行程专题(学而思)第1-4讲

学习目标
本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。

在历年小升初与各类小学竞赛试卷中,行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用,而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题. 行程问题主要涉及时间 (t)、速度 (v ）和路程 (.s)这三个基本量，它们之间的关系如下：
路程 ＝ 速度×时间 可简记为:s vt =
速度 = 路程÷时间 可简记为：/v s t =
时间 = 路程÷速度 可简记为：/t s v =
路程一定，速度与时间成反比
速度一定,路程与时间成正比
时间一定,路程与速度成正比
显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【例 1】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1：2：３，某人走这三段路所用的时间之比是 4：５：6,已知他上坡时每小时行 2.５千米，路程全长为 20千米,此人走完全程需多少时间？
【例2】甲、乙两地相距60千米,自行车队8点整从甲地出发到乙地去,前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0．８千米。

自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？
【例３】某人上山时每走30分钟休息１0分钟,下山时每走3０分钟休息5分钟,已知下山的速度是上山速度的1.5倍,如果上山用了3时50分钟，那么下山用多少时间？
【例4】汽车以7２千米/时的速度从甲地到乙地,到达后立即以48千米／时的速度返回甲地，求该车的平均速度。

【例5】甲、乙两车往返于Ａ、Ｂ两地之间，甲车去时的速度为60千米/时,返回时的速度为4０千米／时，乙车往返的速度都是50千米/时,求甲、乙两车往返一次所用的时间比.
【例6】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的2
3
，一辆汽车上山速度是下
山速度的一半,从甲地到乙地共行7时,这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间?
【例７】一辆车从甲地行往乙地,如果把车速提高２0%,那么可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速度行驶１０0千米后再将车速提高３0％，那么也比原定时间提前 1 小时到达,求甲、乙两地的距离。

【学习目标】本专题主要研究的是行程中的典型相遇与追及问题,在简单行程问题学习的基础上进行更深的学习，使学生在解题的过程中充分的利用线段图，使较具体化、形象化、并融合多种方法,达到真正解题的目的.
相遇问题追及问题
路程÷速度和=相遇时间路程÷速度差=追及时间
路程÷相遇时间=速度和路程÷追及时间=速度差
速度和×相遇时间=路程速度差×追及时问=路程
【例１】甲车每小时行４0千米,乙车每小时行60千米,甲车从A地，乙车从B地同时出发相向而行，两车相遇后4．5时,甲车到达B地，A、Ｂ两地相距多少千米?
【例2】A、Ｂ两地相距1800米，甲、乙二人分别从A、Ｂ两地同时出发,相向而行，相遇后甲又走了８分到达B地,乙又走了１8分到达A地,甲、乙二人每分钟各走多少米？
【例３】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山速度都是上山速度的1.５倍，而且甲比乙速度快，两人出发后１小时,甲与乙在离山顶６00米处相遇,当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰，那么甲回到出发点共用多少小时?
【例4】两辆拖拉机为农场送化肥，第一辆以９千米/时的速度由仓库开往农场,30 分钟后,第二辆以１2 千米/时的速度由仓库开往农场,问
(１)第二辆追上第一辆的地点距仓库多远？
(2)如果第二辆比第一辆早到农场20分钟,那么仓库到农场的路程有多远?
【例５】如图，一个长方形的房屋长13米，宽８米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒行3米,乙每秒行2米,问:经过多长时间甲第一次看见乙?
【例6】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇,求两次相遇点的距离。

【知识储备】
相遇分为:迎面相遇、追及相遇、端点相遇(可以理解为追及相遇,也可以理解为迎面相遇)
设AB两地路程“S”,则:
甲、乙两人在A、Ｂ往返行走，均从A点同时同向出发，则第n次追及相遇时,甲、乙两人的路程差为2nS;
甲、乙两人在A、Ｂ往返行走,均从Ａ点同时同向出发,则第n次迎面相遇时,甲、乙两人的路程和为２ｎS；
甲、乙两人在A、B往返行走，分别从Ａ、B两点相向出发，则第n次追及相遇时，甲、乙两人的路程差为(2n-1)S;
甲、乙两人在A、B往返行走，分别从A、B两点相向出发，则第次迎面相遇时，甲、乙两人的路程和为(2n－1)S:
甲、乙两人合走 1 个全程中,甲走a，则甲、乙两人合走3个全程中，甲走３a。

