北师大版八年级数学下册第一章综合素质评价 附答案 (1)

北师大版八年级数学下册第一章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是()
A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，17
2．【2022·安国市一模】如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O 的度数为()
A．30°B．45°C．60°D．75°
3．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是()
A．AC＝AD B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
4．【教材P16随堂练习T3改编】下列命题的逆命题是真命题的是() A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等D．若a＝b，则|a|＝|b|
5．【2022·自贡】等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是()
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？()
A．△ABC三条角平分线的交点处B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条高的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()
A．2．5 B．1．5 C．2 D．1
8．【教材P35复习题T16变式】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平
分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于1
2AC长为半径作弧，两
弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为()
A．3
8B．
7
8C．
5
8D．1
9．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D，且PC＝4，则PD的长等于()
A．1 B．2 C．4 D．8
10．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝3，ON＝5，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是()
A．34 B．35 C．34－2 D．35－2
二、填空题(每题3分，共24分)
11．【2022·黑龙江】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA ＝OC，请你添加一个条件__________，使△AOB≌△COD．
12．【教材P34复习题T9变式】【2022·岳阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝________．
13．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角，第一步是假设这个三角形中____________．
14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
16．我们规定，等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝1，则该等腰三角形的顶角为________度．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D．下列说法：
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④
S△DAC∶S△AB C＝1∶3．其中正确的有________．(填序号)
18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．
三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分) 19．【2022·自贡】如图，△ABC是等边三角形，D，E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
21．【教材P34复习题T4变式】已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线分别交AB，AC于点E，F，且BE＝EO．
(1)说明EF与CF的数量关系；
(2)求点O到BC的距离．
23．【教材P31例3拓展】(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC 的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，则AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为______________．
(2)若将(1)中的条件“Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“△ABC中，∠C＝2∠
B”，如图②，请问：(1)中的结论是否仍然成立？并证明．
24．【2022·湘潭节选】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为点D，E．
(1)特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝2，分别求出线段BD，CE和
DE的长．
(2)规律探究：
①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0°＜α＜45°)，请探究线段
BD，CE和DE的数量关系并说明理由；
②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°＜α＜90°)，与线
段BC相交于点H，请再探线段BD，CE和DE的数量关系并说明理由．
答案
一、1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．B
10．A 提示：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接OM ′，
ON ′，M ′N ′．
易知M ′N ′的长即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：ON ′＝ON ＝5，OM ′＝OM ＝3， ∠N ′OA ＝∠M ′OB ＝∠AOB ＝30°， ∴∠N ′OM ′＝90°，
在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′＝32＋52＝34． 故选A ．
二、11．OB ＝OD (答案不唯一) 12．3 13．有两个直角 14．45°
15．4 16．60 17．①②③④ 18．100° 三、19．证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°． ∴∠ABD ＝∠ACE ＝120°． 在△ABD 和△ACE 中，
⎩⎨⎧AB ＝AC ，
∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ，
∴△ABD ≌△ACE (SAS)． ∴∠D ＝∠E ．
20．解：如图，BQ 就是∠ABC 的平分线．
证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°．
∴∠BPD ＋∠PBD ＝90°．
∵∠BAC ＝90°，∴∠AQP ＋∠ABQ ＝90°． ∵∠ABQ ＝∠PBD ，∴∠BPD ＝∠AQP ． ∵∠BPD ＝∠APQ ，∴∠APQ ＝∠AQP ． ∴AP ＝AQ ．
21．(1)证明：∵OB ＝OC ，
∴∠OBC ＝∠OCB ．
∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC ＝∠BDC ＝90°．
∴∠BCE ＋∠ABC ＝∠DBC ＋∠ACB ＝90°． ∴∠ABC ＝∠ACB ．
∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形． (2)解：点O 在∠BAC 的平分线上． 理由：在△EOB 和△DOC 中， ⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ＝90°
，∠EOB ＝∠DOC ，
OB ＝OC ，
∴△EOB ≌△DOC (AAS)． ∴OE ＝OD ．
又∵OE ⊥AB ，OD ⊥AC ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上． 22．解：(1)EF ＝2CF ．理由如下：
如图所示．
∵BE ＝EO ，∴∠1＝∠2．
∵在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ， ∴∠1＝∠3，∠4＝∠5． ∴∠2＝∠3．∴EF ∥BC ． ∴∠4＝∠5＝∠6． ∴OF ＝CF ．
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．
∵EF ∥BC ，
∴∠ABC ＝∠AEF ＝∠ACB ＝∠AFE ． ∴AE ＝AF ． ∴BE ＝CF ．
∴EF ＝OE ＋OF ＝2CF ．
(2)如图，连接AO 并延长交BC 于点D ．
∵在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1
2BC ＝3．
在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝52－32＝4， ∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝1
2×6×4＝12． ∵点O 是△ABC 三个内角平分线的交点， ∴点O 到三边的距离相等，即为OD 的长． ∵S △OBC ＋S △OAC ＋S △OAB ＝S △ABC ， ∴12BC ·OD ＋12AC ·OD ＋12AB ·OD ＝12． ∴OD ＝1．5，即点O 到BC 的距离是1．5． 23．解：(1)AB ＝AC ＋CD
(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下： ∵AD 是∠CAB 的平分线，
∴将△CAD 沿AD 折叠，点C 恰好落在AB 边上，记为C ′，如图所示．
由折叠的性质知△ACD ≌△AC ′D ， ∴AC ＝AC ′，CD ＝C ′D ，∠C ＝∠1． ∵∠C ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ． 又∵∠1＝∠2＋∠B ，∴∠2＝∠B ． ∴C ′D ＝C ′B ＝CD ．
∴AB ＝AC ′＋BC ′＝AC ＋CD ．
24．解：(1)在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°． ∵l ∥BC ，
∴∠DAB ＝∠ABC ＝45°，∠CAE ＝∠ACB ＝45°． ∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，
∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∠EAC ＝∠ACE ＝45°． ∴AD ＝BD ，AE ＝CE ．
∵AB ＝AC ＝2，∴易得AD ＝BD ＝AE ＝CE ＝1． ∴DE ＝2．
(2)①DE ＝BD ＋CE ．理由如下： 在Rt △ADB 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°． ∴∠ABD ＝∠CAE ． 在△ABD 和△CAE 中，
⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，
∠BDA ＝∠AEC ＝90°
，AB ＝AC ，
∴△ABD ≌△CAE (AAS)． ∴CE ＝AD ，BD ＝AE ． ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE ． ②DE ＝BD －CE ．理由如下：
在Rt △ADB 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°，
∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°． ∴∠ABD ＝∠CAE ． 在△ABD 和△CAE 中，
⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，
∠BDA ＝∠AEC ＝90°
，AB ＝AC ，
∴△ABD ≌△CAE (AAS)． ∴CE ＝AD ，BD ＝AE ． ∴DE ＝AE －AD ＝BD －CE ．。