华师大版八年级下册初二数学(提高版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版八年级下册数学
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
分式的概念和性质（提高）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】
【403986 分式的概念和性质知识要点】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A
B
叫做分式.其中A
叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分
母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常
数，不是字母，如a
π
是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
不能先化简，如
2
x y
x
是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，
不能看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分
式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M
B B M B B M
⨯÷
==
⨯÷
，（其中M是不等于零的整式）.
要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加
的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中
字母的取值范围有可能发生变化.例如：
，在变形后，
字母x 的取值范围变大了.
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有
b b a a -=-，b b
a a
-=
-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a
b
-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
要点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母
再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是
分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
要点六、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高
次幂的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则
是针对多个分式而言.
【典型例题】 类型一、分式的概念
【403986 分式的概念和性质 例1】
1、指出下列各式中的整式与分式：1
x ，
1x y +，2a b +，x π，231x -，23
-，2
32y -+，2
x x
，24y ．
【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】
解：整式有：2a b +，x π，23
-，2
32y -+，24y ；
分式有：1
x ，1x y +，231
x -，2x x ．
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再
判断，如x 和2
x x
，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．
类型二、分式有意义，分式值为0 【403986 分式的概念和性质 例2】
2、 当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时，下列分式的值为零？ （1）
21x x +；（2）2
5x x
-；（3）2105x x --． 【答案与解析】
解：（1）当2
10x +≠，即2
1x ≠-时，分式有意义．
∵ 2
x 为非负数，不可能等于－1， ∴ 对于任意实数x ，分式都有意义； 当0x =时，分式的值为零．
（2）当20x ≠即0x ≠时，分式有意义；
当0,50,x x ≠⎧⎨-=⎩
即5x =时，分式的值为零
（3）当50x -≠，即5x ≠时，分式有意义； 当50,2100x x -≠⎧⎨-=⎩①②
时，分式的值为零， 由①得5x ≠时，由②得5x =，互相矛盾．
∴ 不论x 取什么值，分式210
5
x x --的值都不等于零．
【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零． 举一反三：
【变式1】（2016春•绍兴期末）下列分式中不管x 取何值，一定有意义的的是（ ）
A ．2
x x
B ．
2
1
1
x x -- C ．
2
3
2
x x ++ D ．
1
1
x x -+
【答案】C.
【变式2】当x 取何值时，分式2
26
x x -+的值恒为负数？ 【答案】 解： 由题意可知20,260,x x ->⎧⎨
+<⎩或20,
260.x x -<⎧⎨+>⎩
解不等式组20,
260,x x ->⎧⎨+<⎩
该不等式组无解．
解不等式组20,
260.
x x -<⎧⎨+>⎩得32x -<<．
所以当32x -<<时，分式2
26
x x -+的值恒为负数．
类型三、分式的基本性质
【403986 分式的概念和性质 例4】
3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1) ； (2)
； (3)
.
【答案与解析】 解：(1)
；
(2) ()22
11
22
a a a a -++=
=---； (3)
.
【总结升华】(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法则：
当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号. 举一反三：
【变式】下列分式变形正确的是（ ）
A ．22x x y y =
B ．22
22
()()()()m n m n m n m n m n m n m n ---==++--
C ．211211x x x x -=
-+- D ．2b ab a a
= 【答案】D ；
提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件．其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中0m n -≠这一条件不知是否成立，故A 、B 两项均是错的．C 项左边可化为：
2111
(1)11
x x x x -=≠---，故C
项亦错，只有D 项的变形是正确的．
类型四、分式的约分、通分
4、约分：（1）22211a a a ++-；（2）23
