上海市金山中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

金山中学2017学年第一学期高一年级数学学科期末考试
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1．与
496-终边相同的
角中，最小正角
是 ．
2．已知+∈R y x ,，且1=+y x ，则y x ⋅的最
大值为 ．
3．已知函数()1-=x a x f 的图象经过()1,1点，则()=-31f ．
4．已知{}12,M x x x R =-≤∈，10,2x P x x R x ⎧-⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P = ．
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为 60，半径cm r 20=，则扇形的周长为 cm ．
6．已知2
0π
α<<，20πβ<<，则32βα-的取值范围是 ． 7．已知不等式052>++b x ax 的解集是{}32<<x x ，则不等式052
>+-a x bx 的解集
是_ .
8．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,0,22x m x x x f x 的值域为(]1,∞-，则实数m 的取值范围是 ． 9．奇函数()x f 的定义域为[]2,2-，若()x f 在[]2,0上单调递减，且()()01<++m f m f ，则实数m 的取值范围是 ．
10．设)(x f 是定义在R 上的函数，且满足对任意y x ,等式()()()34322+-+-=-y x y x f x y f 恒成立，则)(x f 的解析式为 ．
11．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+，则称)(x f 为“H
函数”．给出下列函数：
①1y x =+；②21y x =+；③1+=x e y ；④⎩⎨
⎧=≠=000||ln x x x y ，其中“H 函数”的序号是 ．
12．已知R a ∈，函数()a a x
x x f +-+
=4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值范围是______． 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．已知()3
1
cos -=+απ，且α为第四象限角，则()=-απ2sin （ ） A ．322- B ．322 C ．31 D ．3
1- 14．设R b a ∈,，则“⎩
⎨⎧>>+12ab b a ”是“1>a 且1>b ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件
15．已知()[)[]⎩⎨
⎧∈+-∈+=1,0,10,1,12x x x x x f ，则下列函数的图像错误的是 （ ）
A ．)1(-x f 的图像
B ．)(x f -的图像
C ．|)(|x f 的图像
D ．|)(|x f 的图像
16．已知函数()()
220171lo g 201722017+-+++=-x x x x x f ，则关于x 的不等式
()()413>++x f x f 的解集为 （ ） A .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,41 B. ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞-41, C.()+∞,0 D.()0,∞- 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．
（1）已知α是第三象限角，且3
1tan =α，求ααcos ,sin 的值． （2）已知角α的终边上有一点P 的坐标是()a a 4,3-，其中0≠a ，求ααcos sin 2+．
18．(本题满分14分)
已知}02|{2=-+=x x x A ，}042|{2
R x a ax x x B ∈=-++=，，若A B ⊆，求实数a 的值.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定
开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台,需另投入成本()C x (万元)，当年产量不足80台时,()21402C x x x =
+(万元)；当年产量不小于80台时()81001012180C x x x
=+-(万元)，若每台设备售价为100万元，通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润y (万元)关于年产量x （台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
20．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.
已知非空集合A 是由一些函数组成，同时满足以下性质：
①对任意()A x f ∈，()x f 均存在反函数()x f 1-，且()A x f ∈-1；
②对任意()A x f ∈，方程()x x f =均有解；
③对任意()()A x g x f ∈,，若函数()x g 为定义在R 上的一次函数，则()()A x g f ∈；
（1）若()x
x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，()32-=x x g 均在集合A 中，求证：函数()()A x x h ∈-=32log 21；
（2）若函数()()11
2≥++=x x a x x f 在集合A 中，求实数a 的取值范围.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知()()R a a x f x x ∈+-=1
22的图像关于坐标原点对称。

