竖直面内的圆周运动集锦

竖直面内的圆周运动
1、如图1所示，是绳子牵引下的小球在竖直面内作圆周运动，如图2所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均没有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：
（1）临界条件；绳子和轨道对小球没有力的作用
根据牛顿第二定律得
即
这个速度可理解为恰好转过或恰好转不过的速度．
（2）能过最高点的条件：（当时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）
（3）不能过最高点的条件：（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）
2、如图3所示，是杆子约束下的小球在竖直面内作圆周运动，如图4所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：
（1）临界条件：（支承物对物体的支持力等于mg）
（2）当，即，如图5所示支承物对物体既没有拉力也没有支持力．
当，即，如图3所示支承物对物体产生拉力、且拉力随v增大而增大．如图4所示，小球将脱离轨道作平抛运动，因为轨道不能对它产生拉力．
当，即，如图5所示支承物对物体产生支持力，且支持力随v减少而增大，范围是0~mg。

火车转弯
如图1所示，如果火车转弯处内外轨无高度差，火车行驶到此处时，由于火车惯性的缘故，会造成外轨内侧与火车外轮的轮缘相互挤压现象，使火车受到外轨内侧的侧压力作用．迫使火车转弯做圆周运动．但是这个侧压力的反作用力，作用在外轨上会对外轨产生极大的破坏作用，甚至会引起外轨变形，造成翻车事故．
其实火车转弯的向心力并不是侧压力提供的，那么是什么力作为向心力的呢？如图2所示，在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车
的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向
圆心，成为使火车转弯的向心力．
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车
转弯的规定速度为．由图2所示力的三角形得向心力为：
由牛顿第二定律得：
所以：
即火车转弯的规定速度：
讨论（1）当火车行驶速率v等于规定速度时，，内、外轨道对
轮缘都没有侧压力．
（2）当火车行驶速度v 大于规定速度 时， ，外轨道对轮缘有侧
压力．
（3）当火车行驶速度v 小于规定速度 时， ，内轨道对轮缘有侧
压力．
重力场中竖直面内圆周运动的最小速度
只在重力场中竖直面内的圆周运动是典型的非匀速圆周运动，对于物体通过最高点的临界速度，即最小速度问题，是高一学生学习的难点，下面我们将它分为两种情况进行分析。

一、 没有支撑物的物体在竖直面内做圆周运动时，通过最高点的情况。

1．轻质绳：当做圆周运动的物体受绳牵拉时，绳对物体的作用力可以有，可以无，如果有作用力只能是拉力。

在竖直面内运动到最高点时绳有无拉力要依据速度判定。

如图，在最高点：小球重力和绳子拉力的合力提供向心力。

2
T v F mg m
R
+= , 2
T v F m mg R
=-
由上式可知，当v 减小时，F T 随v 的减小而减小；当F T = 0时，小球做圆周运动的向心力只由重力m g 提
供，此时向心力最小，则速度具有最小值min v 。

由2
min
v mg m
R
=可得：
min v 。

当
v ≥
2．外轨道：当物体是沿只有外侧轨道做圆周运动时（如过山车），如果轨道提供作用力，只能是垂直支撑面向内的压力，也可以不提供作用力。

例题：过山车是常见的刺激娱乐项目，可以简
化为下面问题。

竖直平面内的圆形轨道半径为R 。

过山车从倾斜轨道滑下进入圆形轨道，在竖直轨道上做圆周运动，求在圆形轨道最高点车的最小速度。

解析：过山车在竖直圆形轨道做圆周运动时，小车所受的支持力与重力的合力充当向心力，而车经最高点恰好不掉下来，就是车没有离开圆轨道，又对轨道
无压力，则 即过山车的最小速度至少为。

点评：当车速小于，重力大于向心力，车就要在到达最高点之前脱离轨
道而作斜抛运动。

当车速大于
则轨道的支持力与重力的合力充当向心力，轨道给车有向下
的压力，车可以做完整的圆周运动。

上述球绳模型与外轨道模型的受力情况相同，分析方法也是一样的。

二、有支撑物的物体在竖直平面内做圆周运动时，过最高点的情况。

1．轻质杆：当物体与杆的一端固定连接，绕杆的另一端为轴在竖直面内做圆周运动时，杆对物体的作用力可以有拉力，可以有压（推）力，也可以没有，
要视物体在该点的速度大小而定。

即 2
N v m g F m R
±=
2．管道轨道：当物体沿光滑管道做圆周运动时，管道提供的作用力可以是只由内侧提供（指向上），也可
以是只由外侧提供（指向下），也可以内外侧均不提供作用力。

球杆模型与竖直面内光滑管道中的小球的运动也具有相同的受力特点，由于杆（或管壁）对球可以产生向上的支持力作用，当0N mg F -=时，此时向心力最
小，
因此小球能到达最高点的临界速度min 0v =。