224n m
mn n --；
通分：（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，2
2
x -．
【答案与解析】
解：（1）22221(1)11(1)(1)1
a a a a a a a a ++++==-+--；
（2）22232222(2)242(2)2(2)n m n m m n mn n n m n n m n ----==---1
2n
=-；
（3）最简公分母是22
2a b c ．
2222333222bc bc a b a b bc a b c ==，22222
()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c ---==． （4）最简公分母是(2)(2)x x +-， 21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，22
4444x x
x x =--，222(2)242(2)(2)4
x x x x x x ++==--+-． 【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．
类型五、分式条件求值
5、若2x
y
=-，求22222367x xy y x xy y ----的值．
【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】 解法一：因为
2x
y
=-，可知0y ≠， 所以2
2
22
22
2222
1(23)
23167(67)
x xy y x xy y y x xy y x xy y y ----=----2
22367x x y y x x y y
⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭
22(2)2(2)35(2)6(2)79
--⨯--==--⨯--． 解法二：因为2x
y
=-，
所以2x y =-，且0y ≠，
所以222
2
23(3)()3235
67(7)()7279
x xy y x y x y x y y y x xy y x y x y x y y y ---+---====---+---． 【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的． 举一反三： 【变式1】已知(0)346
x y z
xyz ==≠，求222
xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】 解： 设
(0)346
x y z
k k ===≠，则3x k =，4y k =，6z k =．
∴ 22222222
3446635454
(3)(4)(6)6161
xy yz zx k k k k k k k x y z k k k k ++++===++++． 【变式2】（2015春•惠州校级月考）若0＜x ＜1，且的值．
【答案】 解：∵x+=6，
∴（x ﹣）2=（x+）2﹣4=36﹣4=32， ∴x ﹣=±4，
又∵0＜x ＜1， ∴x ﹣=﹣4． 故答案为﹣4
． 【巩固练习】
一.选择题
1．（2015•南宁模拟）要使分式
有意义，x 的取值范围为（ ） A.x ≠﹣5 B.x ＞0
C.x ≠﹣5且x ＞0
D.x ≥0
2.（2016·富顺县校级模拟）把分式2
2x y
xy y +-的x y 、均扩大为原来的10倍后，则分式的值
（ ） A ．不变
B ．为原分式值的10倍
C ．为原分式值的1
10
D ．为原分式值的1100
3．若分式
532a b
a b
-+有意义，则a b 、满足的关系是（ ）
A ．32a b ≠
B ． 15a b ≠
C ．a b 32-=/
D ．2
3
a b =-/
4．若分式1212+-b b
的值是负数，则b 满足（ ）
A ．b ＜0
B ．b ≥1
C ．b ＜1
D ．b ＞1
5．下面四个等式：;2
2;22;22y
x y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①
⋅-+=--2
2y x y x ④其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．化简22
222a b a ab b -++的正确结果是（ ）
A ．a b a b +-
B ．a b a b -+
C ．12ab
D ．
1
2ab
- 二.填空题 7.使分式
2
2(3)
x
x +有意义的条件为______．
8.（临清市期末）若
，则
= ．
9．（2016春·龙岗区期末）要使分式21
1
x x --的值等于零，则x 的取值是 ．
10．填空：)()1(=++-n m n m =-----b a n m m n 212)2(;)(⋅-b
a
221
11．填入适当的代数式，使等式成立．
（1）2
2
222()a ab b a b a b
+-=⋅-+（2）
.a b b
a b a -=-+
)(11 12. 分式2
211
2m
m m -+-约分的结果是______． 三.解答题
13.（2015春•泰兴市校级期中）（1）当x=﹣1时，求分式
的值．
（2）已知a 2﹣4a+4与|b ﹣1|互为相反数，求的值．
14.已知
112x y
-=，求373232x xy y
x xy y +---的值．
15.（1）阅读下面解题过程：已知22
,15
x x =+求24
1x x +的值． 解：∵22
,15
x x =+()0x ≠
12
,15x x =+∴即152x x +=⋅
2422221114115117
()2()22
x x x x x x ====⋅+++--∴ （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：
已知22,31
x
x x =-+求24
21x x x ++的值． 【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D ；
【解析】解：由题意得：x+5≠0，且x ≥0，
解得：x ≥0， 故选：D ．
2. 【答案】C ；
【解析】()()()()
2222101010210021022101010x y x y x y x y
xy y xy y xy y x y y ++++===---⨯⨯-，
则分式的值变为原分式的
110
.
3. 【答案】D ；
【解析】由题意，320a b +≠，所以23
a b =-/. 4. 【答案】D ；
【解析】因为2
210,b +>所以10,b -<即b ＞1. 5. 【答案】C ；
【解析】①④正确. 6. 【答案】B ；
【解析】()()()
22
2
222a b a b a b a b a ab b a b a b +---==++++. 二.填空题
7. 【答案】3x ≠-. 8. 【答案】； 【解析】解：设
=k ，
则a=2k ，b=3k ，c=4k ． ∴
=
=
=．
故答案为．
9. 【答案】-1；
【解析】210
10x x ⎧-=⎨-≠⎩
，所以1x =-.
