离散数学 - 2、群与子群
离散数学中的代数系统与群论
离散数学是数学中重要的一个分支，它研究离散对象和离散结构。
在离散数学的范畴中，代数系统是一个非常基础而重要的概念。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，它研究了这些操作的性质和规律。
而群论是代数系统研究的一个重要方向，它研究了代数系统中的群的性质和特点。
代数系统是离散数学的重要概念之一。
它是一个三元组(S, F, Ｏ) ，其中S是一个非空集合， F是定义在S上的一组操作，Ｏ是与操作F相适应的元素关系。
代数系统可以是代数学、逻辑学、计算机科学等领域的基本概念。
在代数系统中，操作具有封闭性、结合律、单位元和逆元等基本性质。
代数系统可以有多种形式，如群、环、域等。
而群论就是研究代数系统中的群的性质和规律。
群论是代数系统研究的一个重要方向。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质的代数系统。
在群论中，我们研究了群的基本性质和规律。
群论有两个基本概念：子群和同态。
子群是群中的一个子集，并且仍然满足群的定义。
同态是两个群之间的一个映射，并且保持了一些重要的性质。
群论在数学中有广泛的应用。
它在几何学、物理学、密码学等领域中都有应用。
在几何学中，群论被应用于对称性的研究，帮助我们理解对称性的本质和规律。
在物理学中，群论被用于对物理规律和物理现象的数学描述。
在密码学中，群论被应用于设计和分析密码系统，保证信息的安全性。
总的来说，离散数学中的代数系统与群论是数学中重要的研究方向。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，而群论研究了代数系统中的群的性质和规律。
群论在数学以及其他领域中有广泛的应用。
它不仅为我们解决实际问题提供了新的思路和方法，也帮助我们理解了离散数学中的一些基本概念和原理。
因此，学习和掌握离散数学中的代数系统与群论是非常重要的，它们对我们提高数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
离散数学-群
a ◦ b = a g (g-1 a-1 g-1) = g-1。 同理可证，b ◦ a = g-1。 所以 G 的每个元素都有逆元。 综上所述，< G; ◦ > 是群。
注：
因为半群 < S; > 中 是可结合的，所以可以定义元素的幂。
对任意 a S，定义
a1 = a，an + 1 = an a (n = 1, 2, …)，
并且对于任意正整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
3
定理5-1 设 < S; > 是一个有限的半群，则必有 a S，使得 a 是一个幂等元，即 a a = a 。
第二部分 抽象代数
0
第五章 群
本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重讨论具有一个 二元运算的代数系统，常称为二元代数，包括半群、独异点和 群。半群和独异点在自动机理论、形式语言及程序设计的数学 基础中占有重要的地位，而群是抽象代数中最古老且发展得最 完善的代数系统，在计算机科学中，对于代码的查错和纠错、 自动机理论等各个方面的应用的研究，群是其基础。
代数系统中唯一的单位元常记为 e。 5
在独异点 < S; > 中，也可定义元素的幂：
对任意 a S，有
a0 = e，an + 1 = an a (n = 0, 1, 2, …)，
并且对于任意非负整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
设 < S; > 为独异点，则关于运算 的运算表中没有两行或 两列是相同的。
离散数学,置换群和子群及其陪集
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置 换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
a1 a 2 a n b b b n 1 2
-1= b1 b 2 b n a1 a 2 a n
。
因此，我们有：
定理6.2.6 n元置换的全体作成的集合Sn对置换 的乘法作成一个群，称为n 次对称群。 注意，由于一般情况下置换相乘不满足交换律， 如上例，
§6.2.4 置 换 群 在伽罗瓦理论中起关键作用的就是置换群，它是有限群 的特例，是群的典型代表。
置换的定义:
定义6.2.4 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一 变换称为一个置换。 设M的元素为a1，a2，…，an，则M的置换σ可以简记为
σ＝
a1 a 2 a n ,bi=σ（ai）,i=1,2…,n b b b n 1 2
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮 换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样 作法又可得到一个轮换（b1…bs）。 因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所 以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即 这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ 就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可 得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最 后必得 σ=( a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct) （1） 即σ表成了不相杂的轮换的乘积。
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）,σ和τ不 相杂。命χ为M的任意元素， （1）若χ在a1，…，ar之内，例如χ=ai,则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1, τσ(χ)=τσ(ai)=τ（ai+1）= ai+1。 i=r时，ai+1应改为a1。 总之,στ（χ）=τσ（χ）。 （2）同样可以说明，若χ在b1， …，bs之内， 也有στ（χ）=τσ（χ）。 （3）设χ不在a1， …，ar， b1， …，bs之内。 于是, στ(χ)=σ(χ)=χ,τσ(χ)=τ(χ)=χ。 因此,在所有情况下,στ(χ)=τσ(χ),故 στ=τσ。
《离散数学》课件第6章 (2)
〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称
它为独异点(monoid)， 或含幺半群， 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点， 幺元是0， 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点， 幺元是1， 〈Z, ×, 1〉；
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律， 则称它为半群(semigroups)。
换言之， x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z)， 则〈S， *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an， 递 归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律， 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n， (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。
2020年智慧树知道网课《离散数学(山东联盟)》课后章节测试满分答案
第一章测试
1
【单选题】(6分)
A.
