【高中数学】2018-2019学年最新北师大版数学必修四教学案：第二章1从位移、速度、力到向量
北师大版高中数学必修4全套教案全册
(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
数学必修四第二章教案
数学必修四第二章教案【篇一：北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制】北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点:向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教法:探究交流法. 四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. （二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。
【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版数学必修四教学案：第二章2第1课时向量的加法
讲一讲
3．一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d＝100m，船的航行速度为v1＝4m/s，水流的速度为v2＝2m/s，试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值是多大？
[尝试解答]设小船行驶到对岸所用的时间为t(s)，如图，设 表示水流的速度， 表示船的航行速度，以AD、AB为邻边作▱ABCD，则 就是船实际航行的速度．设∠BAC＝α，∠BAD＝θ，则 相对于垂直对岸的速度为v＝ sinθ，小船行驶到对岸所用的时间为t＝ ＝ ＝ ＝ ，θ∈(0，π)．
1．用三角形法则作两向量的和时，要注意两向量“首尾相接”；用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．
2．求作共线向量或多个向量的和向量时，应首选三角形法则，注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点．
练一练
1．如图，已知向量a，b，c，d，求作a＋b＋c＋d.
解：(1)在平面内任取一点O，
作 ＝a，以A为起点，
作向量 ＝b，则 ＝a＋b；
(2)以B为起点作向量 ＝c，
再作 ＝d，连接OD.
则向量 ＝a＋b＋c＋d即为所求(如图)．
讲一讲
2．化简下列各式：
.
化简含有向量的关系式一般有两种方法：利用几何方法通过作图实现化简；利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
第1课时 向量的加法
[核心必知]
1．向量的加法法则
三角形法则
平行四边形法则
作法
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作 ＝a， ＝b，再作向量 ，则向量 叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .
【小初高学习】2018北师大版高中数学必修四学案：第二章 2.1 向量的加法
2．1向量的加法学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．知识点一向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．思考1从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？思考2上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？梳理(1)向量加法的定义求________________的运算，叫作向量的加法．(2)向量加法的法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义． 知识点二 向量加法的运算律 思考1 实数加法有哪些运算律？思考2 根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )思考3 根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )梳理 向量加法的运算律类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1 如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c .(1) (2)反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量． (1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________； (3)OA →＋FE →＝________.类型二 向量加法运算律的应用 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．(2)向量求和的多边形法则：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特別地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A 1＝0.跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________. 类型三 向量加法的实际应用例3 在静水中船的速度为20 m /min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 引申探究1．若本例中条件不变，则经过1 h ，该船的实际航程是多少？2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键．跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)1.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( ) A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →2.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( ) A.FD →＋DA →＋DE →＝0 B.AD →＋BE →＋CF →＝0 C.FD →＋DE →＋AD →＝AB → D.AD →＋EC →＋FD →＝BD →3．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A.BC → B.AB → C.AC →D.AM →4.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形5．小船以10 3 km /h 的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.答案精析问题导学 知识点一思考1 后面的一次位移叫作前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC →表示的力是OA →与OB →表示的力的合力．体现了向量的加法运算． 思考2 三角形法则和平行四边形法则． 梳理 (1)两个向量和 (2)a ＋b AC → AC →知识点二思考1 交换律和结合律．思考2 ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a . ∴a ＋b ＝b ＋a .思考3 ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →， ∴AD →＝(a ＋b )＋c ，又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 梳理 b ＋a a ＋b b ＋c 题型探究例1 解 (1)作法：在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .跟踪训练1 (1)OB → (2)AD →(3)0 例2 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA →＝0. 跟踪训练2 2 2例3 解 作出图形，如图所示．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||A D →|＝1020＝12， ∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进． 引申探究1．解 由例3知v 船＝20 m/min ， v 实际＝20×sin 60°＝103(m/min)， 故该船1 h 行驶的航程为103×60 ＝6003(m)＝335(km)．2．解 如图，作平行四边形ABDC ，则AD →＝v 实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α， 则tan α＝|BD →||AB →|＝2010＝2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.跟踪训练3 解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →. 易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°， ∴|CE →|＝|CG →|cos 30° ＝10×32＝53(N)， |CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5(N)．∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N. 当堂训练1．D 2.D 3.C 4.C 5.20。
2018-2019学年高一数学北师大版必修4课件：第二章 平面向量
5．二法解决平面几何问题，强化向量意识 (1)向量的运算可以解决平面几何中的平行、垂直、长度、角度 等问题，关键是掌握向量中的相关公式． 有两种方法：一是选取基底，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算；二是建立坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化 为代数运算． (2)由于物理中的很多量都是向量，因此可以用向量解决力、位 移、速度、做功等问题，关键是掌握向量的分解方法.
∴|A→C|＝4，|B→D|＝8. ∴S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|＝16；
当 y＝－1 时，x＝2.此时有 B→C＝(2，－1)，A→C＝(8,0)，B→D＝(0，－4)． ∴|A→C|＝8，|B→D|＝4. ∴S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|＝16.
∴xy＝ ＝－ 3，6， 或xy＝ ＝2－，1， S 四边形 ABCD＝16.