10.【答案】（1）－；（2）＋；
11.【答案】（1）2a b +；（2）b a +；
【解析】()()()()2
2
22
22a b a b a ab b a b a b a b -++-=
-+-；11a a b
a b b b a b a b a
b b
++
+==---. 12.【答案】11m
m
-+；
【解析】()()()2
22
12111111m m m m m m m m
--+-==-+-+. 三.解答题
13.【解析】 解：（1）
=
= =
（2）a 2﹣4a+4=（a ﹣2）2≥0，|b ﹣1|≥0，
∵a 2﹣4a+4与|b ﹣1|互为相反数， ∴a﹣2=0，b ﹣1=0， ∴a=2，b=1 ∴
= = 14.【解析】 解：方法一：∵
112y x x y xy
--==， 等式两边同乘以xy ，得2xy y x =-． ∴ 2x y xy -=-．
∴
3733()72322()3x xy y x y xy x xy y x y xy +--+=----3271
22377
xy xy xy xy xy xy -⨯+===--⨯--． 方法二：∵ 11
2x y
-=，
∴ 1133
377373327122232223711323
x y x xy y y x
x xy y y x x y ⎛⎫--++-
⎪+--⨯+⎝⎭====----⨯-⎛⎫
----- ⎪⎝⎭
．
15.【解析】 解：∵
2
2,31
x
x x =-+()0x ≠ ∴1
213x x =+-，∴172x x +=
∴222
422211141145171112x x x x x x x ====++⎛⎫⎛⎫
+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 分式的乘除（提高）
【学习目标】
1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.
2.会分式的乘法、除法运算.
3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】
【402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：
a c ac
b d bd
⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：
a c a d ad
b d b
c bc
÷=⋅=
，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约
分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）
和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
要点二、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
n
n n a a b b
⎛⎫
= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n
n a a b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的
奇次方为负.
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算
乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如
()2
2
2222
a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
. 【典型例题】
类型一、分式的乘法
1、（2016北京•门头沟一模）已知x －3y =0，求
()2
2
22x y
x y x xy y +⋅--+的值．
【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x =3y 代入可求
分式的值． 【答案与解析】 解：原式=
()
()2
2x y
x y x y +⋅--
=2x y
x y
+- ∵ x －3y=0，∴ x=3y ．
∴当x=3y 时，原式=
2377
322
y y y y y y ⨯+==-． 【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式
的值． 举一反三：
【变式】已知分式
2|2|(3)0a b a b -+-=+，计算222
22
a ab
a ab
b a b
+--的值． 【答案】
解：
222
22222
()
()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b +-+-=
=-+-．
∵
2
|2|(3)0a b a b
-+-=+， ∴ 2
|2|(3)0a b -+-=，且0a b +≠，即20a -=且30b -=，解得2a =，3b =，此时50a b +=≠．
∴ 原式2224
39
==．
类型二、分式的除法
2、课堂上，李老师给同学们出了这样一道题：当3x =，522-73时，求代
数式22
2122
11
x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．
【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的x 的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母x 的取值无关． 【答案与解析】
解： 222
2122(1)1111(1)(1)2(1)2
x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--． 所以无论x 取何值，代数式的值均为1
2
，即代数式的值与x 的取值无关．
所以当3x =，522-73+时，代数式的值都是1
2
．
【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质． 举一反三：
【变式】已知20a b +=，其中a 不为0，求2
2
22
2b
a a
b a b
ab a --÷
+的值.
【答案】
解：原式＝()()()()
2
a a
b a b a b b a a b ++-⋅- ＝()22
b b a +. ∵ 20a b +=， ∴ a b 2-=.
∴ 原式＝22
2
24)2()(a a a a =--. ∵ a 不为0，
∴ 原式＝4
1
.
类型三、分式的乘方
3、 （2015春•泉州校级期中）计算：
．
【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣
•
=﹣
．
【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方．
类型四、分式的乘除法、乘方混合运算
【402545分式的乘除运算 例2（4）】
4、 若m 等于它的倒数，求3222
2)2
.()2
2(
4
44m m m m m m m -
-+÷-++的值．
【答案与解析】
解：2223
2
442().()422
m m m m m m m +++÷--- ()()()()()()()
22
32
222228
2282m m m m m m m m m m +-=-⨯⨯+-+-=-
+
∵m 等于它的倒数，
∴1
,m m
=
解得1m =± ∴1m =时，原式＝124；1m =-时，原式＝3
8
-.