1、迎面相遇
2、追及相遇
3、端点相遇
【学习目标】
1．了解多人相遇与多次相遇问题的特点，掌握基本的解题方法。

2．在解答多人相遇问题时，能够利用追及问题的方法求出相遇的时间,最后求出总路程。

３.在解答多次相遇问题时,利用线段图、S－t图和比例知识,找到第Ｎ次相遇点和N+M次相遇点间的距离与全程的关系。

【重点难点】
1．在解答多人行程问题时要从两个人的情况开始分析，并明确几个人路程、时间、速度的相互联系。

2．学会用线段图和Ｓ-t图分析多次相遇问题。

３.灵活的运用路程、速度、时间三个量间的比例关系，并能够灵活地转化。

【铺垫】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲、乙的速度比是4:3，两人相遇后继续行进，甲到达Ｂ地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点3０0米，则A、B两地相距多少千米？
总结
１. 两人从Ｂ两地做相遇运动,第一次相遇共走1个全程，第二次迎面相遇共走3个全程、第三次迎面相遇共走5个全过程，从而可以得到,第N次迎面相遇共走2N-1个全过程。

2．通过线段图,我们发现了“两次相遇点相距的３00米，恰好是2份的路程”这个隐蔽条件。

线段图是解答行程问题很好的方法。

一、多次相遇问题
【例1】小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地运动,即到达一地便立即折回向另一地运动。

设开始时他们分别从两地相向而行，若在距甲地4千米处他们第一次迎面相遇,第二次迎面相遇的地点在距乙地3千米处,则甲、乙两地距离是多少千米?
总结
1.通过分析可以发现，如果两人的速度比大于２：１，那么在两人第二次迎面相遇前一定会在背后追上一次。

２.本题属于开放性题目,这是近几年重点中学入学考试的热点问题,这一类题需要同学们周密思考把答案做全。

【例２】A、B两地相距9５0米，甲、乙两人同时由Ａ地出发往返锻炼半小时，甲步行，每
分钟走４0米；乙跑步，每分钟行1５0米,则甲、乙两人第几次迎面相遇时距Ｂ地最近？
对含有追及相遇的问题我们可以采用“Ｓ-t图”+“沙漏几何模型”形象解决。

【例3】A、B两地相距100０米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、Ｂ两地间往返锻炼。

乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行６0米。

在３0分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近？最近距离是多少?
【拓展】甲、乙二人在6０米的泳池中往返练习游泳,甲每分游30米,乙每分游20米,两人同时从同一端出发,30分钟共相遇几次?(不算开始那次)
二、多人相遇问题
【例4】甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米,乙每分钟走６0米,丙每分钟走7０米。

甲乙
两人从东镇、丙一人从西镇同时相向出发,丙遇到乙后2分钟再遇到甲,两镇距离的1
4
是多少
米?(第一届迎春杯竞赛试题)
【例5】A、B两地相距203米,甲、乙、丙的速度分别是4米／分、6米/分、5米/分。

如果甲、乙从A地,丙从B地同时出发相向而行那么，在_＿_＿＿__＿_分钟或＿＿___＿_＿＿分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。

三、多角度思考问题
例６有一辆沿公路不停地往返于M、Ｎ两地之间的汽车。

老王从M地沿这条公路步行向Ｎ地，速度为每小时３.6千米,中途迎面遇到从N地驶来的这辆汽车。

经20分钟又遇到这辆汽车从后面折回，再过5０分钟又迎面遇到这辆汽车,再过４０分钟又遇到这辆车再折回。

M、Ｎ两地的路程有多少千米？
总结
从上面的分析可以看出，比较的角度不同,得到的结论也就不同。

解答一从７0分与9０分的路
程进行比较,得到了人和车的速度和；解答二和三从２0分与40分的路程进行比较,得到了人与车的速度比和车速这两个关系；解答四、五从2０分与50分、40分与50分的路程进行比较,得到了某一段的路程。

