人教A版数学必修四名师课件：第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理(情境互动课型)

(2)如图②，向量 2a 与 3b 的夹角为 60°.
6.在△OAB 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD 与 BC 交 于点 M，设O→A＝a，O→B＝b，试以 a, b 为基底表示O→M.
【解题关键】先用平面向量基本定理设出 O→M＝ma＋nb，分别表示出A→M, A→D, C→M, C→B后，再利用共线向量的条件列出方程组， 从而确定 m，n 的值．
【变式练习】
已知 a, b不共线，且 c 1a 2 b(1,2 R) ，
若 c与b 共线，则 1 = 0 .
1．给出下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为
表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作
为表示该平面所有向量的基底；
③零向量不可为基底中的向量．
【解析】设O→M＝ma＋nb(m，n∈R)，则A→M＝O→M－O→A＝ (m－1)a＋nb，A→D＝O→D－O→A＝12b－a＝－a＋12b，
∵A, M, D 三点共线，∴A→M＝λA→D，
m－1＝－λ
∴n＝12λ
，消去 λ 得 m＋2n＝1. ①
而C→M＝O→M－O→C＝m－14a＋nb， C→B＝O→B－O→C＝b－14a＝－14a＋b，
已知两个非零向量 a和b .如图，
作OA a,OB b,则AOB (0 180 ) B
叫做向量 a 与 b 的夹角.
显然，当 0 时，a与b同向； b
当 180 时,a与b反向.

如果a与b的夹角是90 ， O
A
a
我们说a与b垂直,记作a b.
【即时训练】
4.已知向量 a 与 b 的夹角是 45°，则－2a 与 3b 的 夹角是__1_3_5_°___．
5.已知两个非零向量 a 与 b 的夹角为 60°，试求下列向 量的夹角：(1)a 与－b；(2)2a 与 3b 【解析】(1)由向量夹角的定义，作出 a 与 b 的夹角，如图 ①，向量 a 与－b 的夹角为 120°.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他 向量都能够用基底来表达． （难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段 比的问题等）.
微课1 平面向量基本定理
一个平面内的两个不共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基 底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和 任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本 题中，①错，②、③正确，故选 B.
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
D
b
A
C
M
aB
利用加法 法则或减 法法则
所以 MA = - 1 AC = - a + b = - a - b ；
2
2
22wenku.baidu.com
MB = 1 DB = a - b = a - b ； D
2
2 22 b
M
C
MC = 1 AC = -MA = a + b ； A
2
22
aB
MD = - 1 DB = -MB = - a + b .
∴B→E＝12A→D＝12b，C→F＝12B→A＝－12A→B＝－12a. ∴D→E＝D→A＋A→B＋B→E
＝－A→D＋A→B＋B→E ＝－b＋a＋12b＝a－12b， B→F＝B→C＋C→F＝A→D＋C→F＝b－12a.
【方法规律】 1．若题目中已给出了基底，求解此类 问题时，常利用向量加法三角形法则或平行 四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与 基底的关系． 2．若题目中没有给出基底，常结合已 知条件先寻找一组从同一点出发的两不共 线向量作为基底，而后用上述方法求解．
作法:
1.如图，任取一点O ,作OA 2.5e1 , OB 3e2.
2.作 OACB.
C
B
OC 就是求作的向量.
3e2
A -2.5e1 O
【变式练习】
已知O→A＝a，O→B＝b，C 为线段 AO 上距 A 较近的 一个三等分点，D 为线段 CB 上距 C 较近的一个三
等分点，则用 a、b 表示O→D的表达式为( A )
A.19(4a＋3b) B.116(9a＋7b) C.13(2a＋b) D.14(3a＋b)
例2.如图，Y ABCD的两条对角线相交于点M,且AB a， AD b，你能用a，b表示MA，MB，MC和MD吗？
解：在 ABCD中， 因为AC = AB + AD = a + b DB = AB - AD = a - b
下列关于基底的说法正确的是( C )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的
线性分解形式也是唯一确定的．
A．①
B．② C．①③ D．②③
例1.已知向量e1,e（2 如图），求作向量- 2.5e1 +3e2 .
e1
e2
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
⑴向量共线定理
向 量 （a a 0） 与 b共 线 , 当且仅当有唯一一个实数
λ ，使b =λ a.
当 0 时，b 与 a同向，且| b |是| a |的 倍; 当 0 时，b 与 a反向，且| b |是| a |的| |倍;
【互动探究】
设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC 3CD ，
则（ A ）
A.
AD


1 3
AB

4 3
AC
C.
AD

4 3
AB

1 3
AC
B.
AD

1 3
AB

4 3
AC
D.
AD

4 3
AB

1 3
AC
例3.已知A, B是l上任意两点，O是l外一点，求证： 对直线l上任一点P，存在实数t，使 OP 关于基底
当 0时，b 0，且 | b | 0 .
⑵向量的加法：
B
C
共起点 b a b
b
O aA
平行四边形法则
a
ab
B
首尾相接 O
b
aA
三角形法则
思考：(1)向量 a 是否可以用含有 e1, e2 (e1,e2不共线)
的式子来表示呢？怎样表示？
（2）若向量 a 能够用 e1， e2 (e1,e2不共线) 表示，这
a
e1
e2
M
C
a
e1
e2
如图，OC OM ON,
A
O
NB
因为OM 1OA 1e1, ON 2 OB 2 e2,
所以OC 1e1 2 e2,
即 a 1e1 +2 e2.
e1
e2
a
N A
B
C O
如图, OC OM ON,
M
因为OM 1OA 1e1, ON 2 OB 2 e2,
{ OA,OB }的分解式为 OP (1 t)OA tOB.
P
B
O
A
l
【解析】根据平面向量基本定理，同一平面内任意 向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可 得
OP OA AP OA t AB
O A t (O B O A )，
即 O P (1 t )O A tO B .
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底， 那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝ －2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量 的一组基底.
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
2
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【变式练习】
如图所示，已知▱ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 边上的中点，若A→B＝a，A→D＝b，试以 a、b 为基底 表示D→E、B→F.
【解题关键 】 平面向量基本定理 → 基底不共线 → 向量共线定理 → 线性表示
【解析】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 分别是 BC、DC 边上的中点， ∴A→D＝B→C＝2B→E，B→A＝C→D＝2C→F，
一对实数
1, 2，使
a

1 e1

2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
∵C, M, B 三点共线，∴C→M＝μC→B，
∴m－14＝－14μ ，消去 μ 即 4m＋n＝1. ② n＝μ
由①②可得：m4m＋＋2nn＝ ＝11
,,解得mn＝＝3717
, ,
∴O→M＝17a＋73b.
平面向 量基本 定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有
所以OC 1e1 2 e2, 即 a 1e1 +2 e2.
a 1e1 +2e2
这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成1e1 2 e2 (e1, e2 不共线)的形式.
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实