【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 举一反三：
【变式】（2014春•安县校级月考）化简：．
【答案】 解：原式=﹣•
•
=﹣
．
【巩固练习】 一.选择题
1．（2014秋•岱岳区期中）化简，其结果是（ ）
A.﹣
B.2
C.﹣2 D ．
2．（2016•济南）化简÷的结果是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．2（x+1）
3．计算⨯-
3
2
)2(b a 2)2(a b 2()b a ÷-的结果是（ ） A ．68b
a - B ．638
b a - C ．52
16b a
D ．52
16b
a -
4．下列各式中正确的是（ ）
A ．26
3333()22x x y y
=
B ．222
24)2(b a a b a a +=+
C ．2
22
22)(y
x y x y x y x +-=+- D ．33
3)()()(n m n m n
m n m -+=-+ 5．n
a b 22)(-（n 为正整数）的值是（ ）
A ．n n a b 222+
B ．n n a
b 24
C ．n n a b 21
2+-
D ．n n
a
b 24-
6．下列分式运算结果正确的是（ ）
A ．4453.m n m n m n =
B ．.a c ad
b d bc
=
C ．2
22224()a a a b a b
=--
D ．3
3333()44x x y y
=
二.填空题
7．已知x ＝2011，y ＝2012，则2244
()()
x y x y x y ++-的值为______．
8．（2015春•周口校级月考）化简：（﹣）3÷（
•）= ．
9．（2016•永州）化简：
÷
= ．
10.已知x a b =-，y a b =+，则()2
x y xy --
＝________. 11.当2x =，3y =-时，代数式2222
2x y x
x x xy y -⋅++的值为________. 12.计算：222
21369
9211
x x x x x x x x -+-+⋅⋅=--++___________. 三.解答题
13．（2015春•成都校级月考）计算：
（1）﹣
（2）
÷
．
14．先化简，再求值：
（1）
,144421422x x x x x ++÷--其中1
4x =-⋅ （2）,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--其中,2
1
=a b ＝－1． 15．已知.0)2
55(|13|2
=-+-+b a b a 求323232236(
).()()a ab b a b b a -÷--的值． 【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C ；
【解析】解：原式=﹣••=﹣2，故选C ．
2.【答案】A ； 【解析】原式=•（x ﹣1）=
.
3.【答案】C ；
【解析】⨯-32)2(b a
2)2(a b 3
2
2
62528416()2b a b a a a b a b b ⎛⎫÷-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭
.
4.【答案】D ；
【解析】2633327()28x x y y =；2
2224()()a a a b a b
=++；222()()()x y x y x y x y --=++.
5.【答案】B ；
【解析】2422()n
n n b b a a
-=.
6.【答案】A ；
【解析】.a c ac
b d bd =；()
22224()a a a b a b =--；333327()644x x y y =. 二.填空题
7.【答案】－1；
【解析】
22224422()()()()11
1()()()()20112012
x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++====--++---. 8.【答案】﹣
；
【解析】解：原式=﹣÷=﹣
•=﹣
，故答案为：﹣
.
9.【答案】；
【解析】原式=
•
=.
10.【答案】2
22
4b a b --；
【解析】()()()()()
2
2
2224a b a b x y b xy a b a b a b --+⎡⎤-⎣⎦-
=-=--+-. 11.【答案】－5；
【解析】()()()()222
22235223
x y x y x y x
x x y x x xy y x x y x y +-----⋅=⋅===-+++-+. 12.【答案】
31
x x --； 【解析】()()()()()()2
222
22113136933
92113311
1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---+-++-⋅⋅=⋅⋅=--+++-+--. 三.解答题
13.【解析】 解：（1）原式=+
=
；
（2）原式=•=x ．
14.【解析】
解：（1）2241441
24x x x x x
-++÷-
()()()()
2
212122121x x x x x +-=⋅--+ ()22142
x x
x x =-
=-++
当14x =-时，原式＝1
1414424-
-
=⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
. （2）4222
22().()a a b a a b b a b b a
-+÷- ()()()
()22242
.a a b a b b b b a a b a a b a b +-=⋅=+-- 当,21
=a b ＝－1时，原式＝
()()4
121312
-=--. 15.【解析】
解：∵.0)2
55(|13|2
=-
+-+b a b a
∴3105
502
a b a b +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得12
55
a b ==，
32394232322296236915().()()3648
a a
b b a a b a a b b a b a b b b -÷-=-⋅⋅=-=--.
