难点解析人教版九年级数学上册第二十四章圆定向测试试卷(解析版含答案)

人教版九年级数学上册第二十四章圆定向测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．4π
B ．4π
C ．8π
D ．4π
2、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点，3,AC ABC =∠的平分线交AC 于点D ，1CD =，则⊙O 的直径为（ ）
B．C．1 D．2
A
3、下列说法中，正确的是（）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．在同圆或等圆中90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径
O的位置关系是
4、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1
（）
A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定
5、如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）
A B．1 C D．1
2
6、如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD
B．若CD
O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
7、有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11 8、已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（）
A．3
2
πB．3πC．5πD．15π
9、如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（）
A．120°B．125°C．130°D．135°
10、如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在ABC 中，∠ABC =90°，∠A =58°，AC =18，点D 为边AC 的中点．以点B 为圆心，BD 为半径画圆弧，交边BC 于点E ，则图中阴影部分图形的面积为______．
a
2、如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，连接DF ．若DF 恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 _____．
3、已知圆锥的高为4cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．
4、已知O 的半径为5，直线AB 与O 相交，则圆心O 到直线AB 距离d 的取值范围是__________．
5、如图，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取3AD cm =，10DB cm =，以DB 为直径作O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是__________cm ．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点()11,P x y ，给出如下定义：当点()22,Q x y 满足1212
x x y y +=+
时，称点Q 是点P 的等和点．已知点()2,0P ．
(1)在()10,2Q ，()22,1Q --，()31,3Q 中，点P 的等和点有______；
(2)点A 在直线4y x =-+上，若点P 的等和点也是点A 的等和点，求点A 的坐标；
(3)已知点(),0B b 和线段MN ，对于所有满足1BC =的点C ，线段MN 上总存在线段PC 上每个点的等和点．若MN 的最小值为5，直接写出b 的取值范围．
2、如图，已知直线PA 交O 于A 、B 两点，AE 是O 的直径，点C 为O 上一点，且AC 平分PAE ∠，过C 作CD PA ⊥，垂足为D ．
(1)求证：CD 是O 的切线；
(2)若12DC DA +=，O 的直径为20，求AB 的长度．
3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC∥BD，交AD 于点E ，连结BC ．
（1）求证：AE=ED ；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC 的长．
4、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A = 30°，过圆心O 作OD ⊥BC ，垂足为D ．若⊙O 的半径为6，求OD 的长．
5、等边三角形ABC的边长为1厘米，面积为0.43平方厘米．以点A为圆心，AC长为半径在三角形外画弧，交BA的延长线于点D，形成扇形CAD；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交CB的延长线于点E，形成扇形DBE；以点C为圆心，CE长为半径画弧，交AC的延长线于点F，形成扇形ECF．
（1）求所得的图形CDEFC的周长；（结果保留π）
（2）照此规律画至第十个扇形，求所围成的图形的面积以及所画出的所有弧长的和．（结果保留π）
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】
解：正六边形的面积为：1462
⨯⨯=
六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，
所以阴影部分的面积为：12164πππ-=，
故选：A ．
【考点】
本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE =DC =1，再说明Rt △DEB ≌Rt △DCB 得到BE =BC ，然后再利用勾股定理求得AE ，设BE =BC =x ，AB =AE +BE =x
据勾股定理列式求出x ，进而求得AB ．
【详解】
解：如图：过D 作DE ⊥AB ，垂足为E
∵AB 是直径
∴∠ACB =90°
∵∠ABC 的角平分线BD
∴DE =DC =1
在Rt △DEB 和Rt △DCB 中 DE =DC 、BD =BD
∴Rt △DEB ≌Rt △DCB （HL ）
∴BE =BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
2=32+x2，解得x
则（x
∴AB
故填：
【考点】
本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
3、D
【解析】
【分析】
根据切线的判定，圆的知识，可得答案．
【详解】
解：A、在等圆或同圆中，长度相等的弧是等弧，故A错误；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B错误；
C、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故C错误；
