8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义

【详解】
如图所示：
设外接球和内切球的半径分别为R，r，由于正四面体是中心对称图形，
所以外心和内心重合，球心O在高线上，底面中心为 ,
因为正四面体棱长为2，
所以 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
因为正四面体的体积为 ,
所以 ，
解得
9、在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求 到面 的距离.
故选：
题型七表面积、体积与函数
例7 底面半径为2，高为 的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱).
（1）设正四棱柱的底面边长为 ，试将棱柱的高 表示成 的函数.
（2）当 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【分析】
（1）根据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据 ，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最大值.
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2、体积公式
（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝ Sh.
（3）台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝ (S′＋ ＋S)h.
【详解】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示，
因为 ，所以 ．从而 ．
（2）由（1） ，因为 ，
所以当 时， 最大，
即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
1、已知正方体外接球的体积是 ，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．
【答案】
【分析】
由正方体的对角线是外接球直径，正方体的棱长等于内切球直径可求解．
【详解】
如图所示：把正四面体放在正方体中，设正方体的棱长为x，则 ， ，
由题意得 ， ， .
故答案为：
5、母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的底面圆的半径为_________，体积为_______．
【答案】4
【分析】
求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．
【详解】
如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为R，则 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 ，
故选：A.
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
计算得到球的半径为1，再计算体积得到答案.
【详解】
由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长相等，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积为 .
【详解】
（1）由题意：
.
（2）
， ，
当 时， .
已知一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，在其内部有一个高为 的内接圆柱.
（1）求此圆柱的侧面积的表达式.
（2）当 为何值时，圆柱的侧面积最大？
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，设所求圆柱的底面半径为 ，它的侧面积 ，由 能求出圆柱的侧面积（2）圆柱侧面积为关于 的二次函数，利用二次函数性质可知圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.
由勾股定理得底面是直角三角形，求得其内切圆的半径，再利用三棱柱和圆柱的体积公式可求得答案.
【详解】
因为 ，所以底面是直角三角形，
所以上、下底面内切圆半径 ，
所以剩余部分几何体的体积 ，
所以剩余部分几何体的体积为 .
7、如图，在长方体 中，截下一个棱锥 ，求棱锥 的体积与剩余部分的体积之比．
【答案】
【分析】
【详解】
（1）由正方体的特点可知三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， 、 、 都是直角边为 的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥 的表面积
（2）正方体的体积为 ，
三棱锥 的体积为 ，
所以剩余的几何体 的体积为 .
题型三圆锥的表面积与体积
例3 将半径为 ，圆心角为 的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）
（1）圆台的高；
（2）圆台的体积．
注：圆台的体积公式： ，其中 ，S分别为上下底面面积，h为圆台的高．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）作出圆台的直观图，过点A作 ，垂足为H，由勾股定理可求圆台的高；
（2）结合（1），利用圆台的体积公式可求圆台的体积．
【详解】
（1）作出圆台的直观图，如图，
设圆台上下底面圆心分别为 ， 为圆台的一条母线，
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据 ，得到 为直角三角形，再根据直三棱柱 ，得到 ， 为直角三角形， 是等腰三角形，分别求得各三角形的面积即可.
（2）易得三棱锥 与三棱锥 的体积相等，又 ，则 ，利用等体积法求解.
【详解】
（1）因为 ，
所以 为直角三角形，
则 .
因为直三棱柱 ，
所以 ， 为直角三角形，
由题意知 ， ，
又 ，
∴斜高 ，
∴ ；
（2）由题意知， ，∴ ，
∴ ，又 ， .
题型六球体的表面积与体积
例6 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm，则球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项.
（2）以 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）以 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，计算圆台的表面积得到答案.
（2）如图所示，以 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案.
【详解】
（1）以 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，
故选：A
已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是 ，体对角线的长为 ，则这个长方体的体积是（）
A．48B．24C．12D．6
【答案】A
【分析】
由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a，利用过一个顶点的三条棱的平方和等于对角线长的平方求得a，则答案可求.
【详解】
由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a，
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得扇形弧长后可得圆锥底面周长，由此确定底面半径和圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果.
【详解】
由扇形弧长公式可求得弧长 ， 圆锥底面周长为 ，
圆锥底面半径 ， 圆锥的高 ，
圆锥的体积 .
故选： .
圆柱的母线长为 ，底面半径为 ，则圆柱的侧面积为（）
A． B． C． D．
【答案】
【分析】
先计算出母线的长，再计算表面积和底面积，然后求和即可.
【详解】
解：圆台的上下底面半径分别为 ，则 ， ，
圆台的母线长 ，
所以圆台的表面积 ，
故答案为：
4、若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，则球的表面积为______.
【答案】
【分析】
如图所示，把正四面体放在正方体中，计算半径得到球的表面积.
