正余弦定理复习导学案

§1.1 正弦定理和余弦定理

学习目标

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；

2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．

学习过程

一、课前准备

复习1：在解三角形时

已知三边求角，用 定理；

已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π

，a ＝252，b ＝502，解此三角形．

二、新课导学 学习探究

探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.

① A ＝6π

，a ＝25，b ＝502；

② A ＝6π，a ＝506

3，b ＝502；

③ A ＝6π

，a ＝50，b ＝502.

思考：解的个数情况为何会发生变化？

新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．

b

a

b

a

b a b

a

a 已知边a,

b 和∠A

仅有一个解有两个解

仅有一个解无解

a ≥

b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA

A

C B

A

C

B1A

B

A

C

B2

C

H

H

H

试试：

1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？

2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？

典型例题

例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．

变式：在∆ABC 中，若1a =，1

2

c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．

例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c

A B C

++++的值．

变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1

sin 22032

ab C =，求角C ．

三、总结提升 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；

2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；

4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．

5、在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解． 当堂检测

1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3

A B =，则

a b

b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 4

3 D. 53

2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°

3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．由增加长度决定

4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．

5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．

6. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．

7 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足222

1sin 24

a b c ab C +-=，求角C ．