第六讲：有限与无限

i1
1 2
i
1
an an1 d ,
a1 = *
5）因子链条件（抽象代数中的术语）
34
3. 数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）
(大家的经验：公园中通幽的“曲径”是“条石”修成的； 圆形的石拱桥；家中弧形的拱形装饰） 2）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的）
↙ ↙↙ 二团： 2.1 2.2 2.3 2.4 ……
↙↙ 三团： 3.1 3.2 3.3 3.4 …… ……………………………………
16
法II.
让每个旅游团占据某固定素数的方幂
由于素数有无穷多个，正整数又 “唯一析因”，
知，能安排住下，且还有空房，
一团
p
1 1
二团
p
1 2

p
2 1
p
3 1
…
p
4 1
n
a i 是个确定的数
i1
无穷级数一定有“和”。 ×
( 1)i
则不是个确定的数。称为该
i1
级数“发散”。反之称为“收敛”。
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有限多个无穷小量的乘积一定还是无穷 小量。 (所以，高等数学中学习“无穷小量”性质时应 注意“有限个”的条件）
无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量（ 甚至可以是无穷大量）。
7
1. 四个芝诺悖论之一： 阿基里斯追不上乌龟。
a1
a2
a3 a4
A1
A2
A3 A4 … An
2. 症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，每天取得的产度构成无穷 递缩等比数列{an} ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…
10
三、“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人
1 2 3 4 ┅k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓┅↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅
空出了1号房间
11
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
12
3
↓↓ ↓ ↓┅
2
4
6
空下了奇数号房间
4 ↓┅
8
┅ k┅ ┅ 2k ┅
12
3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团
44
这需要“一一对应”的观点。 1）“一一对应”——双射（单射+满射） 2）集合的势|A|——集合中元素的多少
3）|N| =可数无穷势 a ， |Q|= a
4）|R| =不可数无穷（称连续统势 c）,
c a：无理数比有理数多得多。
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5）无穷集合可能有不同的势，其中最小的 势是 a ；不存在最大的势。
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。 ]
26
伽利略（Galileo Galilei，1564-1642） ，意大利物理学家、 天文学家和哲学家， 近代实验科学的先驱 者。
27
2.） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立:
9
芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连 续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离 散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所 以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖 锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题， 引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能 不说是巨大的贡献。
0.2
0.4
0.6
0.8
1
24
四、无限与有限的区别和联系
1. 区别
1） 在无限集中，“部分可以等于全体” （这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。
25
当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ↕↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 …
～1918) 德国数学家，集合论的创始者。 1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁 格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862 年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏 林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K. （T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。 1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在 库默尔指导下以数论方面的论文获博士学 位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试 ，后即在该大学任讲师，1872年任副教授 ，1879年任教授。
(a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c
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在“无限”的情况下，加法结合律不 再成立。如
1(1)1(1)1(1) [1(1)][1(1)][1(1)] 0 1[(1)1][(1)1][(1)1] 1
29
有限半群若满足消去律则一定是群。 √
无限半群若满足消去律则一定是群。 ×
30
（2）有限级数一定有“和”。 √
教学目标： 1.了解“初等数学”中的“有限”和“高等数学”
中的“无限”。 2.进一步认识“有限”与“无限”，体会“有限”
与“无限”的本质区别和联系 3. 能从“有限与无限”的数学角度分析有关的
问题
一、什么是悖论
悖论：从“正确”的前提出发，经过“ 正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。
4
例如：1.“甲是乙”与“甲不是乙”这两个 命题中总有一个是错的；这是正确的前提。 2.“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”这 两个命题，数一数它们的字数，这是正确的推理 ，又均是对的，这就是悖论。
20
解答
9 1秒 1
9 1秒 2
9 1秒 3
9 1秒 4
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[思]：构造一个“部分到整体的一 一对应”：从[0，1）→[0，+∞）。
22
答：
f : [0,1) 0,
x 1 1 1 x
即
f (x) 1 1
1 x
23
的图像 f (x) 1 1 1 x
250 200 150 100
50
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六．哲学中的无限
1．哲学对“无限”的兴趣
哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无 限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究 。现在我们知道哲学中有下边一些命题：
50
物质是无限的；时间与空间是无限的 ；物质的运动形式是无限的。
一个人的生命是有限的；一个人对客 观世界的认识是有限的。
51
2．数学对“无限”的兴趣
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2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往 往很重要。
1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命
题对无限个自然数均成立。
2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程
。
如： k
lim
n
an
n； 自k 然数N，都
，使
时，
。 an N
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3）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的
结果，如
4）递推公式
形面积之和 f (~i )曲xi 边梯形面积； i 越 小，就越精确；再取极 限 ， 0
就得到曲边梯形的面积。
b
n
f x dx =
a
lim
0 i1
f
i
xi
39
五、 潜无限与实无限
1．潜无限与实无限简史
潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程 ，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的 一种方式，不是一个实体。