分式的加减（提高）
【学习目标】
1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】
【403995 分式的加减运算 知识讲解】 要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：
a b a b
c c c
±±=
. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用
括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变
成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，
③把结果化成最简分式.
【典型例题】
类型一、同分母分式的加减
【403995 分式的加减运算 例1】
1、计算：（1）
222
56343333a b b a a b
a bc ba c cba
+-++-；（2）2222()()a b a b b a ---； （3）22m n n m
n m m n n m
++----； （4）33
()()x y x y y x ---． 【答案与解析】 解：（1）原式2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=
225634323a b b a a b a bc a c
++---==．
（2）
2222()()a b a b b a ---222222()2
()()()a b a b a b a b a b a b -=-==----；
（3）22m n n m n m m n n m ++-
--- 22221m n n m m n n m n m n m n m n m n m n m ++---=--===-----； （4）33()()x y x y y x ---333
()()()
x y x y
x y x y x y +=+=---． 【总结升华】根据乘法交换律有222
333a bc ba c cba ==，所以本题是三个同分母分式的加
减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再加减．仔细观察分母中2
()a b -与2
()b a -，()n m -与()m n -、3
()x y -与3
()y x -的互相转化中符号的变化．
类型二、异分母分式的加减
2、（新罗区校级月考）计算：
．
【答案与解析】 解：原式=
．
【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三：
【变式】计算（1）（2016·十堰）
222442
242x x x x x x
-+-++-+； （2）222()()()()()()
a b c b c a c b a
a b a c b c b a c b c a ------++------．
【答案】
解：（1）222
442
242x x x x x x
-+-++-+ ()()()()2
222222x x x x x x --=+++-+ ()22
222x x x x x
--=
++++ ()()()()()
2222
222x x x x x x x x x x x -+-=
++
+++ ()2222242x x x x x x x -+-++=
+ ()
2332
2x x x x +-=
+；
（2）原式111111
a c a
b b a b
c c a c b =
+++++
------ 111111
0a c a c a b a b b c b c
=-+-+-=------．
3、 化简22223652
3256
x x x x x x x x ++++-++++
【答案与解析】 解：原式22
44113256x x x x ⎛⎫⎛⎫
=+
-- ⎪ ⎪++++⎝
⎭⎝⎭ 22
44
3256
x x x x =+++++ 44
(1)(2)(2)(3)
x x x x =+++++ 4(3)4(1)
(1)(2)(3)(2)(3)(1)
x x x x x x x x ++=+++++++ 816
(1)(2)(3)
x x x x +=+++
8
(1)(3)x x =++． 【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察分式的特点，然后选择合适的计算方法． 举一反三：
【变式】某商场文具专柜以每支a （a 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每
支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399a ＋805)元．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元?
【答案】
解：设文具专柜共购进了钢笔y 支，
则39980539979877
399222
a a y a a a +++=
==+
+++． 因为a 为正整数，y 也为正整数，所以a ＋2是7的正约数， 所以a ＋2＝7或a ＋2＝1．
所以a ＝5或a ＝－1(不合题意，舍去)． 所以当a ＝5时，y ＝400．
即文具专柜共购进了400支钢笔，每支进价为5元．
类型三、分式的加减运算的应用
4、 已知
34(1)(2)12
x A B
x x x x -=+----，求整式A ，B ．
【思路点拨】首先对等式的右边进行通分，可得(2)(1)
(1)(2)
A x
B x x x -+---．已知两个分式相等，
分母相等，则分子也相等，即34()(2)x A B x A B -=+-+．多项式恒等即对应项的系数相
等，由待定系数法可得3,
(2)4,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩
可求得A ，B ．
【答案与解析】 解法一：由已知得
34(2)(1)
(1)(2)(1)(2)
x A x B x x x x x --+-=----，
即
34()(2)(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -+-+=----．
所以3,24,A B A B +=⎧⎨+=⎩ 所以1,2.
