福建省漳州一中2017届高三上学期期中考理科数学试卷Word版含答案.doc

福建省漳州⼀中2017届⾼三上学期期中考理科数学试卷Word版含答案.doc
漳州⼀中2016—2017学年⾼三年期中考
数学科（理）试卷
⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，有且仅有⼀项是符合题⽬要求的．
[ ]1．全集U ={1，2，3，4，5}，集合A ={1，2} ,集合B ={1，3，5}, 则图中阴影部分所表⽰的集合是
(A) {1} (B){1，2，3，5} (C){ 2，3，5} (D){4} [ ]2. 集合A=｛y ∣y =x -2｝,B=｛y ∣y
, 则x ∈A 是x ∈B 的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 [ ]3. 命题: ?x ∈Z ,x 2∈Z .的否定是命题(A) ?x ∈Z ,x 2?Z (B) ?x ?Z ,x 2?Z (C)?x ∈Z ,x 2∈Z (D)?x ∈Z ,x 2?Z [ ]4. 复数
4
1i
++i 的共轭复数的虚部是 (A) 1 (B) －1 (C) i (D) －i [ ]5.若函数y =f (2x )的定义域是[1，2]，则函数f (log 2x )的定义域是(A) [1，2] (B) [4，16] (C) [0，1]
(D) [2，4]
[ ]6. 函数
1
-
=y
的图象⼤致是
[ ]7. 已知f (x +1)为偶函数，则函数y = f (2x )的图象的对称轴是
(A) 1=x
(B)
21
=x (C)21
-=x (D) [ ]8. 已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)( ω>0,| φ|<π)的图象⼀段如右，则f (2016)(A) -1 (B) -12 (C) 1
2
[ ]9. 已知△ABC 中内⾓A 为钝⾓，则复数（sin A -sin B ）+i (sin B -cos C )(A)第Ⅰ象限 (B) 第Ⅱ象限 (C) 第Ⅲ象限 (D) 第Ⅳ象限[ ]10. 向量a =（2，3），b ⊥a ，|b b
等于
(A)（-2，3） (B)（-3，2） (C)（3，-2） (D)（-3，2）或（3，-2） [ ]11. 在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，a n-4=30，则n 的值为
(C
(A)14 (B)15(C)16(D)17
[ ]12. 定义在R 上函数f (x )满⾜x f '(x )> f (x )恒成⽴，则有
(A) f (-5)> f (-3) (B) f (-5)< f (-3) (C)3f (-5)> 5f (-3) (D) 3f (-5)< 5f (-3)
⼆、填空题：本⼤题共5⼩题，每⼩题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13. 已知A (1，0),B (0，1)在直线mx +y +m =0的两侧，则m 的取值范围是
14. 设函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2-k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是 .
15. 阅读下列程序框图，该程序输出的结果是_________． 16.在△ABC 中，三个内⾓分别是A 、B 、C ，向量),2cos ,2cos 25(
B
A C -=
当tan A ·tan B =9
1
时，则|a |= .
三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。

把
解答过程填写在答题卡的相应位置．
17.（本⼩题满分12分）已知等⽐数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 6=S 3+14，a 6=10- a 4，a 4>a 3. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }中, b n =log 2 a n , 求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
18.（本⼩题满分12分）已知△ABC 的⾯积S 满⾜3≤S ≤33且,6=?的夹⾓为α，
（Ⅰ）求α的取值范围；
（Ⅱ）求f (α)=sin 2α+2sin αcos α+3cos 2α的最⼩值.
19.（本⼩题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1各棱长都为a ， P 为线段A 1B 上的动点.
（Ⅰ）试确定A 1P :PB 的值，使得PC ⊥AB ；（Ⅱ）若A 1P :PB =2:3，求⼆⾯⾓P -AC -B 的⼤⼩.
