高一物理力矩平衡条件的应用知识精讲

高一物理力矩平衡条件的应用

【本讲主要内容】

力矩平衡条件的应用

进一步熟悉转动轴的概念，进一步理解力矩的平衡条件，能初步掌握解决力矩平衡问题的基本思路和方法。学会根据具体情况选择合适的转动轴，能正确应用力矩平衡条件解决有关转动平衡的问题。

【知识掌握】

【知识点精析】

一、应用有固定转动轴物体的平衡条件解题的一般步骤：

（1）明确研究对象，对研究对象进行受力分析，按力的真实作用点做出受力示意图。

（2）选择合适的固定转动轴，找出各力对转轴的力臂，求出力矩或力矩表达式，定义力矩的正负。

（3）根据力矩平衡条件列方程（组），求解。

二、应用力矩平衡条件解题要注意的几个问题：

（1）对有固定转动轴的物体进行受力分析时，作受力示意图时必须按照力的实际作用点作图，不能将物体看成质点。

（2）选固定转动轴不一定是真实存在的转动轴，在选取转动轴的时候，应注意使转动轴的力矩数量越少越好，但不能使待求量对转轴的力矩为零。

（3）有些问题可能仅选取一次转动轴不能得到解决，这种情况应视问题的特点再选一次转动轴列力矩平衡方程组求解。

【解题方法指导】

课本上的习题比较简单，希望同学们自学并好好地掌握，本节课我们讨论两个实用的问题。

例1. 一个重要特例：

请分析杆秤上的刻度为什么是均匀的？

解析：杆秤的基本原理是利用力矩平衡条件来称量物体的质量的，其构造如图1所示，主要由秤杆、秤钩、提纽和秤砣构成。

图1

设秤砣的质量为m 0，秤杆和秤钩的质量大小为M 0，重心在图2中的C 点，当秤钩上不挂任何重物，提起提纽时，秤砣置于A 点，杆秤保持水平平衡，由力矩平衡条件可得： m g OA M g OC 00×× （1）

图2 所以OA ＝0

0m M OC 对一确定的杆秤来说，秤杆的质量和重心的位置都是确定的，秤砣的质量也是确定的，所以A 的位置也是确定的，由于O 是秤钩上不挂任何重物时秤砣所在的位置，所以A 点是杆秤的零刻度位置，叫做定盘星。

当用杆秤来称量重物P 的质量时，秤砣必须置于秤杆上的某一位置D ，才能使杆秤保持水平平衡，如图3所示，由力矩平衡条件可得：

图3 Mg·OB ＝M 0g·OC ＋m 0g·OD （2）

由（1）、（2）两式可得

m AD M OB 0××= 即：M m OB AD 0

= 由上式可以看出：当杆秤称量重物时，秤砣到定盘星A 点的距离与重物的质量成正比，尽管秤杆的形状粗细不一，杆秤的重心不在杆秤中点，但杆秤的刻度是均匀的。

例2. 如图所示，重G 的均匀木杆可绕O 轴在竖直平面内转动，现将杆的A 端放在光滑地面上的木块上面，杆与竖直方向的夹角为30°，用水平力F ＝G/20匀速拉动木块，求杆和木块间的动摩擦因数。

解析：要求木块与杆间的动摩擦因数，涉及到木块与杆间的摩擦力，需将木块与杆分隔开，分别进行研究，以杆为分析对象，除O 点外，杆的受力情况如图所示，设杆长为L ，由M 合＝0，得：

G·Lsin30°/2－N·Lsin30°－f·Lcos30°＝0

因f＝μN，上式简化为

G/4－N/2－3μ/2＝0 ①

再以木块为分析对象，杆的A端对木块的摩擦力水平向右，由F合＝0，

F－μN＝0 ②

依题意F＝G/20 ③

解①、②、③得μ＝0.12

小结：以上是两类平衡问题的综合，常用隔离法恰当选择隔离体后分别按单一体的解法求解，与单一体解法不同的是：要留心相关物理量的分析，如上例中，木块对杆的摩擦力与杆对木块的摩擦力的关联性，是一对作用力与反作用力。

【考点突破】

【考点指要】

在现行高中阶段，有固定转动轴物体的平衡是以往的高中物理教材曾经删去的内容，目的是降低学生学习的难度，尤其对转动轴比较复杂的力矩平衡问题和综合应用，共点力平衡与力矩平衡条件来分析难度较大。但这次新教材又增加了这一内容，同学们在学习和练习过程中，应根据教师的引导，不要去做那些受力和转动情况较为复杂的题目。这类问题的类别及大纲难易程度具体要求如下：

（1）一次选取转动轴的情况下，多个力矩作用下的转动平衡问题，要求我们较好地掌握。

（2）较为简单的两次选取转动轴的力矩平衡问题。这类问题也要求同学们较好地掌握，如课本练习的第（3）题。

（3）研究对象是两个或两个以上物体的转动平衡问题。这类问题有一定的难度，不要求同学们掌握，可根据自己的学习情况来选择练习。

（4）需要综合应用两个平衡（共点力平衡和力矩的平衡）条件解决的问题。一般不要求同学们掌握，高三复习时根据教师的指导和要求去做适当的练习。

【典型例题分析】

例1.如下图是半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳。开始时圆盘静止，质点处在水平轴O的正下方位置。现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，若恒力F＝mg，两圆盘转过的角度θ＝时，质点m的速度最大。（2006上海高考）

解析：这是一个典型的转动问题，题目中问何时圆盘转动的角速度最大，我们应首先研究圆盘的转动规律，力矩是盘转动的原因，当盘受到的力矩不平衡时，盘转动的角速度将会改变，本题中开始时Ｆ的力矩大于m 的力矩，所以盘将沿逆时针方向加速转动，m 的力矩逐渐增大，当Ｆ的力矩与小球m 的力矩平衡时转速达到最大，之后m 的力矩将继续增大，大于Ｆ的力矩，圆盘转动的速度将减小，即：mg2r sin θ＝ Ｆr ，可得θ＝30°。

例2. （04年上海）有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。结构如下图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置），秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡，当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒待测物体的质量。已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm ，套筒可移出的最大距离为15cm ，秤纽到挂钩的距离为2cm ，两个套筒的质量均为0.1kg 。取

重力加速度g ＝10m/s 2。

（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩；

（2）当在秤钩上挂一物体时，将内套筒向右移动5cm ，外套筒相对内套筒向右移动8cm ， 杆秤达到平衡，物体的质量多大？

（3）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1千克处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量多大？

解答：（1）套筒不拉出时杆秤恰好平衡，此时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相等，设套筒长度为L ，合力矩

)2/(2d L mg M -= ①

)(12.0)02.008.0(101.02m N ⋅=-⨯⨯⨯= ②

（2）力矩平衡 )(2111x x mg mgx

gd m ++= ③ m d x x m 2112+=∴ ④

)(9.01.002.008.005.02kg =⨯+⨯=

⑤ （3）正常称衡1kg 重物时，内外两个套筒可一起向外拉出x '

力矩平衡 x mg gd m '='22

⑥ )(1.002.01

.02122m d m m x =⨯⨯='='∴ ⑦