这些不同的结论都是从不同的角度比较得到的,这样就做到了一题多解。

火车过桥与多人行程
一、火车过树(植树问题)
二、火车过人
1.相遇
2．追及
三、火车过桥(典型)
四、火车过火车（错车问题)
１. 相遇
2. 追及
【学习目标】
1.掌握四大火车行程的基本问题与公式,注意确定路程和速度的方法与技巧.
2. 掌握综合类的火车行程问题，注意使用比较加减法,并注意其中与植树问题的综合考察。

【重点难点】
1．火车行程中的相遇与追及路程的判断．
2. 分析火车行程问题中的速度和与速度差的使用.
3. 分析火车行程与其他行程问题的综合与判断。

【例１】一列火车长280米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔2米,这列火车从车头到第1棵树到车尾离开第61棵树用了15秒钟,这列火车每分钟行多少米?
【巩固】小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步,他散步的速度是1.５米/秒,这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了2０秒,已知火车全长3９0米,求火车的速度。

【例2】小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走,这时有一列长4６0米的火车从他背后开来，他在行进中测出火车从他身边通过的时间是20秒，而在这段时间内，他行走了40米. 求这列火车的速度是多少？
【例3】一个车队以６米/秒的速度缓缓通过一座长250米的大桥,共用1５2秒，已知每辆车长6米，两车间隔1０米，问：这个车队共有多少辆车?
【例４】列车通过2５0米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长3２0米，速度为每秒17米，列车与货车从相遇到相离需要多少秒？
【例5 】(２00７年第十二届“华杯赛”初赛)李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里,看到一辆有3０节车厢的货车迎面驶来,当货车车头经过窗口时,他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是１8秒。

已知货车每节车厢长15．8米，车厢间距１.２米,货车车头长10米。

问货车行驶的速度是多少？
【例6】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行30米,慢车每秒行2２米。

如果从两车头对齐开始算,则行2４秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算,则行28秒后快车超过慢车,那么,两车长分别是多少?如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间?
【例7】铁路旁一条小路,一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去,8点时追上向南行走的一名军人,１5秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇?
流水行船
一、基本流水行程问题
二、流水相遇与追及问题
【学习目标】
1. 掌握流水行程问题的基本公式与基本题型.
2. 掌握流水相遇和追及行程问题中的相遇追及路程，速度和与速度差，及其之间的关系与转换. 【重点难点】
１. 流水行程问题中静水速度，水流速度,顺水速度，逆水速度之间的关系。

2.分析与判断流水行程中的路程速度与时间关系.
3. 流水相遇与追及问题中速度和与速度差与水速无关的运用.
流水问题是研究船在顺水和逆水中船只速度关系问题，流水问题的典型之处在于船在河流中航行时，除了本身的前进速度外,还受到流水的推动或阻滞，所以顺流而下的速度和逆流而上的速度不同，行船速度除了跟船只本身的速度有关外,还受到河流中的流水速度的影响.
逆水船速=静水船速－水流速度;
顺水船速=静水船速+水流速度;
由以上两条关系式结合和差原理,能得到以下两公式:
静水速度=（顺水船速+逆水船速）÷2
水流速度=（顺水船速-逆水船速）÷2
除此以外,在流水行船问题中还经常运用到一条性质:河流漂流物体速度＝水流速度．
在相同的一条河流中，甲乙两船的速度有如下数量关系．
甲船顺（逆）水速度+ 乙船逆(顺)水速度=(甲船速 水速)＋(乙船速水速)
=甲船静水船速+乙船静水船速。

同样的在追及问题也有类似的数量关系:
甲船顺(逆)水速度－乙船顺(逆)水速度＝(甲船速±水速)- （乙船速±水遮)
= 甲船静水船速-乙船静水船速。

由此我们能总结出一个一般性的结论：水速对相向行驶的两船速度和或同向行驶的两船速度差没有影响，所以水速对于相遇或追及的时间不产生影响。

【例1】甲、乙两船在静水中的速度分别为33千米／小时和25千米/小时，两船从相距２32千米的两港同时出发相向而行,几小时后相遇?如果同向而行，甲船在后乙船在前，几小时后甲船可以追上乙船？
【例2】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米,顺水下行需要４小时，返回上行需要7小时，求：这两个港口之间的距离。