D、在同圆或等圆中90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故D正确；
故选D．
【考点】
本题考查了切线的判定及圆的知识，利用圆的知识及切线的判定是解题关键．
4、A
【解析】
【分析】
根据点A的坐标，求出OA=2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．
【详解】
解：∵点A的坐标为（1
，
∴由勾股定理可得：OA，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故选：A．
【考点】
本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离d和圆的半径r间的大小关系确定的：（1）当d r时，点在圆外；（2）当d r=时，点在圆上；（3）当d r<时，点在圆内．
5、D
【解析】
【分析】
根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．
【详解】
∵正方形ABCD 的边长为4
∴4AD AE ==
∵AC 是正方形ABCD 的对角线
∴45EAD ∠=︒ ∴454=180DE l ππ︒⨯⨯=︒
∴圆锥底面周长为2C r ππ==，解得1
2r = ∴该圆锥的底面圆的半径是12，
故选：D ．
【考点】
本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
【详解】
解：A 、∵OC ＝OB ＝2，
∵点E 是OB 的中点，
∴OE ＝1，
∵CD ⊥AB ，
∴∠CEO ＝90°，CD ＝2CE ，
∴223
CE OC OE，
∴2
CD CE
==
B、根据CD=1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴1
230
CAB BOC，故本选项错误不符合题意．．故选：C．
【考点】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
7、D
【解析】
【分析】
根据圆的半径为5，可得到圆的最大弦长为10，即可求解．
【详解】
∵半径为5，
∴直径为10，
∴最长弦长为10，
则不可能是11．
故选：D．
【考点】
本题主要考查了圆的基本性质，理解圆的直径是圆的最长的弦是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式
2
360
n R
S
π
=直接计算即可．
【详解】
解：
2
1506
15
360
S
π
π
⨯
==．
故选：D
【考点】
本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．9、B
【解析】
【分析】
利用内心的性质得∠OBC＝1
2∠ABC，∠OCB＝1
2
∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝
55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数．【详解】
解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝1
2∠ABC，∠OCB＝1
2
∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝1
2（∠ABC+∠ACB）＝1
2
（180°﹣∠A）＝1
2
（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：B．
【考点】
此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
10、C
【解析】
【分析】
过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得到答案．【详解】
解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝1
2
AB，
在Rt△AOM中，AM
∴AB＝2AM＝
则M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故选：C．
【考点】
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧是解题关键．
二、填空题
1、36 5
π
【解析】
【分析】
先根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD=CD=9，则∠DBC=∠C=22°，然后根据扇形的面积公式计算．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，点D为边AC的中点，
∴BD=CD=1
2
AC=9，
∴∠DBC=∠C，
∵∠C=90°-∠A=90°-58°=32°，∴∠DBE=32°，
∴图中阴影部分图形的面积=
2
32936
3605
π
π
⨯⨯
=．
故答案为：36
5
π．
【考点】
本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=
2
360
n R
π
或S扇形
=1
2
lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
2、12
【解析】
【分析】
连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角
得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算360
30
︒
︒
即可得到n的值．
【详解】
解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD=360
4
︒
=90°，∠AOF=
360
3
︒
=120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n=360
30
︒
︒
=12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【考点】
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
3、15π
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：根据题意，圆锥的底面圆的半径（cm），
所以圆锥的侧面积=π×3×5=15π（cm2）．
故答案为：15π．
【考点】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积等于“π×底面半径×母线长”．
4、05d ≤<
【解析】
【分析】
根据直线AB 和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．
【详解】
∵⊙O 的半径为5，直线AB 与⊙O 相交，
∴圆心到直线AB 的距离小于圆的半径，
即0≤d＜5；
故答案为：0≤d＜5．
【考点】
本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．
5、6
【解析】
【分析】