A
B
C
P
1
A 1
C
20.（本⼩题满分12分）设动点P(x,y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离⽐它到x轴的距离⼤1，记点P的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求点P的轨迹⽅程；
（Ⅱ）设圆M过A(0,2)，且圆⼼M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？
21.（本⼩题满分12分）已知函数f(x)=a ln x-bx2图象上⼀点P（2，f(2)）处的切线⽅程为y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）若⽅程f(x)+m=0在
1
[,e]
e
内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为⾃然
对数的底，e≈2.7）.
22. 本题有（1）、（2）两个选答题，请考⽣任选1题作答，满分10分，如果多做，则按所做的前⼀题计分．作答时，将所选题号填⼈括号中．
（1）（本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程
以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，单位长度⼀致建⽴平⾯直⾓坐标系，曲线
C:
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
(θ为参数),直线l：极坐标⽅程为ρsin(θ-
3
π
)=1.
（Ⅰ）求曲线C的普通⽅程，直线l的直⾓坐标⽅程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最⼤值.
（2）（本⼩题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知点P是边长为2的等边三⾓形内⼀点，它到三边的距离分别为x、y、z，求x2+y2+z2的最⼩值．
数学科（理）试卷参考答案
⼀、选择题：CADABD BADDBC
⼆、填空题：13. -1< m <0 14. 13k ≤ 15. 28 16. 423
三、解答题：17.解：(Ⅰ)由已知a 4+ a 5+ a 6=14，∴a 5=4………2分
⼜数列{a n }成等⽐，设公⽐q ，则4q +4q =10，∴q =2或12（与a 4>a 3⽭盾，舍弃）……4分
∴q =2，a n =4×2n -5=2n -3；……6分
（Ⅱ）b n = n -3，∴a n ·b n =（n -3）×2n -3，………………8分 T n =-2×2-2-1×2-1+0+…+（n -3）×2n -3，
2T n = -2×2-1-1×20+0+…+（n -3）×2n -2，………………10分相减得T n =2×2-2-(2-1+20+…+2n -3)+（n -3）×2n -2=12-(2n -2-1
2
)+（n -3）×2n -2 =（n -4）×2n -2+1………………12分
18.解：(Ⅰ)由题意知6cos ||||=?=?α,α
cos 6
||||=
ααα
ααπtan 3sin cos 621sin ||||21)sin(||||21=??=?=-?=
S ………3分 333≤≤S ,3tan 133tan 33≤≤≤≤∴αα即
……………………5分与是α的夹⾓,],0[πα∈∴ ,]3
,4[ππα∈∴……………………7分
（Ⅱ）f (α)=1+sin2α+1+cos2α
（2α+4
π）……………………10分
]3
,4[π
πα∈ ,]1211,
43[42πππ∈+∴a )(3121142απ
αππαf 时即当当==+∴有最⼩值.)(αf 的最⼩值是2
33+…………12分
19.【法⼀】（Ⅰ）当PC ⊥AB 时，作P 在AB 上的射影D . 连结CD .
则AB ⊥平⾯PCD ，∴AB ⊥CD ，∴D 是AB 的中点，⼜PD// AA 1，∴P 也是A 1B 的中点，即A 1P :PB =1. 反之当A 1P :PB =1时，取AB 的中点D '，连接CD '、PD '. ∵?ABC 为正三⾓形，∴CD'⊥AB . 由于P 为A 1B 的中点时，PD'// AA 1 ∵ AA 1⊥平⾯ABC ，∴PD'⊥平⾯ABC ，∴PC ⊥AB .……6分（Ⅱ）当A 1P :PB =2:3时，作P 在AB 上的射影D . 则PD ⊥底⾯ABC .
作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE ⊥AC . ∴∠DEP 为⼆⾯⾓P -AC -B 的平⾯⾓.
A
B
C
P
1
A 1
B 1
C D
E
⼜∵PD// AA 1，∴
132BD BP DA PA ==，∴2
5
AD a =. ∴DE =AD ·sin60°
，⼜∵135PD AA =，∴3
5PD a =.