能力挑战 2 已知 a，b，c 在同一平面内，且 a＝(1,2)． (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c；
(2)若|b|＝ 25，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求 a 与 b 的夹角．
【解析】 (1)因为 c∥a，所以设 c＝λa，则 c＝(λ，2λ)． 又|c|＝2 5，所以 λ＝±2，所以 c＝(2,4)或(－2，－4)． (2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0. 因为|a|＝ 5，|b|＝ 25，所以 a·b＝－52. 设 a 与 b 的夹角为 θ，cosθ＝|aa|·|bb|＝－1，所以 θ＝180°.
∴a2＋2a·b＋b2＝13，
又|a|＝ 3，|b|＝2，则( 3)2＋2a·b＋22＝13，得 2a·b＝6.
∴(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝( 3)2－6＋22＝1.∴|a－b|＝1.
2018-2019高一数学北师大版必修四课件：第2章 3.1
从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
学习目标
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向
量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用
这些知识处理有关共线向量问题.
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测
1 (1)化简：4[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]. 1 4[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]
例1 解
1 ＝4(4a＋8b－20a＋8b) 1 ＝4(－16a＋16b)＝－4a＋4b.
解答
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－
2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
2 2 1 a－9b＋9c 9 量 y＝ .
解析
因为
1 1 2 2 1 2y－3a－3(c＋b－3y)＋b＝0，3y－3a＋3b－3c＝0，
2 2 1 所以 y＝9a－9b＋9c.
解析 答案
类型二 向量共线的判定及应用 命题角度1 判定向量共线或三点共线
例2 已知非零向量e1，e2不共线.
梳理 数乘向量 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 λa .它的长度为|λa|＝|λ||a|. 它的方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当 λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0，方向任意.
知识点二
向量数乘的运算律
思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的ห้องสมุดไป่ตู้算律？ 答案 结合律，分配律.
∴A，B，D三点共线.
解析
答案
命题角度2 利用向量共线求参数值 例3 的值. 解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， 已知非零向量 e1 ， e2 不共线，欲使 ke1 ＋ e2 和 e1 ＋ ke2 共线，试确定 k
2017-2018学年北师大版高中数学必修4全册学案
2017-2018学年高中数学北师大版必修4全册同步学案目录第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广第一章 3 弧度制第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性第一章 4.1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）第一章 5.1 正弦函数的图像第一章 5.2 正弦函数的性质第一章 6 余弦函数的图像与性质第一章7 正切函数第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）第一章9 三角函数的简单应用第一章章末复习课第二章 1 从位移、速度、力到向量第二章 2.1 向量的加法第二章 2.2 向量的减法第二章 3.1 数乘向量第二章 3.2 平面向量基本定理第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示第二章 4.3 向量平行的坐标表示第二章 5 从力做的功到向量的数量积（一）第二章 5 从力做的功到向量的数量积（二）第二章 6 平面向量数量积的坐标表示第二章向量应用举例第二章章末复习课第三章 1 同角三角函数的基本关系第三章 2.1 两角差的余弦函数第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第三章 2.3 两角和与差的正切函数第三章 3 二倍角的三角函数（一）第三章 3 二倍角的三角函数（二）第三章疑难规律方法第三章章末复习课学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 梳理类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( )A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学 知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)度 弧度 弧度 知识点二思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π35π6 知识点三思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ， 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－34．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？梳理(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号知识点四周期函数思考由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ的值．反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值．类型二 正弦、余弦函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－1f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝1f(x)，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于()A.45B.35 C ．－35D ．－452．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23．设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，则f (72)的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－34．点P (sin 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限． 5．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点． 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．答案精析问题导学 知识点一思考1 sin α＝y r ，cos α＝xr .思考2 不会．思考3 sin α＝y ，cos α＝x .梳理 (1)纵坐标v v ＝sin α 横坐标u u ＝cos α 知识点二思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义． 知识点三思考 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ，v )，则sin α＝v ，cos α＝u .当α为第一象限角时，v >0，u >0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号． 知识点四思考 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．梳理 非零实数T 任意一个 f (x ＋T )＝f (x ) T 最小 最小正周期 题型探究例1 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010. 跟踪训练1 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.例2 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.例3 (1)D(2)解 ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 跟踪训练3 B例4 证明 (1)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． (2)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． 跟踪训练4 解 由f (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )，① 得f (x ＋a )＝f (x )＋f (x ＋2a )．② ①＋②，得f (x －a )＋f (x ＋2a )＝0， 即f (x －a )＝－f (x ＋2a )， ∴f (x )＝－f (x ＋3a )， 即f (x ＋3a )＝－f (x )，∴f (x ＋6a )＝－f (x ＋3a )＝f (x )． ∴T ＝6a 为函数y ＝f (x )的一个周期， ∴f (14a )＝f (6a ×2＋2a )＝f (2a )＝1. 当堂训练1．D 2.C 3.B 4.三5．解 在直线y ＝2x 上任取一点P (x,2x )(x ≠0)， 则r ＝x 2＋(2x )2＝5|x |. ①若x >0，则r ＝5x ， 从而sin α＝2x 5x＝255，cos α＝x 5x ＝55， ∴cos α＋sin α＝355.②若x <0，则r ＝－5x ， 从而sin α＝2x－5x＝－255，cos α＝x －5x ＝－55，∴cos α＋sin α＝－355.4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？梳理正弦、余弦函数的性质类型一 正弦余数、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为_________________________________________． 类型二 正、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域．(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值．反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析．(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论．跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈(－π3，2π3]的值域为________．类型三 正、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( ) A ．(－π2，π2)B ．(0，π)C ．(π2，3π2)D ．(π，2π)反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．跟踪训练3 求下列函数的单调区间．(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．1．函数y ＝sin x ，x ∈[－π4，π4]的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，22 C.22，－22D ．1，－222．不等式2sin x －1≥0的解集为____________________________________________． 3．