《多边形的内角和》教案、导学案、同步练习

《11.3.2 多边形的内角和》教学设计
角和为360度
A
D
B C
【分成2个三角形180°×2=360°】
【分割成4个三角形180°×4-360°=360°】
【分割成3个三角形180°×3-180°=360°】小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和
2.你知道五边形的内角和是多少度吗？
A E
B
D
C
A E
O
《11.3.2 多边形的内角和》教案
图1 图2
分法二 〔投影4〕如图2，在边AB 上取一点O ，连OE 、OD 、OC ，则可以（5－1）个三角形。

∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
如果把五边形换成n 边形，用同样的方法可以得到n 边形内角和＝（n 一2）×180°． 三、例题
〔投影6〕例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 如图，已知四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝180°，求∠B 与∠D 的关系．
分析：∠A 、∠B 、∠C 、∠D 有什么关系？ 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360° 又∠A ＋∠C ＝180°
∴∠B ＋∠D= 360°－（∠A ＋∠C ）=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
〔投影7〕例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF 的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边
12
34
5
A
B
C
D
E
O 12
34
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
第十一章三角形
11.3 多边形及其内角和
《11.3.2 多边形的内角和》导学案
学习目标：1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.
2.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.
重点：多边形的内角和与外角和公式.
难点：多边形的内角和公式的推导.
一、知识链接
1.三角形的内角和是多少？
2.正方形，长方形的内角和是多少？
一、要点探究
探究点1：多边形的内角和
问题：（1）从四边形的一个顶点出发可以引_____条对角线,它们将四边形分成____个三角形,那么四边形的内角和等于_______度.你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？
已知：四边形ABCD.
求证：四边形ABCD的内角和为180°.
证法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
证法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形，
证法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
方法总结:这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
（2）从五边形的一个顶点出发可以引______条对角线,它们将五边形分成
_______个三角形,那么五边形的内角和等于多少度？
（3）从n边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？那么n边形的内角和等于多少度？
多边形的
图形分割出的三角形个数多边形的内角和
边数
4
5
6
……………………
n
要点归纳：n边形的内角和等于____________________.
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
要点归纳：如果四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也____________. 【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
方法总结:由四边形的一组对角互补，知另外一组对角也互补，再结合角平分线、平行线的性质，运用整体思想即可求解.
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
1. 若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是________.
2.五边形的内角和为 ,十边形的内角和为 .
3.下列度数中,不可能是某个多边形的内角和的是( )
A.180
B.270
C.2700
D.720°
探究点2：多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
解：五边形外角和=5个平角－五边形内角和
问题4：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？
要点归纳：n边形的外角和等于360°.与边数无关.
问题5：回想正多边形的性质，正多边形的每个内角是_______度,每个外角是
______.
例3 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数. 例4如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数.
1.若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.
2.已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.
1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10
米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到
出发地点A时，走的路程一共是_____米．
4.一个多边形的内角和不可能是（）
A.1800°
B.540 °
C.720 °
D.810 °
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）
A.360°
B.540 °
C.720 °
D.900 °
6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
拓展提升
7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
《11.3.2 多边形的内角和》导学案
学习目标
1、掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题
2、能推导出多边形内角和计算公式
学习重点：多边形的内角和以及外角和
学习难点：用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和
学习过程
一、学前准备
1.你三角形的内角和是多少度吗？
三角形的内角和等于
2.长方形的内角和等于，正方形的内角和等于
二、合作探究
1. 探索四边形的内角和
你有什么办法？
能否利用对角线将四边形分割成三角形的方法探索？（下面是备用图）
结论：四边形的内角和等于
2. 探索五边形的内角和 你有什么办法？
能否利用对角线将五边形分割成三角形的方法探索？（下面是备用图）
结论：五边形的内角和等于
3、探索多边形内角和
你能用刚才类似的方法计算出ｎ边形的内角和吗？
结论：多边形内角和等于 三、新知应用
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
A
B
C
D
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
结论：多边形的外角和等于 ．
四、巩固练习 1.教材24页练习1
2.教材24页练习2
3.教材24页练习3
五、课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.你还有什么疑问？
六、当堂清
1.七边形的内角和是（ ）
A.360°
B.720°
C.900°
D.1 260° 2. 内角和与外角和相等的多边形一定是（ ） A.八边形 B.六边形 C.五边形 D.四边形
1
2
3
4
A B
C
D
E
F
5
6
3. 正十二边形的每一个外角等于_________.
4.如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数
n=____________.
5.一个多边形的每一个外角等于36°，则该多边形的内角和等于__________.
6.在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3，则∠B=_________，∠C=_________，∠D=__________.
7.一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n°，求n的值.
8.如图所示，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，CF平分∠BCD.若AE∥CF，由公式判定AE是否平分∠BAD.说明理由.
参考答案：1.C 2.D 3. 30° 4,. 6 5. 1 440° 6. 45° 90° 135°
7.根据题意有：3×90+2n=(5-2)×180,得n=135.
8.AE平分∠BAD，理由如下：
因为AE∥CF，所以∠DEA=∠DCF，∠CFB=∠EAB，
又∠DCF=∠BCF，∠BCF+∠BFC=90°，∠DEA+∠DAE=90°，
所以∠DAE=∠BFC=∠EAB.
所以AE平分∠BAD.
《11.3.2 多边形的内角和》导学案
▲导学卡
一、学习目标：
1、了解多边形的外角及外角和；探索多边形的外角和公式，并会利用多边形的内角和与外角和进行有关计算．
2、学习重点：多边形的外角和定理及其应用；
学习难点：多边形的外角和定理的推导．
二、学习任务：
(一)新课导入：
1、三角形中与所组成的角叫三角形的外角．三角形中与一个内角相邻的有个外角，它们．三角形的外角和是°．
2、如图，一只甲虫从点A 出发，沿A－B－C－D－E－A－B
的线段爬行，最后爬到点B，这只甲虫在爬行中转过的角的
度数总和是多少？这个度数总和与五边形ABCDE的关系如何？相信通过今天的学习你就能就解决．
（二）感悟新知：
1、与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是
对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到
的和称为多边形的外角和．
如图右图所示，＋＋＋就是四边形ABCD的外角和．
2、根据n边形的每一个内角与它的相邻的外角都，可以求得n边形的外角和．为了求得n边形的外角和，请将数据填入下表．
因此，任意多边形的外角和都为________．
（三）合作交流：
3、交流上面的1、2两题．
4、请你试着解决新课导入的第2个问题．
▲训练卡：
大显身手：
1、根据右图填空：
（1）∠1＝∠C＋___________，
∠2＝∠B＋______________；
（2）∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________＋∠1＋∠
2＝_________．
想一想，这个结论对任意的五角星是否都成立．
2、一个多边形的外角和是内角和的2
7
，求这个多边形的边数．
3、求下列多边形的内角和的度数：
（1）五边形；（2）八边形；（3）十二边形.
4、已知多边形的内角和的度数分别如下，求相应的多边形的边数：
（1）900°；（2）1980°；（3）2700°.
百尺竿头：
5、已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个
内角的度数.
6、正八边形的每一个外角是多少度？
7、如果一个正多边形的每个外角是24°，那么这个多边形有多少条边？
《11.3.2 多边形的内角和》同步练习
一、选择题
1．七边形内角和的度数是（）
A．1 080°B．1 260°C．1 620°D．900°
2．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ） A ． 四边形 B ． 五边形 C ． 六边形 D ． 八边形
3．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
4．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ） A ． 120°
B ． 180°
C ． 240°
D ． 300°
5．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ） A ． 5
B ． 5或6
C ． 5或7
D ． 5或6或7
6．已知正n 边形的一个内角为135°，则边数n 的值是（ ） A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 10
7．如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l∥BE，则∠1的度数为（ ） A ． 30°
B ． 36°
C ． 38°
D ． 45°
8．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ） A ． 3 B ． 4
C ． 5
D ． 6
二、填空题
9.从n 边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n 边形分为____个三角形， n 边形的内角和是 ,外角和是。