B.
C.
D.
2
【单选题】(6分)
设P：我将去市里，Q：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间”符号化为
A.
Q→P
B.
⌝P∨Q
C.
P↔Q
D.
P→Q
3
【单选题】(7分)
A.
B.
C.
D.
4
【单选题】(7分)
下列公式是重言式的为
A.
P∧Q↔⌝P∨Q
B.
⌝(P∨Q)↔（⌝P∧⌝Q）
C.
(B→(A∨B))↔(⌝A∧(A∨B))
D.
A∧⌝B↔A∨B
5
【单选题】(6分)
A.
永真式
B.
永假式
C.
可满足式
D.
无法确定
6
【单选题】(7分)下列表述成立的为
A.
⌝P∧⌝Q⇔P∨Q
B.
⌝A∧(A∨B)⇒B
C.
P→Q⇒Q
D.
⌝B→A⇔A→B
7
【单选题】(7分)
下列结论中不正确的是
A.
三个命题变元的布尔小项⌝P∧Q∧⌝R的编码是m010
B.
任意两个不同的布尔小项的析取式必为永真式
C.
任意两个不同的布尔大项的析取式必为永真式
D.
三个命题变元的布尔大项⌝P∨Q∨⌝R的编码是M101
8
【单选题】(7分)
A.
B.。
离散数学教学要求资料
1、课程简介一本课程的教学内容简介、学习目标、重点、难点、学习要求等。
离散数学主要研究离散对象和它们之间的关系。
它是现代数学的重要分支之一，是计算机科学的基础理论核心课程。
离散数学的内容很广泛，包括数理逻辑、集合论、图论、代数结构积应用部分。
它们来源于不同的数学分支，从不同的角度研究各种离散量之间的关系。
学习它目的是为计算机科学的数据结构、编译理论、操作系统、算法分析、人工智能等提供了必要的数学基础知识。
通过本课程的学习，期待各位学员对离散数学有一个较全面的概念，培养出抽象思维和严谨的逻辑推理能力。
学习要点一、命题逻辑：掌握命题、命题变元、联结词、复合命题等概念，能够将命题符号化；掌握命题公式、重言式、矛盾式、可满足式、公式真值表等概念，能够利用公式的真值表判断较简单的公式类型；掌握命题公式的等值式、*对偶式，命题公式的代入与置换等概念，能够利用基本等值式、代入规则和置换规则进行等值演算；掌握命题公式的逻辑蕴涵式、逆换式、反换式、逆反式等概念，对于较简单的A和B,能够判断B是否成立，*能够用基本的逻辑蕴涵式推证更复杂的逻辑蕴涵式；掌握全功能联结词集合的概念，能够判断一个联结词集合是否为全功能联结词集合，*会求最小联结词集合；掌握范式、极小（大）项、主范式的概念和性质，掌握求各种范式的方法，*能够用等值演算法和真值表法求命题公式的主范式，熟悉一个命题公式的主合取范式与主析取范式的关系——如何根据一种主范式立刻写岀另一种主范式；*掌握形式证明、前提引入规则、结论引入规则、置换规则、代入规则、蕴涵证明规则等概念，能够根据推理规则以及一些基本等值式和逻辑蕴涵式，利用直接法和间接法作有效推理，并最终得到一个有效的结论。
二、谓词逻辑：掌握个体、个体变量、个体域、谓词、全称量词、存在量词等概念，并学会利用它们符号化一些命题和构成一些较复杂的命题；掌握谓词公式的正确概念，理解约束变量和自由变量的形式和意义；正确使用约束变量的改名规则和自由变量的代入规则；掌握谓词公式的永真、等价、蕴含等概念，并能比较与命题公式演算中同样的概念及其异同；能用定义证明几个定理中给岀的各个含有量词的等价关系式和蕴涵关系式；能记住主要的等值式，即量词否定等值式、量词作用域扩张与收缩等值式、量词分配等值式、在有限个体域内消去量词等值式；能使用约束变量和自由变量改名规则进行等值演算，掌握前束范式的概念以及把谓词公式化成与之等价的前束范式的方法；掌握谓词演算中推理的概念，并能利用正确的方法判断一个推理过程是否正确。
离散数学 第4章 代数系统(2)
离散数学
定理1.设(G,*)是群，|G|2 。则 (1)G中每个元素的逆元是唯一的; (2)G中无零元。 [证]. (1)由于群有结合律，所以由书86页定理4.2可知， 逆元唯一；
(2)采用反证法：若零元0G ，则对任何元素gG ， 都有 0 * g=g * 0=0 (1) 由于G是群，每个元都有逆元。设0的逆元为g0，则有 0 * g0=g0 * 0 = 0 (2) 由逆元定义知 0 无逆元，与群中每个元素都有逆元矛盾。 所以G中无零元。
16
离散数学