函数y ＝2cos x －1的定义域为_____________________________________________． 4．求y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域．利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识．答案精析问题导学 知识点思考1 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增加的． 梳理 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π]题型探究例1 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练1 [－π6＋2k π，7π6＋2k π]，k ∈Z例2 解 (1)∵y ＝cos x 在区间[－π3，0]上是增加的，在区间[0，5π6]上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域是[－32，1]．(2)当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 跟踪训练2 [32，3]例3 D跟踪训练3 解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π2，π2]，递减区间为[－π，－π2]，[π2，π]． (2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π]． 当堂训练1．C 2.{x |π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z }3.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 4．解 由x ∈[－π6，π]，得sin x ∈[－12，1]，∴y ＝[－2,1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域为[－2,1]．4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6.类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π6＋α)＝________.反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 类型三 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式． (1)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )。
北师大版数学必修四全套学案--第二章复习.doc
班级姓名层次第二章章末复习编写：赵桂芳审核高一数学组寄语：不希望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步！一、学习目标：1.对本章知识形成知识网络，注意各知识点之间的联系和综合运用；2.掌握向量加、减、数乘的运算；平面向量的基本定理；3.尝试用向量方法解决某些简单的平面几何问题以及一些实际问题；体会向量是一种处理几何问题的工具。
二、重点难点：学习重点：掌握向量加、减、数乘的运算；学习难点：平面向量的基本定理;向量数量积的运算公式.三、知识链接：(B) 1、平面向量的基本定理：______________________________(B) 2、共线向量定理： ___________________________________四、学习过程：1、判断题：(1)在ZXABC 中，AB + 5C + G4 = 0；( )⑵若向量a与b有公共的起点，则以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量等于b-a; ()(3)若腥R且b?0,当a=4b时，则一定有a,b共线；()(4)若= 贝= 0或间二0；()(5)若。
= 且。
0,则Z? = c；( )(6)切.。
卜冏四0 Q〃 Z?. ()2.已知点A(l,0),B(0,2)C(-l,-2),求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.五、基础练习：(C) 1、已知向量a=(8, |x),b=(x,l),其中X〉O,若(a-2b) // (2a+b), 求X的值。
(B) 2、已知一物体在共点力乌=(炬2,也2)£=(也5,也2)的作用下产生位移S= (21g5,1),则求共点力对物体做的功W.六：自我检测：(B) 1、已知三个向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,l)(1).以b,c为基底表示a.(2)若(a + kc) // Qb — a),求实数k 的值.七、能力提升：(B)l、已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。
2018版高中数学北师大版必修四学案：第二章 章末复习课 精品
学习目标 1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).4.了解向量形式的三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2.5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).8.数量积(点乘或内积)的概念：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，注意区别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法”．1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a ，存在唯一对实数λ1，λ2，使a ＝______________________.②基底：把____________的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内________向量的一组基底． (2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________． 3．向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．类型一 向量的线性运算例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．跟踪训练1 在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由．类型二 向量的数量积运算例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小．反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例3 已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小．反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．跟踪训练3 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于( ) A. 3 B.33 C.433D ．2 31．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( ) A ．2 B ．－2C ．|AB →|cos AD ．与菱形的边长有关2．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．63．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 34．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.5．平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )．1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．答案精析知识梳理1．三角形 平行四边行 (x 1＋x 2，y 1＋y 2) 三角形 (x 1－x 2，y 1－y 2) 相同 相反 (λx 1，λy 1) x 1x 2＋y 1y 22．(1)①不共线 任一 λ1e 1＋λ2e 2 ②不共线 所有 (2)b ＝λa 3．b ＝λa (a ≠0) a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 题型探究 例1311跟踪训练1 解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝⎛⎭⎫12CA →⇒CD →＝13CA →， 所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →. 例2 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， ∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2 ＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2，∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b | ＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k .(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k)．由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k)在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， ∴θ＝60°.跟踪训练2 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3,1)，BC →＝(－m －1，－m )． ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m ，1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.例3 解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)． 因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝⎝⎛⎭⎫3c 2，a 2， 同理CC ′→＝⎝⎛⎭⎫－3c 2，a 2. 因为BB ′→⊥CC ′→，所以BB ′→·CC ′→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2.又因为cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45， 所以顶角A 的余弦值为45.跟踪训练3 A 当堂训练1．B 2.C 3.B 4.2 55．解 由a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1.由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，－k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0，即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t )．。
2018-2019学年新设计数学北师大版必修四讲义：第二章+平面向量-2.1
