数学竞赛平面几何重要知识点绝对精华

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数学竞赛平面几何重要知识点
梅涅劳斯定理:
设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边(或其延长线)上的三点,则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EA
CE FC BF DB AD 。

斯德瓦特定理:设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点,则
BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅222
西摩松定理:
设P 是ABC ∆外接圆上任一点,过P 向ABC ∆的三边分别作垂线,设垂足为D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线。

6、共角定理:设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补(不妨设A=A ')则 C A B A AC AB S S C B A ABC '
'⋅''⋅='''∆∆
与圆有关的重要定理
4.四点共圆的主要判定定理
(1)若∠1=∠2,则A 、B 、C 、D 四点共圆;
(2)若∠EAB=∠BCD ,则A 、B 、C 、D 四点共圆;
(3)若PA •PC=PB •PD ,则A 、B 、C 、D 四点共圆;
三角形的五心
三角形的三条中线共点,三条角平分线共点,三条高线共点,三条中垂线共点。

三角形的垂心、重心、外心共线(欧拉线),并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。

三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。

此公式称为欧拉式,由此还得到r R 2≥。

当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。

与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心。

重要例题
例1.设M 是任意ABC ∆的边BC 上的中点,在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ,求证:)(21AF
AC AE AB AN AM +=(1978年辽宁省中学数学竞赛)
例 2. 已知点O 在ABC ∆内部,022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为_________________.
例3. 如图①,P 为△ABC 内一点,连接P A 、PB 、PC ,在△P AB 、△PBC 和△P AC 中,如果存在一个三角形与△ABC 相似,那么就称P 为△ABC 的自相似点.
⑴如图②,已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠ACB >∠A ,CD 是AB 上的中线,过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E ,试说明E 是△ABC 的自相似点.
⑵在△ABC 中,∠A <∠B <∠C .
①如图③,利用尺规作出△ABC 的自相似点P (写出作法并保留作图痕迹); ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.
例4. 三角形ABC 为锐角三角形,AD 为该三角形的一条高.设P 为线段AD 上一点,直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ,证明:DA 平分∠EDF 。

例5.正方形ABCD 中,E 为其内部的一点,且∠EAB =
∠EBA=15°,连DE 、CE ,求证:三角形DCE 为正三角形。

例6.设六边形ABCDEF 是凸六边形,且AB=BC,CD=DE,EF=FA.证明:23≥++
FC
FA DA DE EB BC ,并指出等号成立条件.(第38届IMO 预选题)
B
B B
C C C A
A A D P
E ① ② ③
(第27题)
例7.已知等腰三角形2,=∆AB ABC ,设i P 是底边BC 上任一点,)1003,2,1(K =i 记C P BP AP m i i i i ⋅+=2,则=+++10021m m m K ( )。

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