2016-2017年广东省揭阳市普宁市勤建学校高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年广东省揭阳市普宁市勤建学校高二（下）第一次
月考数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分．）
1．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2B．﹣8C．2或﹣8D．8或2
2．（5分）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）
C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）
3．（5分）直线x+2y﹣5＝0与2x+4y+a＝0之间的距离为，则a等于（）A．0B．﹣20C．0或﹣20D．0或﹣10
4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝4x+2y的最大值为（）
A．12B．10C．8D．2
5．（5分）设A为圆（x﹣1）2+y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程（）
A．（x﹣1）2+y2＝4B．（x﹣1）2+y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝﹣2x
6．（5分）直线y＝kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
7．（5分）已知（1，1）是直线l被椭圆+＝1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）A．B．C．D．
8．（5分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1＝0与线段AB相交，则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
9．（5分）过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15＝0相切，则k的取值范围是（）
A．k＞2B．﹣3＜k＜2C．k＜﹣3或k＞2D．以上皆不对10．（5分）已知P是椭圆+＝1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）
A．B．C．D．0
11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）12．（5分）如图所示，已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的
焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得＝，＝，D是
椭圆C上一点，延长MD到N，若＝+，则|PN|+|QN|＝（）
A．10B．5C．6D．3
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13．（5分）∃x0∈R，x02+2x0﹣3＝0的否定形式为．
14．（5分）下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝﹣0.7x+a，求a的值．
15．（5分）如图是函数y＝f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：
①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；
②x＝﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；
④x＝1是f（x）的极大值点．
其中，判断正确的是．（写出所有正确的编号）
16．（5分）已知函数f（x）＝x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2＝0垂直，则b＝．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1＝2，S3＝12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝a n+4n，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2＝3ac （1）求角B；
（2）当b＝6，sin C＝2sin A时，求△ABC的面积．
19．（12分）设命题p：函数y＝kx+1在R上是增函数．命题q：∃x∈R，x2+2kx+1＝0．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．
20．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人，结果如下：
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：
．
21．（12分）已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3
（1）求函数的解析式
（2）写出它的单调区间
（3）求此函数在[﹣2，2]上的最大值和最小值．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN 的面积．
2016-2017学年广东省揭阳市普宁市勤建学校高二（下）
第一次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分．）
1．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2B．﹣8C．2或﹣8D．8或2
【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以＝，所以（x+3）2＝25．解得x＝2或﹣8．
故选：C．
2．（5分）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）
C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）
【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，
则其焦点在y轴上，且a2＝10，b2＝1，
则c2＝a2﹣b2＝9，即c＝3，
故其焦点的坐标为（0，3），（0，﹣3）；
故选：B．
3．（5分）直线x+2y﹣5＝0与2x+4y+a＝0之间的距离为，则a等于（）A．0B．﹣20C．0或﹣20D．0或﹣10
【解答】解：直线x+2y﹣5＝0，可化为2x+4y﹣10＝0，
∵直线x+2y﹣5＝0与2x+4y+a＝0之间的距离为，
∴＝，
∴a＝0或﹣20．
故选：C．
4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝4x+2y的最大值为（）
A．12B．10C．8D．2
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝4x+2y得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点C时，直线y＝﹣2x+的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即C（2，1），
代入目标函数z＝4x+2y得z＝4×2+2×1＝10．
即目标函数z＝4x+2y的最大值为10．
故选：B．
5．（5分）设A为圆（x﹣1）2+y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程（）
A．（x﹣1）2+y2＝4B．（x﹣1）2+y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝﹣2x
【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，
所以P在以（1，0）为圆心，
以为半径的圆上，
其轨迹方程为（x﹣1）2+y2＝2．
故选：B．
6．（5分）直线y＝kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【解答】解：直线y＝kx+1﹣2k＝k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），∵，∴点P （2，1）在椭圆内部，∴直线y＝kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为
相交．
故选：A．
7．（5分）已知（1，1）是直线l被椭圆+＝1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）A．B．C．D．
【解答】解：设直线l被椭圆+＝1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2）
线段AB中点为（1，1），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2
，⇒+＝0，
⇒，l的斜率是．
故选：C．
8．（5分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1＝0与线段AB相交，则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由kx+y﹣k﹣1＝0，得y＝﹣k（x﹣1）+1，
∴直线过定点C（1，1），
又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），
讨论临界点：
当直线l经过B点（﹣3，﹣2）时，
k BC＝﹣k＝＝，
结合图形知﹣k∈[，+∞）成立，∴k∈（﹣∞，﹣]；
当直线l经过A点（2，﹣3）时，
k AC＝﹣k＝＝﹣4，
结合图形知﹣k∈（﹣∞，﹣4]，∴k∈[4，+∞）．
综上k∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）．