A B =⎧⎨=⎩
解法二：等式两边同时乘以(1)(2)x x --，得34(2)(1)x A x B x -=-+-，
令1x =，则A ＝1．令2x =，则B ＝2．
所以A ＝１，B ＝2．
【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A ，B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与x 取值无关，故令x ＝1，x ＝2简化式子，求出A ，B 的值． 举一反三：
【变式】（2015春•东台市校级期中）已知
计算结果是
，求常数A 、B 的值．
解：因为
=
= = 所以，
解得
，
所以常数A 的值是1，B 的值是2． 【巩固练习】
一.选择题
1．下列运算中，计算正确的是( )． A.
)
(212121b a b a +=+ B.
ac
b c b a b 2=+
C.
a
a c a c 1
1=+-
D.
11
0a b b a
+=-- 2．a b a b a -++2
的结果是( )．
A.a 2-
B.a
4
C.b
a b --2 D.
a
b
- 3．（2016·黄冈校级自主招生）已知227x ,y ==-，则22
1639y
x y x y ---的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3
D ．3
4．下列各式中错误．．
的是（ ） A ．
2c d c d c d c d d a a a a -+-----== B ．5212525a
a a +=++
C ．
1x y x y y x
-=---
D ．22
11
(1)(1)1
x x x x -=--- 5. 下列计算正确的是（ ） A.11211x x x x ---=-- B.()()()
443
11
111x x x x +=--- C.
()
()
3
3
1
1
011m m +
=-- D.
()()
()()
2
1
12
12212x x x x x x -
=+--++- 6. 化简232a b c a b c c b
a b c a c b c a b
-+-+--+
+--+--的结果是（ ） A.0 B.1 C.－1 D.()
22b c c a b
---
二.填空题
7．分式
)
2(,)2(++m b n
m a m 的最简公分母是______．
8．a 、b 为实数，且ab ＝1，设11
,1111
a b P Q a b a b =+=+
++++，则P______Q(填“＞”、“＜”或“＝”)．
9.
2
112111a
a a a +-+--＝___________. 10．a
a a -+-21
422＝______．
11．若x ＜0，则|
3|1
||31---x x ＝______．
12.（2016春·保定期末）若13x x +=，则231
x
x x ++的值是 ．
三.解答题
13.计算下列各题
（1）223215
233249
a a a a ++++-- （2）4
3
214121111x x x x x x +-++-+--
14．等式
⋅-++=-++2
36982x B
x A x x x 对于任何使分母不为0的x 均成立，求A 、B 的值．
15．（2014秋•乳山市期中）阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差，如：=
=1﹣；=
=﹣；=
=（﹣），等等．解答下列问题：
（1）已知a=，b=，c=，比较a ，b ，c 的大小． （2）求++++…++
的值．
（3）求++++…++
的值．
（4）求++
++…+
．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D ； 【解析】
11222a b a b ab ++=；b b bc ab a c ac ++=；11
c c a a a
+-=-.
2. 【答案】C ；
【解析】()()222
a b a b a a b a b b a a b a b a b
+-++=-=-----； 3. 【答案】B ； 【解析】解：原式=
()()
16333y
x y x y x y --+- =()()3633x y y
x y x y +-+-
=()()
333x y
x y x y -+-
=
1
3x y
+，
当227x ,y ==-，原式=
1
12221
=-，
故选B ．
4. 【答案】C ； 【解析】
x y x y x y x y y x x y x y x y
+-=+=-----. 5. 【答案】C ； 【解析】
11011x x x x ---=--；()()()
444
11
111x x x x x ++=---；
()()
222
1
111
12222
x x x x x x x x -
=-+--+---+ ()()
2
2
4
22x
x x x =
---+.
6. 【答案】A ； 【解析】原式＝2320a b c a b c c b
a b c a b c a b c
-+-+---=+-+-+-.
二.填空题
7. 【答案】()2ab m +； 8. 【答案】＝； 【解析】()()()()()
211111
0111111ab a b ab a b ab b a P Q a b a b a b ---+--++---=+===++++++. 9. 【答案】0；
【解析】2211211201111a a a a a a a a -++-+-==+---. 10.【答案】1
2
a +；
【解析】()2222211
4242a a a a a a a -++==---+. 11.【答案】229x
x -；
【解析】2111123|||3|339x
x x x x x -=+=--+--.
12.【答案】3
4
；
【解析】解：233
1
11x x x x x
=
++++， 当13x x +=，原式=33314
=+．
故答案为：3
4.
