21)(21)n n n n n n n n f n f n +++++--⋅-+-=-=<---- 所以()f n 为减函数， 1()(2)7f n f ∴≤= 1
7
m ∴≥…………13分
【思路点拨】(1) 设出等比数列的公比，利用对于任意的n N *∈有n S ，2n S +，1n S +成等差得
3122,S S S =+代入首项和公比后即可求得公比，再由已知14+a a 7，16
=-
，代入公比后可求得首项，则数列{a n }的通项公式可求； (2) 把（1）中求得的a n 和已知n b n =代入
n
n
b a 整理，然后利用错位相减法求T n ，把T n 代入2(1)(1)n n m T n -≤--后分离变量m ，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．
【数学理卷·2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）(1)】5.已知等比数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=
，2454a a +=，则n n
S
a =（ ） A ．1
4
n - B ．41n
- C ．1
2n - D ．21n
-
【知识点】等比数列. D3 【答案】【解析】D 解析：由1352a a +=，2454a a +=得11,22q a ==，所以n n
S a =21n
-，
故选D.
【思路点拨】根据等比数列的通项公式，前n 项和公式求解.
【数学文卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】19．（本题满分12分） 设数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 的前n 项和n S 满足)1(2
3
-=n n b S 且2512,b a b a == （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式：
（Ⅱ）设,n n n c a b =⋅，设n T 为{}n c 的前n 项和，求n T . 【知识点】 等差数列等比数列数列求和D2 D3 D4
【答案解析】(1) 21n a n =-, 3n n b =. （2）1
3(1)3n n T n +=+-
（1）∵数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =32（b n -1），∴b 1=S 1=3
2
(b 1-1)，解得b 1=3． 当n≥2时，b n =S n -S n-1=
32(b n -1)- 3
2
(b n-1-1)，化为b n =3b n-1． ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3×3n-1=3n ．∵a 2=b 1=3，a 5=b 2=9．
设等差数列{a n }的公差为d ． ∴113
49
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得d=2，a 1=1．∴a n =2n-1．综上可得：a n =2n-1，b n =3n ．
（2）c n =a n •b n =（2n-1）•3n ．
∴T n =3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n ， 3T n =32+3×33+…+（2n-3）•3n +（2n-1）•3n+1．
∴-2T n =3+2×32
+2×33
+…+2×3n
-（2n-1）•3n+1
=23(31)
31
n ⨯---（2n-1）•3n+1-3
=（2-2n ）•3n+1-6．∴T n =3+(n-1)3n+1． 【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n 项和公式即可得出．
【数学文卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】8．已知等比数列{}n a 满足n a ＞0，n ＝1,2，…，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当n ≥1时，
2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝ （ ）
A ．n (2n －1)
B ．(n ＋1)2
C ．n 2
D ．(n －1)2
【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3
【答案解析】C 由等比数列的性质可得a n 2=a 5•a 2n-5=22n ，=（2n ）2， ∵a n ＞0，∴a n =2n ，故数列首项a 1=2，公比q=2，
故log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=log 2a 1•a 3•…•a 2n-1=log 2(a 1)n q 0+2+4+…+2n -2 =log 22n •2
(022)
2
n n +-=log 22n+n2-n =log 22n2=n 2，故答案为C.
【思路点拨】由题意可得a n =2n ，可得数列首项a 1=2，公比q=2，进而可得原式=log 2(a 1)n q 0+2+4+…+2n -2，代入由对数的性质化简可得答案．
【数学文卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】4. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，1321
3,,22a a a 成等差数列，则=++10
81311a a a a （ ） A. 27
B.3
C.
1-或3
D.1或27
【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3 【答案解析】A ∵1321
3,,22
a a a 成等差数列∴3a 1+2a 2=a 3，∴3a 1+2a 1q=a 1q 2∴q 2-2q-3=0 ∵q ＞0∴q=3∴
=++10
813
11a a a a =q 3=27故选A
【思路点拨】由已知可得，3a 1+2a 2=a 3，结合等比数列的通项公式可求公比q ，而
=++10
813
11a a a a =q 3，代入即可求解.
【数学文卷·2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64 【知识点】等比数列 D3
【答案】【解析】C 解析：设等比数列{a n }的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1，根据题意可
得⎩⎪⎨⎪⎧a （1－q 2）
1－q
＝3，
a （1－q 4
）
1－q ＝15，
解得q 2
＝4，a 1－q ＝－1，所以S 6
＝a （1－q 6
）1－q ＝(－1)(1－43
)＝63.
【思路点拨】由已知条件可求出公比，再利用求和公式直接求出数值.
【数学文卷·2015届河南省实验中学高三上学期期中考试（201411）】20．（本小题满分12分）
数列}{n b 满足：.221+=+n n b b ，,1n n n a a b -=+且122,4a a == （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S . 【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3
【答案解析】(Ⅰ) 122n n b +=-（Ⅱ）222(4)n n n +-++
(Ⅰ) ),2(222211
+=+⇒+=++n n n n b b b b ,22
2
1=+++n n b b
又121224b a a +=-+=,
∴ 数列}2{+n b 是首项为4,公比为2的等比数列. 既112422n n n b -++=⋅=
所以122n n b +=-
（Ⅱ）. 由(Ⅰ)知：122n 2)n n n a a bn --==-≥（ 122n 2).n n n a a -∴-=-≥（ 令2,
,(1),n n =-赋值累加得)1(2)222(232--+++=-n a n n ,
22)2222(32+-++++=∴n a n
n .222212)12(21n n n n -=+---=+ ∴22412)(22)2(4)122
n n n n n S n n +-+=-=-++-（ 【思路点拨】求出等比数列的公比首相求出通项公式，根据等比数列求和公式求和。

【数学文卷·2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】
{}6108,4,64,__________n a a a a ===11已知数列为等比数列且则、.
【知识点】等比数列的通项公式．D3
【答案】【解析】16 解析：因为已知数列{}n a 为等比数列，且6104,64a a ==，则22861046416a a a =??，所以8a =16；故答案为：16．
【思路点拨】因为已知数列{}n a 为等比数列，所以6810,,a a a 成等比数列，利用等比中项可求8a 。

【数学文卷·2015届江西省师大附中高三上学期期中考试（201411）】3．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2或-3
D ．2或3
【知识点】等比数列D3
【答案】【解析】C 解析：由317S a =得211117a a q a q a ++=，解得q=2或-3,所以选C .
【思路点拨】一般遇到等比数列问题时，可先观察其项数关系看能否用性质求解，若不能用性质求解，则用其公式转化为首项与公比关系进行解答.
【数学文卷·2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）】5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S a =（ ） A ．14n - B ．41n - C ．12
n - D ．21n
- 【知识点】等比数列. D3 【答案】【解析】D 解析：由1352a a +=，2454a a +=得11,22q a ==，所以n n
S a =21n -， 故选D.
【思路点拨】根据等比数列的通项公式，前n项和公式求解.。