故选：C．
9．（5分）过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15＝0相切，则k的取值范围是（）
A．k＞2B．﹣3＜k＜2C．k＜﹣3或k＞2D．以上皆不对
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2＝16﹣k2，
所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，
又点（1，2）应在已知圆的外部，
把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，
解得：k＞2或k＜﹣3，
则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．
故选：D．
10．（5分）已知P是椭圆+＝1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）
A．B．C．D．0
【解答】解：椭圆+＝1的a＝2，b＝，c＝1．
根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2，
不妨设P是椭圆+＝1上的第一象限内的一点，
S△PF1F2＝（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•＝＝|F1F2|•y P＝y P．
所以y p＝．
则
＝（﹣1﹣x p，﹣y P）•（1﹣x P，﹣y P）
＝x p2﹣1+y p2
＝4（1﹣）﹣1+y p2
＝3﹣
＝
故选：B．
11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝1，
整理得：m+n+1＝mn≤，
设m+n＝x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，
解得：x≥2+2或x≤2﹣2，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．
故选：D．
12．（5分）如图所示，已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的
焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得＝，＝，D是
椭圆C上一点，延长MD到N，若＝+，则|PN|+|QN|＝（）
A．10B．5C．6D．3
【解答】解：∵，即，
∴，∴，
又，，∴，，
∴，
∴DF2∥NQ，DF1∥NP，
∴，，∴，
根据椭圆的定义，得|DF1|+|DF2|＝2a＝4，
∴，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13．（5分）∃x0∈R，x02+2x0﹣3＝0的否定形式为∀x∈R，x2+2x﹣3≠0．
【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定：
∀x∈R，x2+2x﹣3≠0，
故答案为：∀x∈R，x2+2x﹣3≠0．
14．（5分）下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝﹣0.7x+a，求a的值．
【解答】解：＝（1+2+3+4）＝2.5，＝（4.5+4+3+2.5）＝3.5，
将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是＝﹣0.7x+a，可得3.5＝﹣1.75+a，
故a＝5.25．
15．（5分）如图是函数y＝f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：
①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；
②x＝﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；
④x＝1是f（x）的极大值点．
其中，判断正确的是②③．（写出所有正确的编号）
【解答】解：①x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[﹣2，﹣1）上是减函数；
∴该判断错误；
②x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；x∈（﹣1，1]时，f′（x）＞0；
∴x＝﹣1是f（x）的极小值点；
∴该判断正确；
③x∈[﹣1，2]时，f′（x）≥0；x∈[2，4]时，f′（x）≤0；
∴f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；
∴该判断正确；
④f′（1）＞0，所以x＝1不是f（x）的极大值点；
∴该判断错误；
∴判断正确的是：②③．
故答案为：②③．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2＝0垂直，则b＝1．
【解答】解：函数f（x）＝x2+bx可得f′（x）＝2x+b，
函数的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2＝0垂直，
可得：2+b＝3，解得b＝1．
故答案为：1．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1＝2，S3＝12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝a n+4n，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1＝2，S3＝12，
∴，
解得d＝2，
∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．
（2）∵b n＝a n+4n＝2n+4n，
∴T n＝2（1+2+3+…+n）+（4+42+43+…+4n）
＝2×+
＝．
18．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2＝3ac （1）求角B；
（2）当b＝6，sin C＝2sin A时，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵（a+c）2﹣b2＝3ac，∴b2＝a2﹣ac+c2，
∴ac＝a2+c2﹣b2，∴
∵B∈（0，π），∴；
（2）∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理可得c＝2a，
代入b2＝a2﹣ac+c2可得36＝a2+4a2﹣2a2，
解得，，满足a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积S＝×2×6＝6．
19．（12分）设命题p：函数y＝kx+1在R上是增函数．命题q：∃x∈R，x2+2kx+1＝0．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．
【解答】解：命题p真：∵y＝kx+1在R递增，∴k＞0
命题q真：由∃x∈R，x2+2kx+1＝0，得方程x2+2kx+1＝0有根，
∴△＝（2k）2﹣4≥0，解得k≥1或k≤﹣1．
∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，
∴命题p，q一真一假，
①若p真q假，则k＞0且⇒﹣1＜k＜1⇒0＜k＜1．
②若p假q真，则k＜0且k≥1或k≤﹣1．⇒﹣k≤﹣1．
综上k的范围是（0，1）∪（﹣∞，﹣1]．
20．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人，结果如下：
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：
．
【解答】解：（1）需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为＝14%；
（2）由代入得，
k＝≈9.967＞6.635；
查表得P（K2≥6.635）＝0.01；
故有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
21．（12分）已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3
（1）求函数的解析式
（2）写出它的单调区间
（3）求此函数在[﹣2，2]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）y′＝3ax2+2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a+2b＝0，y|x＝1＝a+b＝3，
即，解得a＝﹣6，b＝9，
所以函数解析式为：y＝﹣6x3+9x2．
（2）由（1）知y＝﹣6x3+9x2，
y′＝﹣18x2+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，
所以函数的单调递增区间为（0，1），函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（1，+∞）．（3）由（2）知：当x＝0时函数取得极小值为0，当x＝1时函数取得极大值3，
又y|x＝﹣2＝84，y|x＝2＝﹣12．
故函数在[﹣2，2]上的最大值为84，最小值为﹣12．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN 的面积．
【解答】解：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2＝2px（p＞0），可得（﹣2）2＝2p×1，解得p＝2．
∴抛物线C的方程为：y2＝4x．
（2）F（1，0）．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
直线l的方程为：y＝x﹣1．
联立，
化为x2﹣6x+1＝0，
∴x1+x2＝6，x1x2＝1．
∴|MN|＝＝＝8．
原点O到直线MN的距离d＝．
∴△OMN的面积S＝＝＝2．。