10
．多边形的边数每增加1，它的内角和就增加 _________，外角和 ________。

第4题
第7题
第17题
11.一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角_________ ． 12．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 _________ ．
13．正十二边形每个内角的度数为 _________ ．
14．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 _________ ．
15．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是 _________ ．
16．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 _________ ．
17．如图，在四边形ABCD 中，∠A=45°．直线l 与边AB ，AD 分别相交于点M ，N ，则∠1+∠2= _________ ．
18、已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边形是_____•边形．
三、解答题
19．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数.
20. 已知如图，四边形ABCD 中，B ∠和C ∠的平分线交于点O ．
求证：1()2BOC A D ∠=∠+∠．
21．•一个多边形截去一个角（不过顶点）后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数。

22．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求边数和内角和． A B C
D
O
23．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数。

11.3.2多边形的内角和
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．A
二、填空题
9．n-3,n-2,(n-2)1800,3600 10．1800，不变 11．互补 12．5 13．1500 14．6 15．9 16．6 17．2250 18．10
三、解答题
19．解：设多边形的边数为n ，根据题意得
（n-2）•180°=360°，
解得n=4．
20．解： ∵OB 和OC 分别为∠ABC 、∠BCD 的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=2
1（∠ABC+∠BCD ）， ∵四边形ABCD 中，∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ），
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-21（∠ABC+∠BCD ）=180°-2
1[∠360°-（∠A+∠D ）]= 2
1（∠A+∠D ） 21．解：设内角和是2520°的多边形的边数是n ．
根据题意得：（n-2）•180=2520，
解得：n=16．
则原来的多边形的边数是16-1=15．
22．解：设边数为n ，一个外角为α，
则（n-2）•180+α=600，
∴n=600−α 180 +2．
∵0°＜α＜180°，n 为正整数，
∴600−α 180 为正整数，
∴α=60°，
∴n=5，此时内角和为（n-2）•180°=540
23．解：设这个内角度数为x°，边数为n ，
则（n-2）×180-x=2570，
180•n=2930+x，
∵n 为正整数，
∴n=17，
∴这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°．
《11.3.2 多边形的内角和》同步练习
1.n 边形的内角和=________度，外角和=_______度。

