人教版七年级数学上册第二章知识点

第二章整式的加减
2.1整式
学习目标：
1.用含有字母的式子表示数量关系，找出实际问题中的数量关系。

2.掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，准确迅速地确定一个单项式的系
数和次数。

3.掌握整式、多项式、多项式的项和次数以及常数项等概念。

知识点1 单项式
单项式：对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式。

系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例1
列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，根据速度时间和路程之间的关系“路程＝速度×时间”填空．
(1)列车2小时行驶的路程是200千米,列车3小时行驶的路程是300千米,列车t 小时行驶的路程是100t千米.
(2)字母t表示时间有什么意义?如果用v表示速度,列车行驶的路程是多少?
用字母t表示时间,字母t可以像数一样参与运算,并且可以简明表示列车行驶的路程与时间､速度的关系.如果用v表示速度,列车行驶的路程为vt千米.
例2
上面(1)(2)中的100t,vt都是用字母表示数的式子,回顾从前你所学的知识,你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗?
能,若苹果每千克1.5元, 则买t千克苹果需花1.5t元;若苹果每千克m元,则买n 千克苹果需花mn元.
(1)用字母表示数后,可以用含有字母的式子把数量关系简明地表示出来,更适合
于一般规律的表述.
(2)用字母表示数的特点:①任意性:字母可任意表示数或式;②限制性:字母取值应使具体式子有意义;③确定性:字母取值一旦确定,式子的值也随之确定;④一般性:字母取代数更准确地反映事物的规律,更具一般性.
含有字母的式子的一般书写格式:(1)如果出现乘号,数字与字母､字母与字母之间通常将乘号写成“·”或省略不写.例如100×x,可以写成100·x或100x
(3)如果出现除号,通常将式子写成分数的形式.例如x÷2,可以写成x/2.
(4)单项式分母中不含字母;含运算符号“+”或“-”的式子不是单项式,如0.5m+n
例3
1. 以下四个单项式：1/3a2h, 2πr, abc, -m2，它们的数字因数分别是1/3, 2π, 1, -1，各单项式中所有字母指数的和分别是3, 1, 3,
2.
2. 一个单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。

例如,单项式100t,vt,-n的系数分别是100,1,-1 .
3 一个单项式中, 所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 例如，在单项式
100t中,字母t 的指数是1 ,100t是一次单项式；在单项式vt中, 字母v与t的指数的和是2 , vt是二次单项式。

(1)单项式的系数若为带分数,通常写成假分数的形式.
(2)单项式的系数包括它前面的符号,如-2ab的系数为-2 而不是2;若一个单项式中只含有字母因数,说明它的系数是1或-1,“1”通常省略不写,如x2,-a2b等.
(3)单项式的系数与单项式中所含的字母以及字母的指数无关;单项式的次数只与字母的指数有关.
(4)对于单独一个非零的数,规定它的次数为0.
知识点2 多项式及整式
多项式：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
常数项：多项式中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和, 而是次数最高项的次数.
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.
(3)多项式不含某一字母次数的项,表示此项的系数为0,如2x2-6,不含x的一次项,表示x的一次项的系数为0.
例1 用含字母的式子填空:
(1) 长方形的长与宽分别为a, b, 则长方形的周长是2a+2b ;
(2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生x+21人;
(3)一个数比数x的2倍小3,则这个数为2x-3;
(4)买一斤苹果需要x元,买一斤香蕉需要y元,买一斤梨需要z元, 则买2斤苹果, 1. 5斤香蕉, 3斤梨共需要2x+1.5y+3z元.
观察题中所得出的几个式子是单项式吗?
【答案】都不是单项式.
整式: 单项式与多项式统称为整式。

例如,单项式100t，6t2，vt，-n以及多项式2x-3，x2+2x+18等都是整式。

例2
降幂排列：把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

升幂排列：把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

2.2整式的加减
知识点1 合并同类项
同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。

另外，几个常数项也是同类项。

(1)同类项必须是整式,有两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。

(3)把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.
(4)合并同类项后, 所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变.
化简多项式的一般步骤:
(1)找出同类项并做标记
(2)运用交换律､结合律将多项式的同类项结合
(3)合并同类项
(4)按同一个字母的降幂(或升幂)排列
例1
例2
知识点2 去括号
(1)如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同
(2)如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
(3)在整式加减中,如果括号前面有乘数,不能漏乘
(4)如果乘数前面是负号,可先将乘数与括号内每一项相乘，然后再去括号，待熟练后，也可连同负号与括号内每一项相乘
(5)整式加减的算式中含有多重括号，一般是先去小括号，这时如果有同类项，那么应合并同类项，这样可简化计算；然后再去中括号，最后去大括号
知识点3 整式的加减
整式加减的运算法则:
(1)整式加减的实质就是合并同类项，若有括号，就要先用去括号法则去掉括号，然后再合并同类项，如果算式中没有同类项了，就是最后的结果
(2)整式加减的一般步骤:
①如果有括号先去括号
②如果有同类项，再合并同类项
对整式加减运算的结果书写形式的要求：
(1)结果按照某个字母的降幂或升幂排列
(2)每一项的数字系数写在前面
(3)结果不出现带分数,带分数要化成假分数
(4)结果不出现“÷”，含“÷”的式子改写成分数的形式。