利用棱锥和棱柱的体积公式即可求解.
【详解】
长方体 可以看成四棱柱 ．设四棱柱的底面 的面积为S，高为h，则它的体积为 ．
棱锥 的底面面积为 ，高为h
因此，棱锥 的体积 ，余下的体积是 ．
．
8、已知正四面体棱长为2，分别求该正四面体的外接球与内切球的半径.
【答案】
【分析】
设外接球和内切球的半径分别为R，r，球心O在高线上，底面中心为 ,根据正四面体棱长为2，分别求得 ，在 中，由 求外接球半径，利用等体积法由 求内切球半径即可.,
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）设 、 分别为上、下底面的中心，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，则 为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；
（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.
【详解】
（1）如图，设 、 分别为上、下底面的中心，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，则 为正四棱台的斜高，
A．20B． C．16D．
【答案】A
【分析】
该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，由勾股定理可计算出正四棱锥的斜高，即可运用三角形的面积公式求出正四棱锥的侧面积，再求出长方体的侧面积和底面积，再求和即可.
【详解】
由题意，正四棱锥 的斜高为 ，该组合体的表面积为 .
故选：A
题型五台体的表面积与体积
例5 已知圆台的上下底面半径分别为 ，母线长为 ．求：
连接 ， ，过点A作 ，垂足为H，则 的长等于圆台的高，
因为圆台的上下底面半径分别为 ，母线长为 ．
所以 ， ，
则 ，可得 ，
故圆台的高为 ；
（2）圆 的面积
圆 的面积为
故圆台的体积为
正四棱台两底面边长分别为 和 .
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为 ，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【答案】
【分析】
首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.
【详解】
如图，
在四棱台 中，
过 作 ，垂足为 ，
在 中， ， ，
故 ，
所以 ，
故四棱台的侧面积 ，
所以四棱台的表面积 .
11、如图所示，已知直角梯形， ， ， ， ， ， 求：
（1）以 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；
故选：C
如图，在棱长为 的正方体 中，截去三棱锥 ，求
（1）截去的三棱锥 的表面积；
（2）剩余的几何体 的体积.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）三棱锥 中 是边长为 的等边三角形， 、 、 都是直角边为 的等腰直角三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.
（2）正方体的体积减去三棱锥 的体积即得剩余的几何体 的体积.
则 ， ， ，
，
在等腰 中， 边上的高 ，则 ，
所以三棱锥 的表面积 .
（2）因为三棱锥 与三棱锥 的底面积相等 ，
高也相等（点C到平面 的距离）；
所以三棱锥 与三棱锥 的体积相等.
又 ，
所以 .
设 到面 的距离为H，
则 ，解得 .
10、已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.
8.3简单几何体的表面积与体积
1、表面积公式
图形
表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
旋转体
圆柱
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
【详解】
设正方体棱长为 ，则 ，解得 ，
∴内切球半径为 ，表面积为 ．
故答案为： ．
2、若圆柱的高h和底面半径r之比 ，且圆柱的体积 ，则 _________．
【答案】
【分析】
根据 与 列方程求解即可.
【详解】
因为圆柱的高h和底面半径r之比 ，
所以 ，得 ．
故答案为： .
3、已知一圆台的底面圆的周长分别为 和 ，高为4，则圆台的表面积为__________.
则有 ，
即 ，解得 ，
∴长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2，4，6，
∴这个长方体的体积是 ，
故选：A.
题型二棱锥的表面积与体积
例2 如图，已知高为3的棱柱 的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥 的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用棱锥的体积公式计算即可．
【详解】
三棱锥 的体积为：
【答案】A
【分析】
根据圆柱的侧面积公式计算即可.
【详解】
圆柱的母线长为 ，底面半径为 ，
则圆柱的侧面积为 .
故选：A
题型四多面体的表面积与体积
例4 如图所示，在多面体 中，已知四边形 是边长为 的正方形，且 、 均为正三角形， ， ，则该多面体的体积为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积.
【详解】
在 上取点 使 ，连接 ，
是边长为1的正方形，且 、 均为正三角形， ，
所以四边形 为等腰梯形， ， ，
根据等腰梯形性质， ，
是平面 内两条相交直线， 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ， 平面 ，
，
几何体体积为
，
故选：A
某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体 .正四棱锥 的高为 ， ， ，则该组合体的表面积为（）
3、球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝ πR3.
4、球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
题型一棱柱的体积
例1 底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（）
A． B．1C． D．
【答案】A
【分析】
根据棱柱体积公式求得结果.
【详解】
底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是
【详解】
母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，
所以侧面展开图的弧长为： ，
由弧长 底面周长，即 ， ，
所以圆锥的高为 ，
所以圆锥体积 ．
故答案为：4； .
6、如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.
【答案】
【分析】