∴tan ∠PED =
PD
DE
=P -AC -B 的⼤⼩为∠DEP = 60° (12)
【法⼆】以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 1AA 为z 轴，建⽴空间直⾓坐标系A xyz -，如图所⽰，设(),0,P x z ，则(),0,0B a 、()10,0,A a 、2a C ??
.
（Ⅰ）由0CP AB ?= 得(),,0,002a x z a ??
-?= ? ???
，即02a x a ?
-=
，∴12x a =，即P 为A 1B 的中点，
也即A 1P :PB =1时，PC ⊥AB .…………6分
（Ⅱ）当A 1P :PB =2:3时，P 点的坐标是23,0,55a a ??
. 取()
3,2m =- . 则()
233,2,0,05
5a a m AP ??
=-= ，()
3,2
2a m AC ??
=-=
. ∴m 是平⾯P AC 的⼀个法向量.⼜平⾯ABC 的⼀个法向量为()0,0,1n =
.
∴cos=m n m n ??
=1
2
，∴⼆⾯⾓P -AC -B 的⼤⼩是60°.……12分
20.解：（Ⅰ）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线y =-1的距离，曲线C 是
以原点为顶点， F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分
∵12p = ∴p =2 ∴曲线C ⽅程是x 2=4y ………4分
（Ⅱ）设圆的圆⼼为M (4t ,4t 2),半径r 2=16 t 2+(4t 2-2)2=16 t 4+4, ………8分弦长|EG 为定值………12分另解：设圆的圆⼼为M (a ,b )，∵圆M 过A (0,2)，
∴圆的⽅程为 2
2
2
2
()()(2)x a y b a b -+-=+- ………6分
令y =0得：x 2-2ax +4b -4=0 设圆与x 轴的两交点分别为(x 1,0)，(x 2,0) ⽅法1：不妨设x 1> x 2，由求根公式得
1x =
2x =
10分
∴12x x -=⼜∵点M (a ,b )在抛物线x 2=4y 上，∴a 2=4b ，∴
124x x -==，即|EG |＝4………………………………11分∴当M 运动时，弦长|EG |为定值4………………………………12分〔⽅法2：∵x 1+x 2=2a ,x 1x 2=4b -4 ∴
22121212()()4x x x x x x -=+-?22(2)4(44)41616a b a b =--=-+
⼜∵点M (a ,b )在抛物线x 2=4y 上，∴a 2=4b ，∴ 212()16x x -= 124x x -= ∴当M 运动时，弦长|EG |为定值4〕 21.解：（Ⅰ）()2a f x bx x '=
-，()242
a
f b '=-，()2ln 24f a b =-．∴
432
a
b -=-，且ln 2462ln 22a b -=-++． …………………… 3分解得a ＝2，b ＝1． …………………… 5分（Ⅱ）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，
则()222(1)
2x h x x x x -'=-=，令h ’(x )=0，得x ＝1（x ＝－1舍去）．
在1[,e]e 内，当x ∈1
[,1)e
时，h ’(x )>0，∴h (x )是增函数；
当x ∈(1,e]时，h ’(x )<0，∴h (x )是减函数． …………………… 8分
则⽅程h (x )=0在1[,e]e 内有两个不等实根的充要条件是1
()0,
e (1)0,
(e)0.h h h >?
≤≤......10分即1
分
22. （1）解：(Ⅰ) 曲线C ：x 2+y 2=1，直线l 为ρsin θ
cos θ=2
－y +2=0；……6分 (Ⅱ) 所求最⼤值为
002
2
-++1=2………10分
（2）解：依题意得
212()224
x y z ?++=即x y z ++ ………………3分 23()x y z =++≤222()(111)x y z ++++ …………………6分∴x 2+y 2+z 2≥1当且仅当x =y =z =1等号成⽴ ……………9分
∴x 2+y 2+z 2
的最⼩值为1. …………………10分
注:各题若有其它解法可参照给分.。