§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．知识点1 向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算． (2)三角形法则：①作图：已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ；②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量． (3)平行四边形法则：①作图：已知向量a ，b ，作AB→＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则向量AC→叫作a 与b 的和，表示为a ＋b ＝AC →；②几何意义：平行四边形对角线所在的向量． 【预习评价】1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( )A ．ABCD 一定是矩形B ．ABCD 一定是菱形C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形 答案 D2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( )A.BC →B.DA →C.AB →D.AC→ 答案 A知识点2 向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．特别地：对于零向量与任一向量a 的和有0＋a ＝a ＋0＝a . 【预习评价】1．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB → D.AB →＋BC →＝AC → 答案 C2.AO →＋BD →＋OB →等于________． 答案 AD→题型一 向量加法法则的应用【例1】 (1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ； (2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .解 (1)在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC→＝a ＋b .规律方法 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． 【训练1】 已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .解 在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB→＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .题型二 向量加法及其运算律 【例2】 化简：(1)BC→＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB→＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC→＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A → ＝AF →＋F A →＝0.规律方法 向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． (2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”； ②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．【训练2】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点． (1)AB→＋AD →＝________； (2)AC→＋CD →＋DO →＝________； (3)AB→＋AD →＋CD →＝________； (4)AC→＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AC→ (2)AO → (3)AD → (4)0方向1 向量加法在平面几何中的应用【例3－1】 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO→＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明 AB→＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO→＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 方向2 向量加法在物理中的应用【例3－2】 在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为23km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC →|＝| v 1|＝2 3. |AB →|＝|v 2|＝2， ∴|AC →|＝|v |＝|AB→|2＋|BC →|2 ＝22＋(23)2＝4.tan θ＝|BC →||AB →|＝232＝ 3.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°.方向3向量加法在实际问题中的应用【例3－3】如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按解设AB南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.规律方法应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题． 易错警示 利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误.课堂达标1．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( ) A ．30 N B ．60 N C ．90 N D ．120 N答案 B2．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A.FD→＋DA →＋DE →＝0 B.AD→＋BE →＋CF →＝0 C.FD→＋DE →＋AD →＝AB → D.AD→＋EC →＋FD →＝BD → 解析 FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0，AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD→＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →. 故选D. 答案 D3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________．解析 |AB→＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213.答案 2134．在正六边形ABCDEF 中，AC→＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.解析 AC→＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝(AB →＋BC →)＋(BC →＋CD →)＋(CD →＋DE →)＋(DE →＋EF →)＋(EF →＋F A →)＋(F A →＋AB →) ＝(AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋F A →)＋(BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋F A →＋AB →)＝0＋0＝0. 答案 05.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB→＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 ∵AP→＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP→＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，∴BP→＋CQ →＝0， ∴AP→＋AQ →＝AB →＋AC →， 即AB→＋AC →＝AP →＋AQ →. 课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.基础过关1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同D ．不确定解析 如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 答案 A2．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB→＋BA →＝0 D.CA→＋AC →＝MN →＋NP →＋PM → 解析 AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错．答案 B3．若a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A4．根据图示填空，其中a ＝DC→，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________.解析 (1)a ＋b ＋c ＝DC→＋CO →＋OB →＝DB →.(2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.答案 (1)DB→ (2)CA →5．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____． 解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8. ∴|a ＋b |的最大值为8. 答案 86.如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA→＋FE →. 解 (1)由题图知，四边形OABC 为平行四边形，∴OA →＋OC →＝OB →.(2)由图知BC→＝FE →＝OD →＝AO →，∴BC→＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →. (3)∵OD→＝FE →， ∴OA→＋FE →＝OA →＋OD →＝0.7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.证明 ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝4PO →＋0＋0＝4PO →.∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.能力提升8.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于()A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.答案 B9．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的是() ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤解析 a ＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选C.答案 C10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA→＋GB →＋GC →＝______. 解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB→＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA→＋GB →＋GC →＝0. 答案 011．已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中，正确的有________． ①|AB→＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB→＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 解析 如图，以AB→、AC →为邻边作平行四边形ABCD ， 由于∠BAC ＝90°，则ABCD 为矩形．|AB→＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|，故①正确． |AB→＋BC →|＝|AC →|＝|CA →|，故②正确． |AB→＋CA →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝|BC →|. 故③正确．又|AB→|2＋|AC →|2＝|BC →|2，故④正确．答案 ①②③④12．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |.解 如图，∵|OA→|＝|OB →|＝3，∴四边形OACB 为菱形．连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA→|＝3. ∴在Rt △BDC 中，CD ＝332.∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3. 13．(选做题)如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明 由题意知：AD→＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由平面几何可知：EF →＝CD →，BF →＝F A →.所以AD→＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC→＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE→＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.。