例8.(G,o)是一有限群 o e a b c e e a b c 这里： G={e,a,b,c}, o运算的 a a e c b 运算表如右： b b c e a (1)封闭性：由表1可得； c c b a e (2)结合律：留待后证； 表1 (3)有幺元：e ； (4)有逆元：e-1=e,a-1=a,b-1=b,c-1=c 。 例如其第三行就与表头元素构成一置换P3。 此群一般称为Klein 4-群，又称为几何群或运动群。
注：Klein 日耳曼民族，几何学家，我国著名几何学家苏步青是他 的晚年弟子；
17
离散数学
e a bc P3 bc ea 。
[证]. 只证关于第i(1i n)行结论成立。我们设 G={a1(=e), a2,, an} 构造自然眏射 fi :GG 使得 对任何的aG， fi(a)=ai * a 为此，只须证明fi是一双射函数即可。 ①后者唯一： aj, akG， aj=ak ai * aj= ai * ak fi(aj)= fi(ak) ；
4
离散数学
例2. (I, +)是一个群 这里： I是整数集合，+是整数加法，由算术知识知： (1)封闭性：两个整数之和仍为整数，且结果唯一。即 a,b, aIbI a+bI ； (2)结合律：整数加法满足结合律。即 a,b,cI, (a+b)+c = a+(b+c) ； (3)有幺元：取 0I, aI,有a+0＝0+a＝a。 由幺元的定义知，0是关于+的幺元； (4)有逆元：aI，取-aI，有a+(-a)＝(-a)+a＝0。 由逆元的定义知I中每个元素都有逆元； 由群的定义知(I, Ʊ 设(G,*)是群，则*运算满足消去律。即x,y,zG, xy=xzy=z； yx=zxy=z 。 [证]. 只证第一式。x,y,zG, y=e*y = (x-1*x)* y = x-1*(x* y) (结合律) = x-1*(x* z) (条件：x y = x z ) = (x-1*x)* z (结合律) = e* z = z
《离散数学》教学大纲
离散数学一、说明（一）课程性质离散数学是计算机专业重要的基础理论课程，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。
离散数学与计算机科学中的许多后继课联系紧密，能够提供为专业课服务的基本理论。
（二）教学目的对现实世界中被研究的对象进行抽象，建立必要的基本概念，运用数学工具和方法研究揭示对象发展变换的内在规律，为实验设计和工程设计实现提供方法和技术，并展开实验设计和实现工作是计算机科学的基本工作流程。
以离散数学为代表的构造性数学是描述学科理论、方法和技术的主要工具，本课程的目的在于使计算机专业的学生掌握必要的离散形式的数学概念和结构，培养学生的抽象概括能力和严谨的思维能力，为后继课程的学习和创新研究打下良好的基础。
（三）教学内容本课程包括计算机专业所需要的离散数学基础知识，主要内容由数理逻辑、集合论、代数系统与图论四部分组成。
数理逻辑是研究推理的科学，包括了命题逻辑和谓词逻辑，是计算机科学重要的逻辑基础；集合论包含了二元关系、函数、无限集合等；代数是对字母集合和字母组成的结构的计算，抽象代数是关于计算规则的学说，本课程主要讲述了群、布尔代数等；图论起源于欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究，现实中的许多问题可以用图来表示。
上述概念在计算机科学中有着广泛的应用。
它们为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础，同时为许多问题从算法的能行性角度提供了抽象和描述的重要方法和数学基础。
（四）教学时数教学时数为周4学时，共计72学时。
（五）教学方式采用课堂讲授与辅导答疑相结合的教学方式。
二、本文第一篇数理逻辑第一章命题逻辑教学要点：逻辑学是一门研究人类思维形式和思维规律的科学，思维的形式结构包括了概念、判断和推理之间的结构和联系，其中概念是思维的基本单位，通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答就是判断；由一个或几个判断推出另一个判断的思维形式就是推理。
离散数学-群
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定理11.17 设<G，>为有限群,那么当G的非空子
集H对 运算封闭时, <H，>即为G的子群.