【例3】一艘小船在河中航行,第一次顺流航行３3千米,逆流航行１1 千米,共用1１小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米,这艘小船的静水速度和水流速度是多少？
【巩固】一艘轮船顺流航行80千米,逆流航行４8千米共用9时；顺流航行6４千米，逆流航行96千米共用1２时,求轮船的速度。

【铺垫】一只船在河里航行,顺流而下每小时行18千米,已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等。

求船速和水速。

【例4】一只帆船的速度是每分60米,船在水流速度为每分20米的河中,从上游的一个港口到下游某一地，再返回到原地，共用了3小时３0分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米？
【例5】甲、乙两船的船速分别为每小时22千米和每小时18千米。

两船先后从同一港口顺水开出,乙船比甲船早出发２小时，如果水速是每小时4千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船？
【例6】一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时。

回来时顺水,比去时的速度每小时多行8千米，因此第2小时比第1小时多行驶6千米。

那么甲、乙两地距离是多少千米？
【例７】某人畅游长江,逆流而上,在A处丢失一只水壶,他向前又游了2０分钟后，才发现丢失了水壶立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？
【例8】甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行。

相遇时，甲、乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B地，乙到达Ａ地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行了１千米。

如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分,则,河水的流速为多少?
【例９】一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处,客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变，客船出发时有一物品从船上落入水中. 1０分钟后此物品距客船5千米,客船在行驶2０千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇,求水流的速度是多少?
环形行程
一、二人追及(追及公式)
二、二人相遇(相遇公式)
三、三人追及与相遇(与数论相关)
四、变速追及与相遇(分类与分段考虑)
五、环行走走停停问题(假设与判断)
【学习目标】
1.掌握环行行程问题的基本公式与基本题型。

2．掌握利用路程,速度和时间之间的比例关系解决环行行程问题。

3.掌握环行问题的拓展综合题型，包括变速,多人行程,走走停停行程。

4．掌握行程问题的基本分析思路，包括读题，审题,画图,分析已知数量关系，未知数量关系与隐含数量关系，并进行推理与解题。

【重点难点】
1. 环行问题中的等量关系与比例关系.
2．变速环行中的分段与衔接。

3．多人行程中的追及与相遇问题.
4．走走停停中的假设与判断思想.
【例１】实验小学有一条２00米长的环形跑道,冬冬和晶晶同时从起跑线起跑,冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米,问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第２次追上晶晶时两人各跑了多少
【例2】在环形跑道上,两人都按顺时针方向跑时,每1２分钟相遇一次，如果两人速度不变改成按逆时针方向跑,每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟?
【巩固】(２０07年实验中学考题)有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑，跑步时速度都不变,男运动员比女运动员跑得稍快些,如果他们从同一起跑点同时出发沿相反方向跑,那么每隔25 秒钟相遇一次,现在，他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑,经过1３分钟男运动员追上女运动员，追上时,女运动员已经跑了多少圈？(圈数取整数)
【例3】有甲、乙、丙三入同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走,甲与乙、
丙相背而行,甲每分钟走４0米,乙每分钟走38米,丙每分钟走36米,出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇,花圃的周长是多少米?
【例４】(2007年十一学校考题)如图，田径跑道的全长为400米，其中两段直道各长１50米，两段弯道各长50米，甲、乙两人从Ａ点同时逆时针起跑，并同时开始计时，他们在直道上的速度分别为每秒6米和每秒５米，在弯道上的速度分别为每秒５米和每秒4米，当甲第二次追上乙时,计时跑步指示的应该是几分几秒了
【例５】右图中，外圆周长４0厘米,画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A.B同时爬行,甲蚂蚁从Ａ出发，沿“逗号”四周顺时针爬行,每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B 出发,沿外圈圆周顺时针爬行，每秒爬行 5 厘米,两只蚂蚁第一-次相遇时,乙蚂蚁共爬行了多少米
【例6】如图,有一个圆,两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行,它们第一次相遇在离Ａ点８厘米处的B点，第二次相遇在离C点处6厘米的D点,问:这个圆周长是多少？
【巩固】甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了1０0米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前6０米处又第二次相遇,求此圆形场地的周长。