2018-2019学年新设计数学北师大版必修四讲义：第二章+平面向量-3.1
§3 从速度的倍数到数乘向量3．1 数乘向量内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．知识点1 数乘向量的概念与运算律 (1)数乘向量：①定义：λa 是一个向量； ②长度：λ|a |； ③方向：(2)数乘向量的运算律： ①λ(μa )＝(λμ)a (λ，μ∈R )； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ，μ∈R )； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )． 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.(×)(2)若a 、b 是非零向量，λ，μ∈R .那么λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0.(√) (3)0·AB→＝0.(×)知识点2 向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . 【预习评价】1．若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？提示不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．2．如果向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R)吗？提示不一定．当a＝0，b≠0时，λ不存在.题型一向量数乘的定义【例1】已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3α模的23倍；(3)－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．解(1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.(2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的23倍．(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量．(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．规律方法对数乘向量的四点说明(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【训练1】已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有()①λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；③λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；④λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa 与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a 反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．答案 D题型二向量的线性运算【例2】计算下列各式：(1)4(a＋b)－3(a－b)；(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；(3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)．解(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.(3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－23＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.规律方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．【训练2】 若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )的结果为( ) A ．－a B ．－4b C ．cD ．a －b解析 3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝(3－2)a ＋(6－6－2)b －2c ＝a －2(b ＋c )＝a －2a ＝－a . 答案 A方向1 证明向量共线【例3－1】 已知两个非零向量a 与b 不共线，如果AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD→＝2a －4b ，求证：A 、B 、D 三点共线． 证明 因为BD→＝BC →＋CD →＝(2a ＋8b )＋(2a －4b )＝4a ＋4b ＝4(a ＋b )＝4AB→，所以根据平行向量基本定理，BD→与AB →共线．又因为BD→与AB →有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．方向2 利用向量共线求参数值【例3－2】 若a 、b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则实数t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上？解 由题设易知，存在唯一实数λ，使a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )，化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－t b . ∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ－1＝0，λ3－t ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，三向量的终点共线． 方向3 共线向量在平面几何中的应用【例3－3】 如图所示，已知D ，E 分别是边AB ，AC 的中点． 求证：DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.证明 DE→＝AE →－AD →，BC →＝AC →－AB →.∵D ，E 分别为边AB ，AC 的中点， ∴AE→＝12AC →，AD →＝12AB →， ∴DE→＝12(AC →－AB →)＝12BC →， ∴DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.规律方法 应用向量共线定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线.课堂达标1．下列各式中不表示向量的是( ) A ．0·a B ．a ＋3b C ．|3a |D.1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y ) 解析 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量． 答案 C2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 答案 C3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. 答案 24．若AC→＝2CB →，AB →＝λBC →，则λ＝________. 解析 ∵AB →＝AC →＋CB →＝2CB →＋CB →＝3CB →，∴λ＝－3.答案 －35．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA→，OB →表示OP →.解 OP→＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →. 课堂小结1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.基础过关1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a |解析 显然b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 答案 D2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误． 答案 B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →等于( )A.BC →B.12AD →C.AD→ D.12BC →解析 如图，EB→＋FC →＝EC→＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →) ＝12·2AD →＝AD →. 答案 C4．已知向量a ＝e 1＋3e 2，b ＝－12e 1－32e 2，则a 与b 的关系是________． 解析 ∵a ＝－2b ，∴a ∥b . 答案 a ∥b5．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析 据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c . 答案 421a －17b ＋17c6.如图，已知任意两个非零向量a ，b ，作OA→＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解 分别作向量OA→、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC (如图)．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线． 因为AB →＝OB →－OA → ＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC→＝OC →－OA → ＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC→＝2AB →. 因为AC→∥AB →，且有公共点A ， 所以A 、B 、C 三点共线．7．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF→＝12(AB →＋DC→)．证明 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE→＝12AD →. ∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF→＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF→＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD → ＝12(AB →＋DC →)．能力提升8．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ的值等于( ) A.r R B ．－r R C ．－R rD.R r解析 ∵b ＝λa ，∴|b |＝|λ||a |.又a 与b 反向，∴λ＝－Rr . 答案 C9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.13a ＋23bC.12a ＋14bD.23a ＋13b解析 ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13， ∴DF ＝13AB ，∴AF→＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC→＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得：AB→＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b . 答案 D10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析 CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →. 答案 2311．设a ，b 不共线，AB→＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p ＝________.解析 ∵BC→＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD→＝BC →＋CD →＝2a －b . 