定理11.18 设<H，>为<G，>的子群，那麽
（1）当gH时， gH = H（Hg = H）。 （2）对任意gG， gH = H （ Hg = H ）.
.
群
1.1 群及其基本性质
定理11.13
有限群G的每个元素都有有限阶, 且其阶数不超过群G的阶数 G .
.
群
1.1 群及其基本性质
定理11.14
设<G，>为群,G中元素 a 的阶为 k, 那么, an = e当且仅当 k 整除 n .
定理11.15
设<G，>为群，a为G中任一元素， 那么 a 与 a-1 具有相同的阶．
或者aH = bH（Ha = Hb）， 或者 aH∩bH = （Ha∩Hb = ）．
定理0 设<H，>为有限群<G，>的子群
那么H阶的整除G的阶．
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义11.11 设<H，>
为群<G，>的子群。
定义 G上H的左(右)
陪集等价关系～。
对任意a,bG a～b当且仅当a，b 在H的同一左（右） 陪集中
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义11.9
设<G，>为群．称<H，
G的子群(subgroups)，
如果<H，>为G的 子代数 ，且<H，>为一群．
.
群
【离散数学】知识点及典型例题整理
【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。
【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。
【Abel群/交换群】·适合交换律。
可能不只有两个元素适合x2=1【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。
【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。
单位子群{1}和G称为平凡子群。
【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。
a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。
若G的元数是一个质数，则G必是循环群。
n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。
共有ϕ（n）个。
【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）}【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。
H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。
任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。
求右陪集：H本身是一个；任取a∉H而求aH又得到一个；任取b∉H∪aH而求bH又一个。
G=H∪aH∪bH∪…【正规子群】G中任意g，gH=Hg。
（H=gHg-1对任意g∈G都成立）Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。
1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。
2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。
3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。
证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。
故Ha=aH。
4G的任意多个子群的交集是G的子群。
并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。
5 H是G的子群。
§64子群及其陪集(离散数学)-专业PPT文档-PPT精品文档
应用判别条件二 例
给定整数m，证明(mZ,+)是一个群。 证明：注意到(Z,+)是一个群， mZ是Z的非 空子集，因此，只需证(mZ,+)是(Z,+)的子 群。 对任意x,y∈ mZ,存在k,l ∈Z，使得 x=km, y=lm, 于是 x-y=km-lm=(k-l)m ∈ mZ 。 因此， (mZ,+)是(Z,+)的子群，当然本身是 一个群。
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。
现要证（2）.
(错误证法：由H是G的子群知，H是群，故 对a∈H，有b∈H，使得ab=1，所以b是a 的逆，由a的逆的唯一性，知a-1 =b,而b ∈H ，故 a-1 ∈H 。)
判别条件一
先证H中的单位元就是G中的单位元。 设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
6.4.1 子 群 的 定 义
子群 设（G，·）是一个群， H G，
如果 (H， ·) 仍是一个群，则 （H，·）叫做（G，·）的子群。
真子群 如果G的一个子群H不等于G，
即H G，则（H，·）叫做
（G，·）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样，
比如， （C*，·）不是（C，+）的子群。
❖例. 整数加法群（Z，+）是由1生成的循环群。 （mZ，+）是由m生成的循环群。
❖例.设G是4次对称群（本身不是循环群），由
（1 2）生成的循环子群为{I，（1 2）}。
元素的周期
看由元素a所生成的循环群（a）：
…，a-2，a-1，a0，a，a2，…
离散数学置换群和子群及其陪集2