2.从n 边形(n>3)的一个顶点出发，可以画_______条对角线，这些对角线把n 边形分成______三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和_______。

3.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是____边形。

4.如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍，那么这个多边形是____边形。

5.若n 边形的每个内角都是150°，则n=____。

6.一个多边形的每个外角都是36°，这个多边形是______边形。

7.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是_____度，其内角和等于______度。

8.若一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数是_______。

9.若一个多边形的边数增加１，则它的内角和 （ ）
Ａ.不变 Ｂ.增加１ Ｃ.增加180° Ｄ.增加360°
10.当一个多边形的边数增加时，其外角和 （ ）
Ａ.增加 Ｂ.减少 Ｃ.不变 Ｄ.不能确定 ...
11.某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ）
A.180°
B.540°
C.1900°
D.1080°
12.分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：
（１）试写出用n 边形的边数n 表示对角线总条数Ｓ的式子：__________。

（２）从十五边形的一个顶点可以引出________条对角线，十五边形共有______条对角线：
（３）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数。

13.n 边形的内角和等于______度。

任意多边形的外角和等于______度。

14.
一个多边形的外角和是它的内角和的，这个多边形是______边形。

15.如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于______度，每个外角都等于______度。

16.若多边形的内角和是1080°，则这个多边形是______边形。

17.如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）
Ａ.6 Ｂ.9 Ｃ.14 Ｄ.20
18.如果一个多边形的内角和是它的外角和的n 倍，则这个多边形的边数是（ ）
.41
Ａ.n Ｂ.2n-2 Ｃ.2n Ｄ.2n+2
19.一个多边形截去一个角（不过顶点）后，形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（ ）
Ａ.13 Ｂ.14 Ｃ.15 Ｄ.13或15
20.若两个多边形的边数之比为1：2，两个多边形的内角和之和为1440°，求这两个多边形的边数。

21.判断:外角和等于内角和的多边形一定是四边形。

（ ）
22.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是 （ ） Ａ.四边形 Ｂ.六边形 Ｃ.八边形 Ｄ.十边形
23.一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（ ）
Ａ.60° Ｂ.80° Ｃ.100° Ｄ.120°
24.如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是______边形；如果一个ｎ边形每一个内角都是135°，则＝ｎ______；
如果一个ｎ边形每一个外角都是36°，则＝ｎ______。

25.某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的
边数分别为ｘ、ｙ、ｚ，求
的值。

答案
1.
2.n-3,n-2，相等
3.四
4.十二
5.十二
6.十
7.120，720 8.12
z y x 111++360,180)2(⋅-n
9.C
10.C
11.C
12.（１）
（２）12，90
（３）边数为５
13.
14.十
15.１４４,３６
16.八
17.B
18.D
19.C
20.4与8
21.√
22.D
23.A
24.十二，8，10。

25.设正ｘ边形.正ｙ边形.正ｚ边形的内角分别为..。

又， 可得。

11.3 多边形的内角和(2)
一、填空题
2)
3(-=n n S 360,180)2(⋅-n αβγ0360=++γβα︒•-=︒•-=︒•-=
180)2(1,180)2(1,180)2(1z z
y y x x γβα21111=
++z y x
1.五边形的内角和等于________度；(3n-2)边形的内角和是________.
2.一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________.
3.已知一个五边形的4个内角都是100°，则第5个内角的度数是________.
4.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是___________.
5.四边形的四个内角度数之比为4∶5∶6，则这个四边形各内角度数分别为_____________.
6.一个多边形除了一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数等于______.
二、选择题
7.正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
8.多边形的内角和不可能为( )
A.180°
B.680°
C.1080°
D.1980°
三、解答题
9. 已知一个多边形，它的外角和等于内角和的四分之—，求这个多边形的边数.
10. 己知一个多边形的各个内角都是120°，求这个多边形的边数.
参考答案:
1. 540；(3n-1)·180°
2. 1140°
3.140°
4. 十二边形
5. 60°、80°、100°、120°
6. 130°
7. D
8.C
9. 设多边形的边数为n ，因为它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，
根据题意，得(n-2)·180=300. 解得n=10.
答:这个多边形的边数是10
10. 解法一 设这个多边形的边数为n ，则有(n-2)·180°=n ·150 4
1
解得n=12
解法二设这个多边形的边数为n，则有n·(180-150)=360
解得n=12。