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→，BD →共线． 设AB→＝λBD →， ∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.答案 －112.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b . 又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b ＝13a －23b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ， ∴C 、M 、N 三点共线．13．(选做题)过△ABC 的重心G 任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD→＝xAB →，AE →＝yAC →，且xy ≠0，试求1x ＋1y 的值．解 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AG →＝23AM →＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(a ＋b )＝13(a ＋b )．∴GD →＝AD →－AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ，ED→＝AD →－AE →＝x a －y b . ∵GD→与ED →共线，∴GD →＝λED →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ＝xλa －yλb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －13＝λx ，13＝λy ，消去λ得x －1313＝x y ， 即1x ＋1y ＝3.。
北师版数学高一北师大版必修4学案 第二章 疑难规律方法
1 向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用．在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面． 一、化简例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)； (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]． 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝124(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32b .点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用．数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量． 二、求参数例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 解析 如图，因为MA →＋MB →＋MC →＝0， 即MA →＝－(MB →＋MC →)， 即AM →＝MB →＋MC →，延长AM ， 交BC 于D 点，所以D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3. 答案 3点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值． 三、表示向量例3 如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM →.解 因为DE ∥BC ，AD →＝23AB →，所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )，又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ， 所以DN →＝12DE →＝13(b －a )，AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量．2 走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区． 一、理解失误例1 已知e 1、e 2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有________．(只填序号) ①e 1、e 2两个向量可以共线，也可以是零向量； ②λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；③对于平面α内的任意向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数对． 错解 ①②③正解 由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误；故正确答案为②. 答案 ②点评 对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a 都可用e 1、e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底． 二、考虑不全例2 与模长为13的向量d ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A ．(1213，513)B ．(－1213，－513)C ．(1213，513)或(－1213，－513)D ．(±1213，±513)错解 由题意得|d |＝13，则与d ＝(12,5)平行的单位向量为(1213，513)，选择A.正解 与d ＝(12,5)平行的单位向量为(1213，513)或(－1213，－513)．选C.答案 C点评 与d 平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况． 三、概念混淆例3 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设CM →＝ 3CA →，CN →＝2CB →，试求点M ，N 和向量MN →的坐标． 错解 A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)， 所以点M (3,24)，点N (12,6)，MN →＝(9，－18)． 正解 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)， 又C (－3，－4)，所以点M (0,20)，点N 的坐标为(9,2)； 所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．点评 向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等.3 平面向量基本定理应用三技巧技巧一 构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，且a ＝x 1e 1＋y 1e 2＝x 2e 1＋y 2e 2，则用⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2y 1＝y 2来求解．例1 在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →.解 ∵B ，P ，M 共线， ∴存在常数s ，使BP →＝sPM →， 则OP →＝11＋s OB →＋s 1＋s OM →.即OP →＝11＋s OB →＋s 3(1＋s )OA →＝s 3(1＋s )a ＋11＋sb .① 同理，存在常数t ，使AP →＝tPN →， 则OP →＝11＋t a ＋t 4(1＋t )b .②∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧11＋t ＝s3(1＋s )11＋s ＝t4(1＋t )，解之得⎩⎨⎧s ＝92t ＝83，∴OP →＝311a ＋211b .点评 这里选取OA →，OB →作为基底，构造OP →在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解． 技巧二 构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，a ＝x 1e 1＋y 1e 2，b ＝x 2e 1＋y 2e 2，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0”来求解． 例2 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 、b 表示OM →；(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1.(1)解 设OM →＝m a ＋n b ，则 AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线， ∴12(m －1)－(－1)×n ＝0，∴m ＋2n ＝1.① 而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b .∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →共线， ∴－14n －(m －14)＝0.∴4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .(2)证明 EM →＝(17－p )a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b ，∵EF →与EM →共线， ∴(17－p )q －37×(－p )＝0. ∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q＝1. 点评 这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解．技巧三 将题目中的已知条件转化成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式(e 1，e 2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解．例3 如图，已知P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用向量p 表示CQ →. 解 ∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0， ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0，又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →， ∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0，∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0.而BQ →，QP →为不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP →＝－QP →＝PQ →. 故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →＝2p .点评 这里选取BQ →，QP →两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来求解.4 直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具．由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析． 一、直线的方向向量 1．定义设P 1，P 2是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的不同两点，那么向量P 1P 2→以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即x 2－x 1≠0，直线的斜率k 存在时，那么(1，k )是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为(1,0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B ，A )． 2．应用 (1)求直线方程例1 已知三角形三顶点坐标分别为A (2，－3)，B (－7,9)，C (18,9)，求AB 边上的中线、高线方程以及∠C 的内角平分线方程． 