2020届高三复习经典教案：直线与圆锥曲线

第八节 圆锥曲线的综合问题
[最新考纲] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0， 由⎩⎨⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0
消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；
Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点．
(2)当a ＝0，b ≠0时，圆锥曲线C 为抛物线或双曲线．
当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个． 当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－
x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1
k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.
[常用结论]
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .( )
(4)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)直线y ＝k (x －1)＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定
A [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．] 3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.]
4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．
3 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0). ]
5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24
－y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最
小值为________．
4 [由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2
＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.]
第1课时 直线与圆锥曲线
1．过抛物线y 2
＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A ．有且只有一条
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有且只有四条
x A ＋p 2＋x B ＋p 2B [设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝
＝x A ＋x B ＋1＝3>2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．]
2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2
m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m >0 C ．0<m <5且m ≠1 D ．m ≥1且m ≠5
D [由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1
m ≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.]
3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－153，－1
D [由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋2，
x 2－y 2＝6
得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
1－k 2≠0，
Δ＝16k 2
－4(1－k 2
)×(－10)＞0，x 1
＋x 2
＝
4k 1－k 2
＞0，
x 1x 2
＝－101－k 2
＞0，
解得－15
3＜k ＜－1，
即k 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎫－
153，－1.] [规律方法]
►考法1 与弦长有关的问题
【例1】 斜率为1的直线l 与椭圆x 24
＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )
A ．2 B.455 C.4105 D.810
5
C [设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩
⎨⎧
x 2＋4y 2
＝4，
y ＝x ＋t ，消
去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2
－1)＝0，
则x 1＋x 2＝－8
5t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝2·⎝⎛⎭
⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，
当t ＝0时，|AB |ma x ＝410
5
.]
►考法2 中点弦问题
【例2】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若
AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.x 245＋y 236＝1
B.x 236＋y 227＝1
C.x 227＋y 218＝1
D.x 218＋y 29
＝1 D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩
⎨⎧
x 21a 2＋y 21
b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，
运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2
a 2，设
直线方程为y ＝b 2
a 2(x －3)，
联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0，
所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2
＝2，又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2
＝18，方程为x 218＋y 29＝1.]
►考法3 与弦长有关的综合问题
【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB |＋|CD |＝48
7
，求直线AB 的方程．
[解] (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2
，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则直线CD 的方程为y ＝－1
k
(x －1)．
将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2
－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x
2
＝4k 2－123＋4k 2
， 所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2
.
同理，|CD |＝12⎝⎛⎭
⎫1
k 2＋13＋4k
2
＝12(k 2＋1)3k 2＋4.
所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2
＋4)＝48
7
， 解得k ＝±1，
设椭圆M ：y a 2＋x b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭
圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 的面积．
[解] (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝2
2，
由2a ＝4，c a ＝2
2，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，
故椭圆M 的方程为y 24＋x 2
2
＝1.
(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋1，
x 22＋y 24＝1，
得4x 2＋22x －3＝0，
且⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2＝－2
2，x 1x 2
＝－3
4
，
所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝3·12＋3＝42
2.
又P 到直线AB 的距离为d ＝1
3
，
所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝12·422·13
＝14
4.
课后限时集训(四十九) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0
A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b
a x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，
则椭圆的离心率是( )
A.12
B.22
C.32
D.55
C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，
由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝⎛⎭
⎫b a 2＝32，故选C.] 3．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )
A ．y ＝2x 2
B ．y 2＝2x
C ．x 2＝2y
D ．y 2＝－2x
B [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2
＝2px ，则⎩⎨⎧
y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，
两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2·(y
1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .]
4．经过椭圆x 22
＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原
点，则OA →·OB →
等于( )
A ．－3
B ．－1
3
C ．－13或－3
D ．±13
B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代
入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，
⎝⎛⎭
⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →
＝－13.]
5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )
A ．6
B ．8
C ．12
D ．16
A [由题意知抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y
－4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16
k 2＋16，所以△AOB
的面积为12×1×16k 2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1
k 2|y 1－y 2|＝6，故选A.]
二、填空题
6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．
55
3 [由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1，
消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝
(1＋22
)×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝⎛⎭⎫532
－4×0＝55
3.]
7．(2019·沧州百校联盟)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)相交于A ，B
两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1 ①， x 22a 2＋y 22
b 2＝1②，
①②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2
y 1＋y 2
.
把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝2
2.]