（1）求a 的值；
（2）若函数()()1
22+-+=x x b x f x h 在[]1,0内存在零点，求实数b 的取值范围； （3）设()x x k x g -+=1log 4，若不等式()()x g x f ≤-1在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈32,21x 上恒成立，求满足条件的最小整数k 的值.
金山中学2017学年第一学期高一年级数学学科期末考试参考答案
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1．与 496-终边相同的角中，最小正角是 ． 224
2．已知+∈R y x ,，且1=+y x ，则y x ⋅的最大值为 ．
41 3．已知函数()1-=x a x f 的图象经过()1,1点，则()=-31f ．2
4．已知{}12,M x x x R =-≤∈，10,2x P x x R x ⎧-⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭
，则M P = ．[]1,1-
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为 60，半径cm r 20=，则扇形的周长为
cm ．3
2040π+ 6．已知2
0π
α<<，20πβ<<，则32βα-的取值范围是 ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ,6 7．已知不等式052>++b x ax 的解集是{}32<<x x ，则不等式052>+-a x bx 的解集是_ .⎪⎭
⎫ ⎝⎛-31,21 8．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0
,0,22x m x x x f x 的值域为(]1,∞-，则实数m 的取值范围是 ．10≤<m
9．奇函数()x f 的定义域为[]2,2-，若()x f 在[]2,0上单调递减，且()()01<++m f m f ，则实数m 的取值范围是 ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛-1,21 10．设)(x f 是定义在R 上的函数，且满足对任意y x ,等式
()()()
34322+-+-=-y x y x f x y f 恒成立，则)(x f 的解析式
为 ．()()13+=x x x f
11．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①1y x =+；②21y x =+；③1+=x e y ；④⎩⎨
⎧=≠=000||ln x x x y ，其中“H 函数”的序号是 ．①③
12．已知R a ∈，函数()a a x
x x f +-+=4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值范围是______．2
9≤a 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．已知()3
1
cos -=+απ，且α为第四象限角，则()=-απ2sin （ B ） A ．322- B ．322 C ．31 D ．3
1- 14．设R b a ∈,，则“⎩⎨⎧>>+1
2ab b a ”是“1>a 且1>b ”的（ B ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
15．已知()[)
[]⎩⎨⎧∈+-∈+=1,0,10,1,12x x x x x f ，则下列函数的图像错误的是 （ D ）
A ．)1(-x f 的图像
B ．)(x f -的图像
C ．|)(|x f 的图像
D ．|)(|x f 的图像
16．已知函数()()
220171lo g 201722017+-+++=-x x x x x f ，则关于x 的不等式()()413>++x f x f 的解集为 （ A ） A .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-
,41 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-41, C.()+∞,0 D.()0,∞-
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．
（1）已知α是第三象限角，且3
1tan =α，求ααcos ,sin 的值． （2）已知角α的终边上有一点P 的坐标是()a a 4,3-，其中0≠a ，求ααcos sin 2+． 解：（1）1010sin -=α，10
103cos -=α （2）当0>a 时，原式1-=；当0<a 时，原式1=．
18．(本题满分14分)
已知}02|{2=-+=x x x A ，}042|{2
R x a ax x x B ∈=-++=，，若A B ⊆，求实数a 的值. 解：{}1,2-=A A B ⊆ φ=∴B 或{
}1或{}2-或{}2,1-； 若φ=B ，()04242
<--=∆a a 无解；
若{}1=B ，a a a ⇒⎩⎨⎧=-=-1
422无解；
若{}2-=B ，44424=⇒⎩⎨
⎧=--=-a a a ；
若{}2,1-=B ，12421=⇒⎩
⎨⎧-=--=-a a a ； 综上：4=a 或1=a .
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台,需另投入成本()C x (万元)，当年产量不足80台时,()21402C x x x =
+(万元)；当年产量不小于80台时()81001012180C x x x
=+-(万元)，若每台设备售价为100万元，通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润y (万元)关于年产量x （台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时
,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
解：（1）()500100--=x C x y ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+--<≤-+-=801680810080050060212x x x x x x ；
（2）当800<≤x 时，()1300602
12+--=x y ， 此时当60=x 时y 取得最大值为1300（万元）；
当80≥x 时，1500168018016808100=+-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+
-=x x y ， 当且仅当x
x 8100=即90=x 时y 取最大值为1500（万元）； 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．
20．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 已知非空集合A 是由一些函数组成，同时满足以下性质：
①对任意()A x f ∈，()x f 均存在反函数()x f 1-，且()A x f ∈-1；
②对任意()A x f ∈，方程()x x f =均有解；
③对任意()()A x g x f ∈,，若函数()x g 为定义在R 上的一次函数，则()()A x g f ∈；
（1）若()x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，()32-=x x g 均在集合A 中，求证：函数()()A x x h ∈-=32log 2
1； （2）若函数()()11
2≥++=x x a x x f 在集合A 中，求实数a 的取值范围. 解：（1）()A x x f ∈=-2
11log ，
由③得，()()()()A x g f x x h ∈=-=32log 2
1；
（2）由②得()11
2≥=++x x x a x 有解，即x x a x +=+22， 1≥=∴x a
()()()21
11111212-++++=++++-+=∴x a x x a x x x f 由①得，21≥+x 且()x f 在[)+∞,1存在反函数， 21≤+a 即31≤≤-a ；
综上：31≤≤a .
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知()()R a a x f x x ∈+-=1
22的图像关于坐标原点对称。

（1）求a 的值；
（2）若函数()()1
22+-+=x x b x f x h 在[]1,0内存在零点，求实数b 的取值范围；
（3）设()x x k x g -+=1log 4，若不等式()()x g x f ≤-1在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈32,21x 上恒成立，求满足条件的最小整数k 的值。

解：（1）由题意知()x f 是R 上的奇函数，∴()00=f ，得1=a ．
（2）()()1
2122122121212+--+=+-++-=+x x x
x x x x b b x h ， 由题设知()0=x h 在[]1,0内有解，即方程()012212=--++b x x
在[]1,0内有解． ∴()()2121222
12-+=-+=+x x x b 在[]1,0内单调递增，∴72≤≤b ； 故当72≤≤b 时，函数()()1
22+-+=x x b x f x h 在[]1,0 内存在零点． （3）由()()x g x f ≤-1，得x
x k x x -+≤-+1log 11log 42，()x x x k -+≥+∴112
， 显然⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈32,21x 时，0>+x k ，即x x x k -++≥1122． 设x m -=1，由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,21x ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∴21,31m ； 于是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈-+=+-=-++323,454245211222m m m m m x x x ，323≥∴k ； 故满足条件的最小整数k 的值是8．。