误差理论实验报告

《误差理论与数据处理》实验报告实验名称：线性函数的最小二乘法处理一、实验目的
线性函数的最小二乘法是解决有关组合测量最佳估计问题的典型的数据处理方法。

本实验要求学生编写最小二乘数据处理程序并对组合测量数据进行处理，求出最佳估计值并进行精度分析。

二、实验原理
1.最小二乘法原理指出，最可信赖值应在是残差误差平方和的条件下求得。

2.最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程组的数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。

这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法的正规方程。

3.线性参数的最小二乘法处理程序为：首先根据具体问题列出误差方程式；再按最小二乘原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；然后求解正规方程，得到代求的估计量；最后给出精度估计。

4.正规方程又转化为残差方程，残差方程可用矩阵方法求出方程的解。

因此可用Matlab求解最小二乘法参数。

5.求出最小二乘法的参数后，还要对参数进行精度估计。

相应的标准差为ttxtxxddd222111，其中ttddd..2211称为不定乘数。

三、实验内容和结果
1.程序及流程
在MATLAB环境下建立一个命令M-文件，编写解答以下组合测量问
题数据处理的程序：
现要检定刻线A,B,C,D间的距离x1,x2,x3，采用组合测量方法，直接
测量刻线间的各种组合量，得到数据如下测量数据：
l1=1.051mm; l2=0.985; l3=1.020mm; l4=2.016mm; l5=1.981mm; l6=3.032mm
1.编程求x1,x2和x3的最小二乘估计值；
2.对直接测量数据进行精度估计
3.对x1,x2和x3的最小二乘估计值进行精读估计。

程序：>> A=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;1 1 0;0 1 1;1 1 1]
>> A'*A
>> C=A'*A
>> inv(C)
>> l=[1.015;
0.985;
1.020;
2.016;
1.981;
3.032];
>> X=inv(C)*A'*l
>> V=l-A*X
>> V'*V
>> STD1=sqrt(V'*V/3)
>> inv(C)
>> STDX1=sqrt(0.5)*STD1
2.实验结果（数据或图表）
3.结果分析
四、心得体会
通过本次实验，我掌握等精度测量线性参数最小二乘法的处理，并能够应用Matlab用矩阵的方法求出拟合方程的参数，及能
够对各个参数进行精度估计。

同时能根据等精度线性参数理解
不等精度线性参数及非线性参数情况下的最小二乘法处理。

对
以后的学习有了很大的帮助
《误差理论与数据处理》实验报告
实验名称：一元/多元回归数据分析
一、实验目的
回归分析是对实验数据进行处理的重要方法。

通过本实验使学
生掌握一元线性回归方程的求解和方差分析、显著性检验方法；
掌握一元非线性回归方程的求解和显著性检验的方法；掌握多
元线性回归方程的求解和方差分析、显著性检验方法；掌握回
归数据处理的程序设计方法。

二、实验原理
回归分析是研究随机现象中变量之间相关关系的一种统计方法。

1.一元线性回归
一元线性回归就是研究两个具有线性相关关系的随机变量
之间的依存关系。

即求取它的经验公式。

1.一元线性回归的数学模型：
=b0+b1x i+ℇi (i=1,2,3……n)
y
i
影响总和，一般假其中ℰi(i=1,2,3,……n)表示随机因素对y
i
设他们是一组相互独立，并服从同一正态分布N（0、ℴ2）
的随机变量。

Xi是可以严格控制的变量：yi是服从正态分布N
（b0+b1xi, ℴ2）的随机变量。

b0,b1是待估参数。

2.一元线性回归方程：
y∧=b0+b1x
利用最小二乘法可求得b0，b1：
{b1=
L xy
L xx
=
∑(x
i
−x−)(y
i
−y−)
n
i=1
∑(x
i
−x−)^2
n
i=1
b0=y−b1x=1
n
∑yi−b1
1
n
∑x i
n
i=1
n
i=1
3.方差分析：
2.多元线性回归
1.多元线性回归的数学模型
假设因变量y与另外m个自变量的内在联系是现行的通过实验得到n组观测数据：
（xi1,xi2……,xim;yi） (i=1,2,……,n)
那么这批数据有如下的结构形式：
{y
1
=b0+b1x11+b2x12+⋯+b m x1m+ℰ1
y
1
=b0+b1x21+b2x22+⋯+b m x2m+ℰ2
y
1
=b0+b1x n1+b2x n2+⋯+b m x nm+ℰn 其中ℇi(i=1,2,3,……,n)是一组相互独立，并服从同一正态分布N（0, ℴ2）的随机变量。

x i（i=1,2,3,……,n）是可以严格控制的变量；bi（i=0,1,2,……,m）是待估参数。

2.多元线性回归方程:Ŷ=Xb（矩阵形式）
其中Y
̂={y1̂y2̂y3
̂
X=( １⋯ｘ
１２
．．．ｘ
１ｍ
⋮⋱⋮
１⋯ｘｎ２．．．ｘ
ｎｍ) ｎ（ｍ＋１）
； ｂ＝ｂ０ｂ１ｂｍ
利用最小二乘法可求得： ｂ＝（ＸＴ
Ｘ）
−１ＸＴ
Ｙ
３． 方差分析
２． 实验内容和结果
1、
程序及流程
用ＭＡＴＬＡＢ编写程序解答下面各题
１．材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。