8．P 为椭圆x 29＋y 28
＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →
的取值
范围是________．
[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →
2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以P A →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]
三、解答题
9. 如图，已知椭圆x 22＋y 2
＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．
[解] 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x
2
2
＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.
因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，
则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k
2k 2＋1
，
所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1
k (x －x 0)．
令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 2
2k 2＋1
＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2
.
因为k ≠0，所以－1
2<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭
⎫－12，0.
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，其中左焦点为F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．
[解]
(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝
22，
c ＝2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎨⎧
a ＝22，
b ＝2.
∴椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4＝1.
(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，
消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，
Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23，
∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝⎛⎭⎫－2m 32
＋⎝⎛⎭
⎫m 32
＝1，∴m ＝±355. B 组 能力提升 1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP ′→
，当点P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .
(1)求曲线E 的方程；
(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →
，求直线l 的方程． [解] (1)如图①，设M (x ，y )，则P (x,2y )在圆C ：x 2＋y 2＝4上．
所以x 2
＋4y 2
＝4，即曲线E 的方程为x 24＋y 2
＝1.
图①
(2)经检验，当直线l ⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线l 的斜率存在(如图②)．设直线l ：y ＝kx
＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2＝1，
y ＝kx ＋2，
得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＞0，
得k 2＞3
4.
图②
x 1＋x 2＝－16k
1＋4k 2，
① x 1x 2＝12
1＋4k 2
.
②
又由AC →＝35AD →
，得x 1＝35
x 2，
将它代入①②得k 2＝1，k ＝±1⎝⎛⎭
⎫满足k 2＞3
4，所以直线l 的斜
率为k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝±x ＋2.
2．(2019·河南濮阳期末)设F 1，F 2分别是椭圆x 24
＋y 2＝1的左、右焦点．设过定点M (0,2)的直线l
与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．
[解] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，x 2
4
＋y 2
＝1消去y ，整理得⎝⎛⎭⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，∴x 1＋x 2＝－4k k 2
＋14，x 1·x 2＝3k 2＋
14
，由Δ＝(4k )2
－4⎝⎛⎭⎫k 2＋14×3＝4k 2－3＞0得，k ＞32或k ＜－3
2.①
又∠AOB 为锐角，∴cos ∠AOB ＞0，∴OA →·OB →＞0，∴OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＞0.
又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2
x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k 2k 2
＋14＋－8k 2
k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14
， ∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2
＋14
＞0，即k 2
＜4，∴－2＜k ＜2.②
由①②得，－2＜k ＜－
32或3
2
＜k ＜2. 故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2.
第八节 圆锥曲线的综合问题
[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0， 由⎩⎨⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0
消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；
Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点．
(2)当a ＝0，b ≠0时，圆锥曲线C 为抛物线或双曲线．
当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个． 当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－
x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1
k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.
[常用结论]
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .( )
(4)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( )
2．(教材改编)直线y ＝k (x －1)＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定
3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．
5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．
第1课时 直线与圆锥曲线
1．过抛物线y 2
＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A ．有且只有一条
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有且只有四条
2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2
m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m >0 C ．0<m <5且m ≠1 D ．m ≥1且m ≠5
3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1
[规律方法]
►考法1 与弦长有关的问题
【例1】 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )
A ．2 B.455 C.4105 D.810
5
►考法2 中点弦问题
【例2】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，
过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若
AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.x 245＋y 236＝1
B.x 236＋y 227＝1
C.x 227＋y 218＝1
D.x 218＋y 29＝1
►考法3 与弦长有关的综合问题
【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB |＋|CD |＝48
7，求直线AB 的方程．
设椭圆M ：y a 2＋x b
2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭
圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 的面积．
课后限时集训(四十九) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A.12
B.22
C.32
D.55
3．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )
A ．y ＝2x 2
B ．y 2＝2x
C ．x 2＝2y
D ．y 2＝－2x
4．经过椭圆x 22＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →
等于( )
A ．－3
B ．－1
3
C ．－13或－3
D ．±13
5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )
A ．6
B ．8
C ．12
D ．16
二、填空题
6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．
7．(2019·沧州百校联盟)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →
的取值范围是________．
三、解答题
9. 如图，已知椭圆x 22＋y 2
＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，其中左焦点为F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．
B 组 能力提升
1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP ′→
，当点P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .
(1)求曲线E 的方程；
(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →
，求直线l 的方程．
2．(2019·河南濮阳期末)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2
＝1的左、右焦点．设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．。