解 ①求中线方程由于CB →＝(－25,0)，CA →＝(－16，－12)，那么AB 边上的中线CD 的方向向量为CB →＋CA →＝(－41，－12)，也就是⎝⎛⎭⎫1，1241，因而直线CD 的斜率为1241， 那么直线CD 的方程为y －9＝1241(x －18)，整理得12x －41y ＋153＝0. ②求高线方程 由于k AB ＝9＋3－7－2＝－43，因而AB 的方向向量为⎝⎛⎭⎫1，－43， 而AB 边上的高CE ⊥AB ， 则直线CE 的方向向量为⎝⎛⎭⎫1，34， 那么高线CE 的方程为y －9＝34(x －18)，整理得3x －4y －18＝0. ③求∠C 的内角平分线方程 CB →|CB →|＝(－1,0)，CA →|CA →|＝⎝⎛⎭⎫－45，－35， 则∠C 的内角平分线的方向向量为 CB →|CB →|＋CA →|CA →|＝⎝⎛⎭⎫－95，－35，也就是⎝⎛⎭⎫1，13， 因而内角平分线CF 的方程为y －9＝13(x －18)，整理得x －3y ＋9＝0.点评 一般地，经过点(x 0，y 0)，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程是B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. (2)求直线夹角例2 已知l 1：x ＋3y －15＝0与l 2：y －3mx ＋6＝0的夹角为π4，求m 的值．解 直线l 1的方向向量为v 1＝(－3,1)， 直线l 2的方向向量为v 2＝(1,3m )， ∵l 1与l 2的夹角为π4，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|3m －3|9＋1·1＋9m 2＝22， 化简得18m 2＋9m －2＝0.解得m ＝－23或m ＝16.点评 一般地，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，其方向向量为v 1＝(1，k 1)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，其方向向量为v 2＝(1，k 2)，当1＋k 1k 2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k 1k 2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22；若设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，其方向向量为(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，其方向向量为(－B 2，A 2)，那么cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21·A 22＋B 22.二、直线的法向量 1．定义直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0，从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B )． 2．应用(1)判断直线的位置关系例3 已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0. (1)若l 1⊥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1∥l 2，求实数a 的值．解 直线l 1，l 2的法向量分别为：n 1＝(a ，－1)，n 2＝(2a －1，a )，(1)若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝a (2a －1)＋(－1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝1.∴a ＝0或1时，l 1⊥l 2. (2)若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，∴a 2－(2a －1)×(－1)＝0.解得a ＝－1±2，且a 2a －1＝－1a ≠2.∴a＝－1±2时，l 1∥l 2.点评 一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，当n 1⊥n 2，即A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2，反之亦然；当n 1∥n 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (2)求点到直线的距离例4 已知点M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点．求证：点M (x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.证明 设P (x 1，y 1)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(A ，B )．则M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上投影的长度，如图所示：d ＝|PM →|·|cos 〈PM →，n 〉| ＝|PM →·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(A ，B )|A 2＋B 2＝|A (x 0－x 1)＋B (y 0－y 1)|A 2＋B2＝|Ax 0＋By 0－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2.∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，∴Ax 1＋By 1＋C ＝0，∴Ax 1＋By 1＝－C ， ∴d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2.点评 同理应用直线的法向量可以证明平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A 2＋B 2≠0且C 1≠C 2)的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.证明过程如下：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(A ，B )，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的投影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离．d ＝|P 1P 2→||cos 〈P 1P 2→，n 〉|＝|P 1P 2→·n ||n |打印版 高中数学 ＝|x 2－x 1，y 2－y 1·A ，B |A 2＋B 2＝|A x 2－x 1＋B y 2－y 1|A 2＋B 2＝|Ax 2＋By 2－Ax 1＋By 1|A 2＋B 2＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.。
高中数学 第二章 平面向量章末小结与测评教学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学教学案
第二章平面向量1．平面向量的基本概念平面向量既有大小，又有方向的量向量的模表示向量的有向线段的长度零向量长度为0的向量单位向量长度为1的向量相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量共线向量表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合的两个向量2.向量的线性运算(1)向量的加法、减法和实数与向量的积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．(2)向量的加法运算按平行四边形法则或三角形法则进行，其中向量求和的三角形法则可推广至多个向量求和的多边形法则，即：n个向量经过平移，使前一个向量的终点依次与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即(3)向量的加法满足交换律与结合律，即a＋b＝b＋a(交换律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)．(4)求两个向量差的运算叫作向量的减法，作向量＝a，＝b，则a－b＝－＝，即：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b.(5)一般地，实数λ与向量λa的积是一个向量，记作λa，所以它既有大小又有方向．①大小(长度)：|λa|＝|λ|·|a|.②方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(6)实数与向量的积的运算满足：①结合律：λ(μa)＝(λμ)a.②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3．向量共线(平行)的判定与性质该两定理可简单归结为：b∥a(a≠b)⇔b＝λa(λ∈R)，判定定理是判定两向量共线的重要依据，性质定理是根据向量共线建立方程的依据．4．平面向量基本定理平面向量基本定理也叫共面向量定理，即对于不共线的非零向量，e1，e2，若存在一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2，则向量a，e1，e2共面；反之，若向量a，e1，e2共面，则存在唯一一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可与之建立联系，以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系，如证明三点A，B，C 共线，通常是先把AB，AC用基底表示出来，再由平行向量定理来加以判定．5．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点为起点作OP＝a，则OP＝x i＋y j＝a，称实数对(x，y)是向量a的坐标，可知点P的坐标即为a的坐标．(2)向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．6．平面向量的数量积(1)向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，不是向量．(2)数量积的性质和运算律是进行数量积运算的依据．通过这些性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个平面向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直等．(3)已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则有数量积a ·b ＝|a ||b |cosθa ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2向量的模 |a |＝a ·a ＝a 2|a |＝x 21＋y 21两向量平行的等价条件 a ∥b ⇔a ＝λb a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0 两向量垂直的等价条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝0 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0两向量的夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22[典例1] 已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB 分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b (如图)，(1)用a ，b 表示向量；(2)若，求实数λ的值．[解] (1)∵A 为BC 的中点， 即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝⎛⎭⎪⎫－2a ＋53b . ∴(λ＋2m －2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－53m b ＝0，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.[借题发挥] 1.向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．2．理解向量的有关概念(如相等与相反向量、平面向量基本定理、平行向量定理等)，用基底表示向量，三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础．3．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量的重要方法和技巧．[对点训练]1. 已知▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点．