所以球要作完整圆周运动，最高点速度0v 〉。

思考：请同学们试着分析球以不同速度过最高点时，轻杆（管道）对球产生的弹力情况？
小结：只在重力场中做竖直面内的圆周运动的物体，分析它的最小速度时，关键是要根据题意，对物体在最高点进行受力分析．．．．，确定向心力，建立向心力方程，并讨论最小向心力，根据最小向心力，推导出最小速度。

竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。

一、两类模型——轻绳类和轻杆类
1．轻绳类。

运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。

由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。

所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高
点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点
的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情
况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。

2．轻杆类。

运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡
状态。

所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支
持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；
（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持
力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。

过最高点的最小向心加速度。

过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。

质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻
杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒
，质点运动到最低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。

二、可化为这两类模型的圆周运动
竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。

四、例子讲解
例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。

一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。

要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。

求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

解：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgh＝2mgR＋mv2①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。

重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋N＝m ②
物块能通过最高点的条件是
N≥0 ③
由②③式得
V≥④
由①④式得
H≥2．5R ⑤
按题的需求，N＝5mg，由②式得
V＜⑥
由①⑥式得h≤5R ⑦
h的取值范围是2．5R≤h≤5R
例2如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（）
A．速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动
B．当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
D．只要v≥，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg
解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由
机械能守恒知得，所以A错，得
，此时即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力。

最低点时的向心力为5mg，向心力相差4倍，B对，C错，最高点，最低点
由机械能守恒有，所以，D对。

例3（06重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。

小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。

A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨
道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。

重力加速度为g。

试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。

解：（1）由mgR＝+得β＝3
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则
设向右为正、向左为负，解得
v1＝，方向向左v2＝，方向向右
设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向下为则N －βmg＝N /＝－N＝－4．5mg，方向竖直向下。

（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1．V2，则
解得：V 1＝－，V 2＝0
（另一组：V 1＝－v 1，V 2＝－v 2，不合题意，舍去）
由此可得：
当n 为奇数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同
当n 为偶数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同。

练习三 竖直平面内的圆周运动
班级_____ 姓名____________学号______
1. 长度均为L 的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为m 的小球, 它们各自在竖直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点时, 杆、绳所受拉力之比为
A. 5 : 6
B. 1 : 1
C. 2 : 3
D. 1 : 2
〔 〕 2. 如图, 竖直放置的光滑轨道由斜轨AB 和圆形轨道BCD 组成,
O 、D 两点在同一竖直线上, O 、C 两点在同一水平线上, A 与D
等高, 从A 点自由释放一小球, 则 A. 小球到达C 、D 间某处后再沿轨道返回 B. 小球到达D 点后自由落下
C. 小球到达D 点后作平抛运动
D. 小球到达C 、D 间某处后, 再作斜抛运动
〔 〕 3. 长为L 的轻绳一端系一质量为m 的物体, 另一端被质量为M 的人用手握住. 人站在水平地面上, 使物体在竖直平面内作圆周运动, 物体经过最高点时速度为v , 则此时人对地面的压力为
A. ( M + m )g － m v 2L
B. ( M + m )g + m v 2
L
C. M g + m v 2L
D. ( M － m )g － m v 2
L
〔 〕
4. 如图所示, 光滑的水平轨道与竖直放置的光滑半圆形轨道顺接, 圆半径为R . 一小球由D 点出发向A 运动, 通过B 点时加速度大小为2 g , 试求: (1) 小球刚通过A 点时对轨道的压力. (2) 小球通过B 点时对轨道的压力. (3) 小球通过B 点后的射程.
5. 如图所示, AB 、CD 为四分之一圆弧轨道, B 、C 切线水平, A 点切线竖直, BC 段水平, AB 弧半径为R , CD 弧半径为2 R . 将一质量为m 的光滑小球由A 点静止释放, 试求小球向右恰好通过B 、C 两点后的瞬间, 对轨道的压力.
6. 在竖直平面内有一半径为R 的光滑轨道, 在轨道的最高点释放一个质量为m 的小球, 小球的初速度可以忽略不计, 小球沿轨道运动一段时间后离开轨道, 试求小球离开轨道的位置.
7. 光滑的水平轨道和半径为R 的竖直圆形轨道顺接, 弧顶到水平面的高度为h , 且R > h , 如图所示, 一个质量为m 的小球以水平速度v 0开始运动, 欲使小球能沿轨道运动到达轨道右侧, 小球的初速度v 0应满足什么条件?
练习三
1. A
2. D
3. A
4. (1) 7 mg (2) mg (3) 2 2 R
5. N B = mg N C = 2 mg
6. h = 13
mg 7. 最小值 v 0 = 2 gh
最大值: 小球在轨道上运动时, 可能出现离轨现象. 离轨可能性大的位置出现在最低点. 即, “下不离, 则上不离”
v 0 = g (R － h ) 2 gh ≤ v 0 ≤ g (R － h )。