41
但康托不同意这一观点，他很愿意把这个 装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。 这就是实无限的观点。
康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨 大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔， 却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境 和待遇都不太好。
42
康托Georg Ferdinand Philip Cantor (1845
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2．无限集合也有“大小” ——从“一一对应”说起
实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能 有不同的“大小”。
正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函 数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合， 都能找到更“大”的无限集合）。
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从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学 家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集 是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如， 可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1， 2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个 大袋子里，那么，这一过程将永无终止。
因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不 可能的，它只能存在于人们的思维里。
（微积分中有“局部以直代曲”微分思想）
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以下几个近似计算公式就是在“局部以直代 曲”微分思想下所得的结果
当 x 很小时，有：
ex x1
sinxx
n 1x 11x n
3） 不规则图形的面积：
大家都会求：正方形的面积，长方形的面积，三角形的面积，多边形的面积，圆 面积。
但是，怎样求不规则图形的面积？
18
答 ：可能发生。
将所有客人按1，2，3，4，5， …的次序编号，先到的客人编号 在前。如果编号在前的客人先离 开，则第n号客人在第n+1天离开 ，于是无穷多天之后旅店里就没 有客人了。
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[思] 构造一个无穷多个运动员百米赛 跑，但结果没有第一名的例子。（要求表 达出每一个运动员的百米成绩，且要求接 近实际：不能跑进9秒）
直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。
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分球怪论
1924年巴拿赫（左）和塔斯基（右）首 次提出这一定理。
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分球怪论
在选择公理成立的前提下可以将一个三 维实心球分成有限多块，然后仅仅通过旋转 和平移将这有限多块重新组合，就可以组成 两个半径和原来相同的完整的球。这不是真 正的悖论，只不过意味着选择公理可以导致 某些违反直觉、令人惊讶的结果。
12空出了1号房间13客满后又来了一个旅游团旅游团中有无穷个客人空下了奇数号房间14客满后又来了一万个旅游团每个团中都有无穷个客人10001200023000340004给出了一万个又一万个的空房间151617将所有旅游团的客人统一编号排成下表按箭头进入12345
第六讲：有限与无限
教学内容： 第三节有限与无限的问题
其和：½+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1
3. 芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的“反证法”及“无限”的思想 (关于“反证法”，我们在前面已经经历过几次了，如“猜帽子的颜色”；证明 “病狗的条数”等，这是重要的数学推理证明方法） 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
6）“连续统假设”长期未彻底解决 “连续统假设”：可数无穷 a 是无限集中最小的 势，连续统势 c 是（否？）次小的势。
ac
ad c
？
46
康托1882年曾认为他证明了这一假设，后来发现证 明有错。
1900年希尔伯特提出的23个问题里，连续统假设是 第一个问题。1938年哥德尔证明了连续统假设对ZF公理 集合论是相容的，1963年科恩证明了连续统假设对ZF公 理集合论是独立的。这样，在ZF公理集合论中，既不能 证明也不能否定连续统假设。
…
p
2 2
p
3 2
…
p
4 2
…
三团
p
1 3
p
2 3
p
3 3
…
p
4 3
…
…………………………
附：证明“素数有无穷多个”（反证法）
p1 ps 1
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[思] 该旅馆第一天恰有一个客人， 第二天这个客人离开，又来了两位客 人，以后每天都有一位 客人离开，又 来了两位客人，无穷多天之后，旅店 老板发现旅店里一个客人都没有了， 这种情况可能发生吗？
中都有无穷个客人
12
34┅
↓↓↓ ↓┅ ↓ ┅
10001 20002 30003 40004 ┅
k┅
10001×k ┅
给出了一万个、又一万个的空房间
13
4. [思考题] 该旅馆客满后又来了无 穷个旅游团，每个团中都有无穷个客 人，还能否安排？
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思考题解答
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答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进 入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有 房间住。 一团： 1.1 → 1.2 1.3 1.4 ……
数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高 了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人 类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在 获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类 的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共 同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习 和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样 ，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。
法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。通过数方格数计算出面积的近似值。 方格越小，所得面积越准
（小学数学中让小学生数方格，不足一格当半个 ）
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北师大小学数学五年级上册P23
法Ⅱ.（高等数学中的方法：分割、求和、取极限——定积 分）
首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形→若干个曲 边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，矩
5
3.“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整 数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却 不能表为整数的比，这也是悖论。 （因为.“万物皆数”学说时，还没有“无理数” ，当然也没有“有理数”概念，只是任何数都可 表为整数的比）
6
二、芝诺悖论
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的） 爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可 分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的； 运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“ 芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我 们从数学角度看其中的一个悖论。