三.解答题 13.【解析】
解：（1）原式()()22
223323215
23215023234949a a a a a a a a --++++=-+==+---. （2）原式3337
224448
224448111111x x x x x x x x x x x x -=-+=-=-++-+-. 14.【解析】
解：()22232892363266A B x B A
x A B Ax A Bx B x x x x x x x x ++-+-++=+==+-+-+-+-
所以8329A B B A +=⎧⎨-=⎩，解得3
5
A B =⎧⎨=⎩.
15.【解析】 解：（1）a=
=1﹣，b=
=1﹣
，c=
=1﹣
，
∵
＞
＞
，
∴﹣＜﹣＜﹣，
即1﹣＜1﹣＜1﹣，
则a＜b＜c；
（2）原式=++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=；
（3）原式=[++…+]=（1﹣+﹣+…+﹣）=；
（4）原式=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=．
分式方程的解法及应用（提高）
【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
【分式方程的解法及应用知识要点】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的
方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方
程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程
不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方
程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】
类型一、判别分式方程
1、（2016春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A ．2
1x x -
= B ．
112231
x x x --=-++ C ．22112x x x x +-=+ D ．21212
x x x +=-
【答案】B ．
【解析】解：A 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
B 、该方程属于无理方程，故本选项正确；
C 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
D 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； 故选B ．
【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
类型二、解复杂分式方程的技巧
2、解方程：
131041
4351
x x x x -=-
----． 【答案与解析】
解：方程的左右两边分别通分，
得
3131
(4)(3)(5)(1)
x x x x x x ++=----，
∴
3131
0(4)(3)(5)(1)
x x x x x x ++-=----， ∴ 11
(31)0(4)(3)(5)(1)x x x x x ⎡
⎤+-=⎢
⎥
----⎣⎦
， ∴ 310x +=，或
11
0(4)(3)(5)(1)
x x x x -=----， 由310x +=，解得1
3
x =-，
由
11
0(4)(3)(5)(1)
x x x x -=----，解得7x =．
经检验：1
3
x =-，7x =是原方程的根.
【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)x x x x ----，去分母后的整式方
程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解． 举一反三： 【变式】解方程1111
4756
x x x x +=+
++++． 【答案】 解：移项得
1111
4567
x x x x -=-
++++， 两边同时通分得(5)(4)(7)(6)
(4)(5)(6)(7)
x x x x x x x x +-++-+=++++，
即11
(4)(5)(6)(7)
x x x x =++++，
因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等． 所以(4)(5)(6)(7)x x x x ++=++，
229201342x x x x ++=++， 2292013420x x x x ++---=， 4220x --=，
∴ 11
2x =-．
检验：当11
2x =-时，(4)(5)(6)(7)0x x x x ++++≠．
∴ 11
2
x =-是原方程的根．
类型三、分式方程的增根
【 分式方程的解法及应用 例3】
3、（1）若分式方程
223
242mx x x x +=
--+有增根，求m 值； （2）若分式方程222
115
1k k x x x x x
---=---有增根1x =-，求k 的值． 【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把
2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．
（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x =-代入解出k 的值.
【答案与解析】 解：（1）方程两边同乘(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x mx x ++=-．
∴ (1)10m x -=-．
∴ 10
1x m
=
-． 由题意知增根为2x =或2x =-，
∴
1021m =-或10
21m =--． ∴ 4m =-或6m =．
（2）方程两边同乘(1)(1)x x x +-，得(1)(1)(5)(1)k x x k x --+=-+． ∴ 34x k =-．
∴ 4
3
k x -=．
∵ 增根为1x =-，
∴ 413k -=-．
∴ 1k =．
【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值． 举一反三：
【变式】（2015•泰州校级一模）是否存在实数x ，使得代数式﹣
与代数式1+
的值相等． 【答案】 解：根据题意得：
﹣
=1+
，
去分母得：x 2﹣4x+4﹣16=x 2﹣4+4x+8， 移项合并得：8x=﹣16， 解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，分式方程无解， 所以不存在这样的实数x ，使得代数式
﹣
与代数式1+
的值相等．
类型四、分式方程的应用
【 分式方程的解法及应用 例3】
4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工
程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米
为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．
【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围. 【答案与解析】
解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设()20x -米．
根据题意，得
350250
20
x x =-．解得70x =． 经检验，70x =是原分式方程的解且符合题意．
故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．。