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮 换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样 作法又可得到一个轮换（b1…bs）。
因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所 以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即 这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ 就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可 得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最 后必得
解：例如，全体自然数在普通乘法下，
适，合…a消n}去，律用，a右但乘不G是中群各。元若素G得={aa11a，，a2 a(2ia，j)…，，由an消a必去不条相件同有，ai否=a则j，若矛ai盾a=。aja 对任意bG，必有ai，使aia=b，因之方 程xa=b有解。同理可知ay=b有解。故G
6.3.2 子群的判别条件
定理6.3.1 （判别条件一） 群G的一个子集H是G的一个子群的充分必要条件是 (1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
证明：必要性。设H是G的子群，于是按照G中的乘 法，H是一个群,由群的定义，H中的两个元素a， b应该可以按照G中的乘法在H内相乘,故ab∈H,即 (1)成立。由群的定义要求，（3）也必然成立。
都可排在头一位，不妨假定a1＝a’１。于是， a2=σ（a1）=σ（a’1）= a’2，， a3=σ（a2）=σ（a’2）= a’3，…，如此类推，
可 这就见是（说a1…，a（r）1）必中和的（任a’意1轮…换a’必r’出）现完在全（相2）同中， ，同样（2）中的任意轮换必出现在（1）中，因 之，（1）和（2）一样，最多排列在方法不同， 但不相杂的轮换相乘适合交换律，所以排列的次
(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。
设（a1a2…ar）为一轮换，我们称r为该轮换的长度,一轮 换的长度也就是其中所含的元素个数。
离散数学(二)拉格朗日定理
离散数学（二）第七讲
计算机学院: 焦晓鹏
拉格朗日定理
主要内容:
11 陪集 2
拉格朗日定理
重点和难点:
重点: 陪集的性质
3I=4I 2.5I∩3.4I=Ø
一、陪集
定理1：设<H , ∗>是群<G , ∗>的子群, aH和bH是任意二个左陪集, 那么, 或aH=bH或aH∩bH=Ø。
思路：令命题要证┐P→Q为真。即要证┐(aH∩bH=Ø)→aH=bH
定理4：(拉格朗日定理) 设<H, ∗>是有限群<G, ∗>的子群,且|G|=n， |H|=m，那么m|n。
说明：设H的不同左陪集有 k个，那么n=|G|=k|H|=km
推论1：质数阶的群没有非平凡子群。
说明：<{e}, *>和<G, *>叫做群<G, *>的平凡子群。
推论2：在有限群<G , ∗>中, 任何元素的阶必是|G|的一个因子。
作业： P217 习题6.7 15
二、拉格朗日定理
例3 令A＝{1,2,3}，A上置换的全体S3 = {pi | i = 1,2,3,4,5,6}。
1 2 p1 = 1 2
1 2 p4 = 1 3
1 2 3 1 2 3 3 p2 = 2 1 3 p3 = 3 2 1 3
◇ p1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6
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子群的判定条件及其应用
子群的判定条件及其应用子群是群论中的一个重要概念，它在代数学、几何学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍子群的判定条件以及它在实际问题中的应用。
一、子群的判定条件要判断一个集合是否是一个群的子群，需要满足以下条件：1. 封闭性：对于子群中的任意两个元素，它们的乘积或幂运算结果仍然属于子群。
2. 单位元：子群中必须包含群的单位元。
3. 逆元：对于子群中的任意一个元素，它的逆元也必须属于子群。
4. 结合律：子群中的任意三个元素进行乘积或幂运算，结果不受运算顺序的影响。
以上四个条件是判断一个集合是否是子群的基本条件，只有同时满足这些条件，才能称之为子群。
二、子群的应用子群的概念在数学中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 群论：子群是群论的基础概念，在研究群的性质和结构时，子群扮演着重要的角色。
通过对子群的研究，可以揭示群的一些性质和规律。
2. 离散数学：子群的概念在离散数学中也有广泛的应用。
例如在组合数学中，可以通过对子群的研究，来解决一些组合问题。
3. 线性代数：子群的概念在线性代数中也有重要的应用。
例如在矩阵理论中，可以通过对矩阵的子群的研究，来揭示矩阵的一些性质和规律。
4. 几何学：子群的概念在几何学中也有一定的应用。
例如在对称群的研究中，可以通过对对称群的子群的研究，来揭示几何变换的一些性质和规律。
5. 密码学：子群的概念在密码学中也有一定的应用。
例如在椭圆曲线密码算法中，可以通过对椭圆曲线上的子群的研究，来构建一种安全可靠的密码算法。
以上只是子群的一些应用领域的简要介绍，实际上子群的应用非常广泛，涉及到许多不同的数学学科和实际问题。
总结：子群的判定条件是群论中的一个基础概念，它在代数学、几何学等领域都有广泛的应用。
要判断一个集合是否是一个群的子群，需要满足封闭性、单位元、逆元和结合律等条件。
子群的应用涉及到许多不同的数学学科和实际问题，通过对子群的研究，可以揭示一些问题的性质和规律。