高考数学总复习 9.11简单多面体和球精品课件 文 新人教B版

6.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，
就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 我们把这个弧长叫做两点的球面距离，l＝Rφ(φ为球心 角的弧度数). 7.球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝ πR3.
1.球面距离是弧长，而非两点间的直线距离；求A、
B两点的球面距离的步骤是：⑴求弦长|AB| ，⑵求球心
6．(2004年北京，理11)某地球仪上北纬30°纬线 的长度为12π cm，该地球仪的半径是________cm，表 面积是________cm2.
例1
已知球的两个平行截面的面积分别为49π、
400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积． [分析] 先画出过球心且垂直于已知截面的球的大 圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的
3.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的
集合，叫做球体，简称球，定点叫球心，定长叫球的 半径，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面．一 个球或球面用它的球心的字母表示，例如球O. 4.球的截面：
(1)球的截面是一个圆；
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半 径r满足r＝ . 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不
一、选择题 1．下列四个命题中错误的个数是 ( )
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一
个球的大圆；②球的表面积是它大圆面积的四倍； ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上 以这两点为端点的劣弧的长． A．0 C．2 [解析] ①③错误． [答案] C B．1 D．3
2．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到
经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
5.经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆． 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小 圆． 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确 定的半平面与0°经线及轴确定的半平面所成的二面角 的度数． 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道 平面所成角的度数．
半径，注意：由于球的对称性，应考虑两截面与球心
的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形，加以分 类讨论．
[解] 右下图为球的一个大圆截面 π·O1A2＝49π，则 O1A＝7， 又 π·O2B2＝400π，∴O2B＝20， (1)当两截面在球心同侧时， OO1－OO2＝9＝ R2－72－ R2－202， 解得 R2＝625，S 球＝4πR2＝2500π. (2)当两截面在球心异侧时， OO1 ＋ OO2 ＝ 9＝ R2－72＋ R2－202 ，无 解 综上，所求球的表面积为 2500π .
球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一 环，特别是有关球的计算问题中，R2＝d2＋r2(R、r、d 分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距 离)起着重要的作用．
例2 (2006年浙江卷)如图，O是半径为1的球心，
点A、B、C在球面上， OA、OB、OC两两垂直，E、 F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上
最新考纲解读
1．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念． 2．理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的 体积公式． 高考考查命题趋势
球是最常见的几何体，高考对球的考查主要在以
下四个方面：(1)球的截面的性质；(2)球的表面积和体 积；(3)球面上两点间的球面距离；(4)球与其他几何体 的组合体．而且多以选择题和填空题的形式出现，第(4) 方面有时用综合题进行考查.
1.简单多面体：表面经过连续变形可变为球面的多 面体，叫做简单多面体． 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单 多面体． 2.正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形， 每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多 面体．正多面体有且只有5种，分别是正四面体、正六
面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．
这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是 ( )
[答案] C
3．若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大
的球体积是其余两球体积和的________倍． A．4 C．2 B．3 D．1 ( )
[解析] 三球体积之比为1∶8∶27.
[答案] B
4．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且
它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 ( )
的球面距离是
( )
π 2 π [解析] 如图，EG＝1×sin ＝ ＝FG，∠EGF＝ 4 2 2 ∴EF＝ EG2＋FG2＝1＝OE＝OF， π ∴∠EOF＝ ， 3 π π ∴点 E、F 在该球面上的球面距离为 ×1＝ ，故选 3 3 择 B.
[答案] B
要正确理解球面上两点距离和两点间的直线距离 的区别和联系(要求球面距离，必先求两点间的直线距 离)，求球面上两点间的距离，求解步骤：①解三角形 得弦长；②解三角形得球心角；③利用弧长公式求弧 长．
角∠AOB的大小θ(用弧度制表示)，⑶利用弧长公式写 出球面距离θR.求球心角∠AOB时注意到△ABO是等腰 三角形，可以取AB的中点，将△AOB转化为两个全等 的直角三角形．
2．与球有关的结合体 求几何体的外接球、内切球半径，关键是找到球 心的位置并正确做出截面．几何体的外接球半径还可 以转化为求三角形的外接圆半径 ( 利用正弦定理来 求)； 几何体的内切球半径可用体积法． 以下结论要记 熟： ⑴正方体、 长方体外接球直径等于其体对角线长； 6 ⑵设正四面体棱长为 a 则高为 h＝ a， 外接球半径 R 3 6 6 ＝ a，内切球半径 r＝ a，即 h＝R＋r，R＝3r. 4 12[解析] 设球的半径为R，来自(2R)2＝32＋42＋52＝
50， ∴R＝ [答案] C ，∴S球＝4π×R2＝50π.
5．设集合A＝{正四面体}，B＝{正多面体}，C＝
{简单多面体}，则A、B、C之间的关系为 A．A⊂B⊂C C．C⊂B⊂A [答案] A B.A⊂C⃘B D．C⊂A⊂B ( )
二、填空题
例3
(1)(四川卷)如图，正四棱锥P－ABCD底面的 ，则球O的表面积为( )
四个顶点A、B、C、D 在球O的同一个大圆上，点P在 球面上，如果VP－ABCD＝