(完整版)高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷
一．选择题（共9小题）
1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260
2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．
3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）
A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1
4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．
6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23
7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6
8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）
A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．
9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
二．解答题（共14小题）
10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．11．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式
（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
12．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．
（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++…+＜．
13．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．
14．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
15．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．
16．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列
（1）求q的值和{a n}的通项公式；
（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．
17．已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．
18．已知数列{a n}和{b n}满足a1=2，b1=1，a n+1=2a n（n∈N*），b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．
19．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
20．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．
21．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由
（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；
≥a n，n∈N*，求a的取值范围．
（Ⅱ）若a n
+1
22．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．
23．数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．
高中数学数列专题大题组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（1996•全国）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）
A．130 B．170 C．210 D．260
【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．
【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由题意得方程组，
解得d=，a1=，
∴s3m=3ma1+d=3m+=210．
故选C．
解法2：∵设{a n}为等差数列，
∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，
即30，70，s3m﹣100成等差数列，
∴30+s3m﹣100=70×2，
解得s3m=210．
故选C．
【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．
2．（2010•大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）
A．B．7 C．6 D．
【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；
a7a8a9=10⇒a83=10，
a52=a2a8，
∴，∴，
故选A．
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．
3．（2011•四川）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1
【分析】根据已知的a n
=3S n，当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减，根
+1
据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．
=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），
【解答】解：由a n
+1
﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，
两式相减得：a n
+1
=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，
则a n
+1
得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，
所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）
则a6=3×44．
故选A
【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．
4．（2013•大纲版）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）
A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
+a n=0
【解答】解：∵3a n
+1
∴
∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）
故选C
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
5．（2013•新课标Ⅱ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）
A．B．C．D．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到
，解出即可．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴，解得．
∴．
故选C．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．
6．（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）
A．138 B．135 C．95 D．23
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．
【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，
∴d=3，a1=﹣4，
∴S10=10a1+=95．
故选C
【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．
7．（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．
【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，
所以公差d=a m
﹣a m=1，
+1
S m==0，得a1=﹣2，
所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，
故选C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．
8．（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）
A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．
【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，
即a42=（a4﹣4）（a4+8），
解得a4=8，
∴a1=a4﹣3×2=2，
∴S n=na1+d，
=2n+×2=n（n+1），
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
9．（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B 不正确；
{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
二．解答题（共14小题）
10．（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T n，结合求解指数不等式得n的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有
a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），
即a n=2a n﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，
又∵a1，a2+1，a3成等差数列，
∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．
∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
∴．
由，得，即2n＞1000．
∵29=512＜1000＜1024=210，
∴n≥10．
于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式
（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，
解得，或，
当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；
当时，a n=（2n+79），b n=9•；
（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，
∴c n==，
∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，
∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，
∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，
∴T n=6﹣．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注
意解题方法的积累，属于中档题．
12．（2014•新课标Ⅱ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．
（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++…+＜．
【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常
数，又首项不为0，所以为等比数列；
再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；
（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
【解答】证明（Ⅰ）==3，
∵≠0，
∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；
∴a n+==，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，
∴当n=1时，成立，
当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．∴对n∈N
时，++…+＜．
+
【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，
只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．
13．（2013•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．
【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d （2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式a n；
=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，（II）由（I）可得a3n
﹣2
﹣6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n
．
﹣2
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，
由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，
∴，化为d（2a1+25d）=0，
∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2．
∴a n=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27．
=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，（II）由（I）可得a3n
﹣2
﹣6为公差的等差数列．
∴S n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2=
=
=﹣3n2+28n．
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．
14．（2013•大纲版）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n
（II）由==，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴=
（II）∵==
∴s n=
==
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易
15．（2011•新课标）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．
【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．
（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=
∴a n=×=，
S n=
又∵==S n
∴S n=
（II）∵a n=
∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．
16．（2015•天津）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列
（1）求q的值和{a n}的通项公式；
（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．
【分析】（1）通过a n
=qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5
+2
成等差数列，计算即可；
（2）通过（1）知b n=，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）∵a n
=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，
+2
∴a3=q，a5=q2，a4=2q，
又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，
∴2×3q=2+3q+q2，
即q2﹣3q+2=0，
解得q=2或q=1（舍），
∴a n=；
（2）由（1）知b n===，n∈N*，
记数列{b n}的前n项和为T n，
则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，
∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，
两式相减，得T n=3++++…+﹣n•
=3+﹣n•
=3+1﹣﹣n•
=4﹣．
【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
17．（2015•山东）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】（1）通过对c n=分离分母，并项相加并利用数列{}的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论；
（2）通过b n=n•4n，写出T n、4T n的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，
∴a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd，
令c n=，
则c n==[﹣]，
∴c1+c2+…+c n﹣1+c n=[﹣+﹣+…+﹣]
=[﹣]
=
=，
又∵数列{}的前n项和为，
∴，
∴a1=1或﹣1（舍），d=2，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）由（1）知b n=（a n+1）•2=（2n﹣1+1）•22n﹣1=n•4n，
∴T n=b1+b2+…+b n=1•41+2•42+…+n•4n，
∴4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，
两式相减，得﹣3T n=41+42+…+4n﹣n•4n+1=•4n+1﹣，
∴T n=．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．（2015•浙江）已知数列{a n}和{b n}满足a1=2，b1=1，a n+1=2a n（n∈N*），b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．
【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，a n+1=2a n，可得数列{a n}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{a n}的通项公式；
再由b1=1，b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{a n b n}的前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，a n+1=2a n，得．
由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，
当n≥2时，b1+b2+b3+…+=b n﹣1，和原递推式作差得，
，整理得：，
∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因此
，
两式作差得：，
（n∈N*）．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．
19．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；
（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．
解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），
解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；
（2）S n==2n﹣1，
∴b n===﹣，
∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
20．（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．
【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+
（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，
=3n﹣1+3，
当n＞1时，2S n
﹣1
此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，
所以a n=．
（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，
当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，
所以T1=b1=；
当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），
所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），
两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，
所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，
综上可得T n=﹣．
【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．
21．（2008•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由
（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；
≥a n，n∈N*，求a的取值范围．
（Ⅱ）若a n
+1
【分析】（Ⅰ）依题意得S n
=2S n+3n，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）．所以b n=S n
+1
﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由题设条件知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，a n=S n﹣S n﹣1=，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n
﹣S n=a n+1=S n+3n，即S n+1=2S n+3n，
+1
﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）．（4分）
由此得S n
+1
因此，所求通项公式为b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）
（Ⅱ）由①知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
a n=S n﹣S n﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣a n=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，
当n≥2时，⇔a≥﹣9．
又a2=a1+3＞a1．
综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
22．（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，
∴S n==n2﹣n+na1，
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴，
∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣
1==．
∴T n=﹣++…+．
当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．
当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．
∴Tn=．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．
23．（2014•安徽）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．
【分析】（Ⅰ）将na n
=（n+1）a n+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，
+1
由等差数列的定义得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b n=3n•=n•3n，利用错位相减求出数列{b n}的前n项和S n．
=（n+1）a n+n（n+1），
【解答】证明（Ⅰ）∵na n
+1
∴，
∴，
∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
b n=3n•=n•3n，
∴•3n﹣1+n•3n①
•3n+n•3n+1②
①﹣②得3n﹣n•3n+1
=
=
∴
【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．。