过O 点作OH EF ⊥于H ，连OF ，根据垂径定理得EH FH =，在Rt AOH 中，358AO AD OD ，30A ∠=︒，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到142OH OA ，再利用勾股定理计算出HF ，由2EF HF 得到答案．
【详解】
解：过O 点作OH EF ⊥于H ，连OF ，如图
则EH FH =，
在Rt AOH 中，358AO AD OD ，30A ∠=︒， 则142OH OA ，
在Rt OHF 中，4OH =，5OF =， 则223HF OF OH ， 则26EF HF cm ．
故答案为6．
【考点】
本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)()10,2Q ，()31,3Q ；
(2)()3,1A ；
(3)22b -≤≤+
【解析】
【分析】
（1）根据新定义计算即可；
（2）由（1）可知，P 的等和点纵坐标比横坐标大2，根据等和点的定义，A 的横坐标比纵坐标大2，由此可得方程，求解即可；
（3）因为线段MN 上总存在线段PC 上每个点的等和点．且MN 的最小值为5，所以PC 的最大距离不能超过5，分别找到点P 和点C 的等和点所在的区域或直线，然后得到MN 取得最大值时，b 的边界即可．
(1)
解：由题意可知：
∵20=02++，∴点Q 1是点P 的等和点；
∵()2201-+≠+-，∴点Q 2不是点P 的等和点；
∵12=3+0+，∴点Q 3是点P 的等和点；
∴点P 的等和点有()10,2Q ，()31,3Q ，
(2)
解：设(),4A a a -+，
由（1）可知，P 的等和点纵坐标比横坐标大2，
∵点P 的等和点也是点A 的等和点，
∴A 的横坐标比纵坐标大2，
则42a a =-++，解之得：3a =，故()3,1A ，
(3)
解：∵P（2，0），
∴P 点的等和点在直线y=x+2上，
∵B（b ，0），
∴B 点的等和点在直线y=x+b 上，
设直线y=x+b 与y 轴的交点为B'（0，b ），
∵BC=1，
∴C点在以B为圆心，半径为1的圆上，
∴点C的等和点是两条直线及其之间与其平行的所有平行线上，以B'为圆心，1为半径作圆，
过点B'作y=x+2的垂线交圆与N点，交直线于M点，
∵MN的最小值为5，
∴B'M最小值为4，
在Rt△B'MP'中，B'P=
∴PB=
∴OB=2，
同理当B点在y轴左侧时OB=2-
∴2-2+
【考点】
本题考查新定义，涉及到平面直角坐标系，坐标轴上两点之间的距离，一次函数，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解，（3）较难，需理解题意将其转化为求PC最大值问题．
2、 (1)证明见解析
(2)12
AB=
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD 为O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形DCOF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF 中，由勾股定理得，从而求得x的值，由勾股定理求出AF的长，再求AB的长．
(1)
证明：连接OC，
=，
∵OA OC
∠=∠，
∴OCA OAC
∵AC平分PAE
∠，
∴DAC CAO
∠=∠，
∠=∠，
∴DAC OCA
∴PB OC
∥，
∵CD PA ⊥，
∴OC CD ⊥，
又∵OC 为半径
∴CD 是O 的切线．
(2)
解：过O 作OF AB ⊥，垂足为F ，
∵90OCD CDA OFD ∠=∠=∠=︒，
∴四边形DCOF 为矩形，
∴,OC FD OF CD ==，
设AD x =，∵12DC DA +=，
则12OF CD x ==-，
∵O 的直径为20，
∴10DF OC ==，
∴10AF x =-，
在Rt AOF 中，由勾股定理得222AF OF OA +=，
即()()22
2101210x x -+-=， 解得：124,18x x ==（不合题意，舍去），
∴4=AD ，
∴8OF =，
∴6AF =，
∵OF AB ⊥，由垂径定理知，F 为AB 的中点，
∴212
AB AF
==．
【考点】
本题考查了切线的证明，矩形的判定和性质以及勾股定理，掌握切线的定义和证明方法是解题的关键．
3、（1）证明见解析；（2）2
ACπ
=
【解析】
【详解】
分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
详证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴AC BD
=，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴AC =725
2 180
π
π
⨯
=．
点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
4、
【解析】
【分析】
连接OB、OC，由圆周角定理及圆的性质得△OBC是等边三角形，由OD⊥BC可得CD=BD，由勾股定理可求得OD的长．
【详解】
连接OB、OC，如图
则OB=OC=6
∵圆周角∠A与圆心角∠BOC对着同一段弧
∴∠BOC=2∠A=60゜
∴△OBC是等边三角形
∴BC=OB=6
∵OD⊥BC
∴
1
3
2
CD BD BC
===
在Rt△ODC中，由勾股定理得：
OD=
【考点】
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接两个半径运用圆周角定理是本题的关键．
5、（1）()43π+厘米；（2）3850.433π⎛⎫+
⎪⎝⎭平方厘米，1103π厘米． 【解析】
【分析】 （1）本题按照弧长公式依次求解扇形ADC 、扇形DBE 、扇形ECF 的弧长，最后对应相加即可．
（2）本题利用扇形面积公式求解第一个扇形至第三个扇形的面积，结合第一问各扇形弧长结果总结规律，得出普遍规律后将数值代入公式，累次相加即可求解．
【详解】
（1）由已知得：扇形ADC 的半径长为1，圆心角为120°；扇形DBE 半径长为2，圆心角为120°；扇形ECF 半径长为3，圆心角为120°． 故据弧长公式180n r l π=
可得：扇形ADC 弧长120121803l ππ⨯==；扇形DBE 弧长120241803l ππ⨯==；扇形ECF 弧长12032180
l ππ⨯==； 故图形CDEFC 的周长为：
24++2+3=4+333ππππ． （2）根据扇形面积公式2
=360
πn r S 可得： 第一个扇形的面积为212013603
S ππ⨯==，由上一问可知其弧长为23π； 第二个扇形的面积为212024=3603
S ππ⨯=，弧长为43π； 第三个扇形的面积为2
1203==3360
S ππ⨯，弧长为2π； 总结规律可得第m 个扇形面积为221203603
m m m S ππ==，第m 个扇形弧长为12021803m m l ππ==． 故画至第十个图形所围成的图形面积和为：
2222222222385(12345678910)0.430.4333
π
π⨯++++++++++=+； 所有的弧长和为：2110(1234567+8910)33
ππ⨯++++++++=．
【考点】
本题考查扇形与弧长公式的延伸，出题角度较为新颖，解题关键在于需要根据图形特点总结规律，其次注意计算即可．。