【例7】一个圆周长90厘米,3个点把这个圆周分成三等分,3只爬虫A、Ｂ、C分别在这３个点上。

它们同时出发,接顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是１0 厘米/秒、５厘米/秒、3 厘米/秒,3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置?
钟表行程
钟表行程问题
1. 追及问题
2. 相遏问题
钟表误差问题
１．标准时间一致型
2.错误时间一致型
【学习目标】
1. 掌握钟表行程问题的基本公式与基本题型。

2．掌握利用比例关系解决钟表误差问题。

【重点难点】
1. 钟表问题中的时针与分针的速度表示.
2. 分析与判断钟表行程问题中的追及和相遇问题。

３.分析和判断钟表误差问题中的标准时间和错误时间,并列出比例式。

【例1 】(北京市第十届“迎春杯”数学竞赛·决赛第二题第4题)有一座时钟现在显示１０时整，那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合:再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
【例2】(200６年“我爱数学少年夏令营”)某小组在下午６点多开了一个会，刚开会时小张看了一下手表发现那时手表的分针和时针垂直。

下午7点之前会就结束了,散会时小张又看了一下手表,发现分针与时针仍然垂直，那么这个小组会共开了___＿＿＿_____＿_分钟.
【例3】8时到9时之间时针与分针在“8”的两边,并且两针所形成的射线到“8”的距离相等,问这时是8时多少分？
【巩固】2时到３时之间时针和分针在“2”的两边,并且两针所形成的射线到“2”的距离相等,问这时是2时多少分?
【例４】(奥数网题库）小明在 1 点多钟时开始做奥数题,当他做完题时，发现还没到两点钟,但此时的时针和分针与开始做题时正好交换了位置,你知道小明做题时用了多长时间吗?
【例5】张大牛下午六点多外出买东西,出门时看手表；发现表的时针和分针的夹角为110°，八点前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是１10°，那么张大牛外出了多少分钟？
【例６】(北京市第三届“迎春杯”决赛)王叔叔有一只手表,他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒，而闹钟却比标准时间每小时慢30秒,那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差＿＿＿＿_＿__秒。

【例7】（2006年南京智力数学冬令营六年级)有一只钟,每小时慢3分钟，早晨４点3０分的时候,把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点５０分钟走了3８0分钟，标准时间是＿______
【例８】在16点1６分这个时刻,钟表盘面上时针和分针的夹角是_______度。

【巩固】１0点２２分３０秒时，钟表盘面上的时针与分针的夹角是多少度？
电梯问题
一、基本电梯行程问题。

二、电梯行程问题中的比例关系
【学习目标】
1. 掌握电梯行程问题中的顺行,逆行中人行走路程与电梯行走路程,电梯长度之间的关系
2. 掌握利用列方程的方法关系式进行整理与解答,并及时使用比例法.
【重点难点】
1. 电梯行程中人走路程与电梯行走路程关系的理解。

2. 对电梯行程中的路程，速度与时间关系进行比例转换。

【例1】(2007年７月最新赛事:《我爱数学夏令营》数学竞赛第１０题)在商场里,小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下1２0级台阶到达底部,然后从底部上９0级台阶回到顶部。

自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的,假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的２倍. 则该自动楼梯从底到顶的台阶数为_____＿＿
【例2】(奥数网精选试题）在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯。

小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶,那么走过30级台阶到达地面。

从站台到地面有__＿____级台阶。

【例３】(２00６年武汉“明心奥数挑战赛”)商场的自动扶梯，从一层到二层自动上行。

小孩子在不动的扶梯上上下走动的速度都是每秒 3 级,当扶梯运行时小孩从一层向上走到二层用50秒；当扶梯运行时小孩子从二层向下走到一层用75秒。

若小孩站在扶梯上不走动，他从一层到二层要用多少秒？。