某种材料实验数据
如下表：
１．编写程序，要求求出ｙ对ｘ一元钱线性回归方程和ｘ对ｙ
的一元线性回归方程并在同一张图上绘出测量数据的散点以及所拟合的两条直线图。

x=[26.8;25.4;28.9;23.6;27.7;23.9;24.7;28.1;26.9;27.4;22.6;25.6];
y=[26.5;27.3;24.2;27.1;23.6;25.9;26.3;22.5;21.7;21.4;25.8;24.9];
fun=@(a,x)a(1)+a(2).*x;
a=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y);
b=a(2)
a=a(1)
xi=26.8:0.001:25.6;
yi=a+b.*xi;
subplot(2,1,1)
plot(x,y,'o',xi,yi)
subplot(2,1,2)
plot(y,x,'o',yi,xi)
２．对ｙ对ｘ的回归方程进行方差分析和显著性检验并列出方差分析表。

程序：
２．ｘ和ｙ的一组实验数据如下表：
１．用直线检验法验证上述数据可以用曲线ｙ＝ａｘｂ表示；
y1=0.03126;
y2=0.02291;
y3=0.01950;
y4=0.01862;
y5=0.01513;
Z11=log(y1);
Z12=log(y2);
Z13=log(y3);
Z14=log(y4);
Z15=log(y5);
Z1pz=(Z11+Z12+Z13+Z14+Z15)/5;
x1=1.585;
x2=2.512;
x3=3.979;
x4=6.310;
x5=9.988;
x6=15.85;
Z21=log(x1);
Z22=log(x2);
Z23=log(x3);
Z24=log(x4);
Z25=log(x5);
Z2pz=(Z21+Z22+Z23+Z24+Z25)/5;
A1=(Z11)*(Z21);
A2=(Z12)*(Z22);
A3=(Z13)*(Z23);
A4=(Z14)*(Z24);
A5=(Z15)*(Z25);
Apz=5*(Z1pz)*(Z2pz);
B1=(Z11)*(Z11);
B2=(Z12)*(Z12);
B3=(Z13)*(Z13);
B4=(Z14)*(Z14);
B5=(Z15)*(Z15);
Bpz=5*(Z1pz)*(Z1pz);
b=((A1+A2+A3+A4+A5)-Apz)/((B1+B2+B3+B4+B5)-Bpz)
a=10^((Z1pz)/b-Z2pz)
y=(y1 y2 y3 y4 y5);
x=(x1 x2 x3 x4 x5);
y=a*x^b;
２．化曲线回归为直线回归，编程求相应的曲线方程ｙ＝ａｘｂ
３．在同一幅图上，划出原始测量数据的散点和所拟合的曲线。

数据如下表
１．编程求相应的多元线性回归方程：
２．对回归方程进行显著性检验并分析ｘ１，ｘ２对ｙ的影响。

x=[1.32,2.69,3.56,4.41,5.35,6.20,7.12,8.87,9.80,10.65]
y=[1.15,3,40,4.10,8.75,14.82,15.15,15.32,18.18,35.19,40.40]
z=[6.40,15.05,18.75,30.25,44.85,48.94,51.55,61.50,100.44,111.42]
Z=z';
X=[x;y]';
%c=ax+by+z z=c-ax-by
B=regress(Z,[ones(length(x),1) X])
c=B(1),a=-B(2),b=-B(3)
2、实验结果（数据或图表）
3、结果分析
四、心得体会
通过这次实验，对回归问题的有关知识有了进一步的了解。

也学会了用MATLAB软件来处理回归问题的方法，掌握了逐步回归命令与残差法，在此之前我们对于多变量的回归恐怕还是无济于事，对于单变量的回归也仅仅停留在计算器与Excel表格的处理方法，这次运用MATLAB软件，让我们更加准确更加高效的解决了这类为题，这对我们来说是很大的收获。

通过实验，我体会到了用回归分析的方法确实可以从庞杂的数据中发现规律、建立描述问题的定量模型。