八年级数学下册第十九章一次函数19.1函数19.1.1变量与函数教案(新版)新人教版

19.1.1 变量与函数
第1课时常量与变量
教学目标
知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。

初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。

学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

重点:借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念
难点:怎样理解“唯一对应”
教学过程：
一、创设情境、导入新课
我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的。

例如，地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。

再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。

这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。

二、合作交流、解读探究
1、气温问题：下图是北京春季某一天的气温Ｔ
随时间t变化的图象，看图回答：
（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高
气温是℃，最低气温是℃；
（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~
24时，气温（）。

A.持续升高
B.持续降低
C.持续不变
思考：
（1）气温随的变化而变化，即T随的变化而变化；
（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？
2、当正方形的边长x分别取1、2、
3、
4、
5、
6、7，……时，正方形的面积S分别是多少？
3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用xm3天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？
思考：上述三个问题，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？
在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫作变量；有些量的值始终不变（如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。

教师根据学生的回答，在黑板上板书：
时间－－－－气温
正方形边长－－－－正方形面积
天然气费用－－－－－－－－天然气体积
学生们会得出：
,x y
y x
x y
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
都有两个变量
都是变量随着的变化而变化
当取一个确定值的时候，只有一个值与之对应
师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。

在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。

三、应用迁移、巩固提高
例1已知圆柱的高是4 cm，底面半径长是r cm，当圆柱的底面半径长r由小变大时，圆柱的体积V cm3是r的函数。

（1）用含r的代数式表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围；
（2）当r=5,10时，V是多少（结果保留π）？
（3）r的变化会引起圆柱中哪些量发生变化？这些变量是半径长r的函数吗？
（4）试求体积V随r变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。

课堂练习
1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：
(1)y =3000-300x；
(2) y=x；
πg；
(3) S=2r
解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。

(2)常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。

(3)常量是π；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。

2.根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：
①y比x的1/3 少2。

②y是x的倒数的4倍。

③矩形的周长是18 cm ,它的长是y cm，宽是x cm。

④等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。

四、全课小结
1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。

2．函数是一种“数”吗？
五、布置作业：
课后反思：
第2课时函数的表示方法
教学目标:
知识与技能：1、了解函数的三种表示法：(1)公式法(2)列表法(3)图象法;2、进一步理解函数值的概念;3、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值。

过程与方法：1. 经历回顾思考，训练提高归纳总结能力。

2. 利用数形结合思想，根据具体情况选用适当方法解决问题的能力。

情感态度与价值观：积极参与活动，提高学习兴趣。

重点:认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法。

难点:函数表示方法的应用
教学过程：
一、创设情境
问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得的报酬为m元，填写下表后回答下列问题：
（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t、m）
（2）能用t的代数式来表示m的值吗？（能，m=16t）
教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．
问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2
s=(0<v<10.5) 然后回答下列问题：
085
.0v
（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v、s）
（2）计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果保留3个有效数字)?
(3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗?
教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应．
二、探究新知：
函数的表示法：①公式法：在问题1、2中，m=16t和2
s=这两个函数用等式来表示，
085
.0v
这种表示函数关系的等式，叫作函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫公式法．
②列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．
③图象法:我们还可以用图象法来表示函数．
教师指出：（1）公式法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．
（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．（3）函数值概念：与自变量对应的值叫作函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．
若函数用公式法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的函数值．例如，函数m=16t，当t=5时，把它代入函数解析式，得m=16×5=80(元)．m=80叫作当自变量t=5时的函数值．由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．
若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如，在正方形面积与边长的函数关系中，当x=2时，函数值S=4；当x=6时，函数值S=36．
若函数用图象法表示．例如，在骑车时热量消耗W
(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系中，对给
定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，
我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，
0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标
就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399(焦)．
学生看书自学动脑筋和例2内容并完成课本练习题。

三、应用迁移、巩固提高
例1 等腰三角形ABC的周长为20，底边BC长为y，腰AB长为x，求：
（1）y关于x的函数解析式；
（2）当腰长AB=7时，底边的长；
（3）当x=11和x=4时，函数值是多少？
答案：（1）y=20-2x；
（2）当腰长AB=7，即x=7时，y=6，所以底边长为6；
（3）当x=11和x=4时，函数值不再有意义．
说明（1）第1问中的函数解析式不能写成20
+x
y的形式，一定要把y写成关于x的代数
2=
式，（2）在实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，此题的自变量的取值范围是5<x<10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当x=11和x=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量x的值都不在相应的取值范围内，因此当x=11和x=4时，函数值不再有意义．
例2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表:
月用水量x/度0<x≤12 12<x≤18 x>18
收费标准y/ （元/度） 2.00 2.50 3.00
（1）y是x的函数吗？为什么？
（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．
答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；
（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需缴水费20（元）；
当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需缴水费34（元）；
当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需缴水费45（元）．
说明本例安排的目的有两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应缴水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．
例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：
(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？
(2)求当t=5时的函数值？
(3)当 10≤t≤15时对应的函数值是多少并说明它的实际意义？
(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？
答案：（1）折线图反映了s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；
（2）当t=5时函数值为1km；
（3）当 10≤t≤15时，对应的函数值是始终为2，它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟；
（4）学校离家有3.5km，小明放学骑自行车回家共用了20分钟．
四、全课小结：
1、我们认识了函数的三种不同的表示方法：(1)公式法(2)列表法(3)图象法。

并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化．
其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下：
图象特征函数变化规律
由左至右曲线呈上升状态．⇔y随x的增大而增大．
由左至右曲线呈下降状态．⇔y随x的增大而减小．
曲线上的最高点是（a，b）．⇔x=a时，y有最大值b．
曲线上的最低点是（a，b）．⇔x=a时，y有最小值b．
2、能够分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想．
五、布置作业
课后反思：。