求证：＋.证明：因为E 是对角线AC 和BD 的交点，[典例2] (江苏高考)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1. 由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[借题发挥] 设a ＝(x 1，y 1) b ＝(x 2，y 2)， 1．|a |＝x 21＋y 21.2．a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.3．向量的线性运算，向量的平行、垂直条件，都有坐标表示． [对点训练]2．若向量a ＝(1，x )，b ＝(x ，2)，c ＝(1，1)满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________． 解析：∵c －a ＝(0，1－x )，2b ＝(2x ，4)，(c －a )·(2b )＝－2， ∴4(1－x )＝－2，得x ＝32.答案：32[典例3] (北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则的值为________；·的最大值为________．[解析]以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示． 则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0，1)， 设E (1，a )(0≤a ≤1)． [答案] 1 1[借题发挥] 平面向量的数量积是向量的核心内容，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．[对点训练]3．已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为23π，b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |·4×(－12)＝－4，∴|b |＝2. ∵c ＝m a ＋n b ， ∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c ， ∴16＝n ·(－4)，∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a ·b . ① 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ， 得m a ·b ＝12. ②由①②，得m ＝± 6. ∴a ·b ＝±26，∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或56π.[典例4] 如图所示，顶角为2θ的等腰劈，今有力|F |＝100 N 作用于劈背上将物体劈开，试分析力F 的分力的大小与θ的关系．[解] 根据力的作用效果(力F 1、F 2的方向分别垂直于劈面)，可将力分解如图，由向量的平行四边形法则及直角三角形的知识有|F 1|＝|F 2|＝|F |2sin θ＝|F |2sin θ＝100 N 2sin θ＝50 Nsin θ.根据题意0<2θ<π， ∴0<θ<π2.又θ∈(0，π2)时，sin θ是增函数，∴随着θ的增大，|F |在减小， 即顶角越小，分力越大．当θ＝π6时，即顶角为π3时，|F 1|＝|F 2|＝|F |.[借题发挥] 平面向量的应用主要体现在三个方面：一是在平面几何上的应用，利用向量的运算解决平行、垂直、距离和夹角等平面几何的相关问题；二是向量在解析几何上的应用，主要利用向量平行和垂直的坐标条件求直线或圆的方程；三是在物理中的应用，主要解决力、速度等矢量的分解、合成问题及力对物体做功的问题．[对点训练]4. 如图，已知▱ABCD 中，E ，F 在对角线BD 上，且BE ＝FD ，求证：四边形AECF 是平行四边形．∴四边形ABCD 是平行四边形．(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)2．设向量a ＝(1，0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C ∵(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝0，∴(a －b )⊥b .3．已知a ＝(3，4)，b ∥a ，且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x )，则b 等于( ) A ．(－1115，15) B ．(－415，15)C ．(－35，45)D ．(－35，－45)解析：选D 依题意，b ＝(x －1，3x －2)． ∵b ∥a ，∴x －13＝3x －24，解得x ＝25， ∴b ＝(－35，－45)．4．有下列命题：①＝0；②(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝(m,4)，则|a |＝23⇔m ＝7；④若AB 的起点为A (2,1)，终点为B (－2,4)，则与x 轴正向所夹角的余弦值是45.其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 解析：选C 因为，所以①错；②是数量积的分配律，正确；当m ＝－7时，|a |也等于23，故③错；在④中，＝(4，－3)与x 轴正向夹角的余弦值是45，故④正确． 5．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足||＝||，则△ABC一定是( )A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得，则以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线相等，∴该四边形为矩形．∴∠A＝90°.6．(辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( ) A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b解析：选B 法一：由|a＋b|＝|a－b|.平方可得a·b＝0，所以a⊥b，故选B.法二：根据向量加法、减法的几何意义可知|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B.7．若向量＝5，那么d·＝( ) A．0 B．－4C．4 D．4或－4解析：选C ＝5－(－1,1)·(3,4)＝4.8．(重庆高考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )A. 5B.10C．2 5 D．10解析：选B 由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝32＋（－1）2＝10.9．(浙江高考)设a，b是两个非零向量( )A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析：选C 若|a |＋|b |＝|a |－|b |，则a 、b 反向共线，故A 错误，C 正确； 当a ⊥b 时，a 、b 不反向，也不共线，B 错误；若a 、b 同向，则|a ＋b |≠|a |－|b |，D 错误．10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 解析：选B 设a 与b 的夹角为θ，∵方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∴a ·b ≤14|a |2.∴cos θ＝a ·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝4|b |28|b |2＝12，而θ∈[0，π]，∴π3≤θ≤π.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)． 11．已知e 1，e 2为单位向量，它们的夹角为120°，则|e 1－3e 2|＝________． 解析：∵|e 1－3e 2|2＝e 21－6e 1·e 2＋9e 22 ＝|e 1|2－6|e 1||e 2|cos 120°＋9|e 2|2＝1－6×(－12)＋9＝13，∴|e 1－3e 2|＝13. 答案：1312．(山东高考)已知向量的夹角为120°，且||＝3，＝λ＋，则实数λ的值为________．λ＝712.答案：71213．已知向量a ＝(6，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．解析：a ＋2b ＝(6，2)＋(－8，1)＝(－2，3)．∵直线l 与向量a ＋2b 垂直，∴直线l 的一个方向向量为v ＝(1，23)，∴直线l 的斜率k ＝23，故直线l 的方程为y ＋1＝23(x －3)，即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝014．(2012 ·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP ―→的坐标为________．解析：如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ ，Q 为垂足．根据题意得劣弧DP ︵＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝(2－π2)弧度，|CQ |＝cos (2－π2)＝sin 2，|PQ |＝sin (2－π2)＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，即为向量OP ―→的坐标．答案：(2－sin 2，1－cos 2)三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a ＝(4，3)，b ＝(－1，2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值．(1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝12|n |.解：由已知得，m ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝(7，8)． (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0.解得λ＝529.(2)∵m ∥n ，∴4＋λ7＝3－2λ8，解得λ＝－12.(3)∵|m |＝12|n |，∴（4＋λ）2＋（3－2λ）2＝72＋822. ∴20λ2－16λ－13＝0.∴解得λ＝－12或1310. 16．(本小题满分12分)已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．解：由已知，(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0. ①7a －30a ·b ＋8b 2＝0. ②①—②得2a ·b ＝b 2.代入①式，得a 2＝b 2.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12， 故a 与b 的夹角为60°.17．(本小题满分12分)已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2. 证明：∵D 是AB 的中点，即4m 2＋c 2＝2a 2＋2b 2.∴a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2. 18．(本小题满分14分)在△ABC 中，，＝－1，O 为△ABC 所在平面内的一点，(0≤λ≤1)． (1)指出点O 所在的位置，并给予证明；(2)设f (λ)＝，求函数f (λ)的最小值，并求出相应的λ值．∵0≤λ≤1,0≤1－λ≤1，∴点O 在BC 边的中线上∴f(λ)＝λ(λ－1)＝(λ－12)2－14.∵0≤λ≤1，所以，当λ＝12，f(λ)取得最小值－14.。
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[核心必知]
1．位移、速度和力
位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．
2．向量的概念
(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．
(2)向量的表示法
①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．
②向量的表示法
(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A，终点为B，则该有向线段记作：
(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．
(3)向量的模(长度)
向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．
(4)与向量有关的概念。