6、函数奇偶性判断、证明和图象对称性

6、 奇 偶 性
1．函数的奇偶性
(1)定义： ①奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有
，则这个
函数叫做奇函数．
②偶函数：设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有
，则这个函数叫做
偶函数．
(2)性质
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图
形，反之，如果一个函数的图象是以
为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以
为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对
称，则这个函数是偶函数． (3)判断奇偶性
①f (x )＝|x |；②f (x )＝1－x 2＋x 2－1 ③f (x )＝x 2 (x ≥1)；④f (x )＝|x ＋1|－|x －1|.
2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：
(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．
(2)定义域关于原点对称时，看f (－x )＝±f (x )(或f (x )±f (－x )＝0或f (－x )
f (x )＝±1(用此式时，f (x )≠0对定义域内任意x 都
成立))是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．
(3)f (－x )＝－f (x )成立时为奇函数．f (－x )＝f (x )成立时为偶函数． 3．若一次函数y ＝kx ＋b 为奇函数，则b ＝ ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数则b ＝
.反
比例函数y ＝k x
(k ≠0)是
函数．
对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：
①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y ＝f (x )是否具有奇偶性，不仅考察f (x )与f (－x )之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称．
③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f (x )一定是常数函数f (x )＝0，但f (x )＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．
④奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.
⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性；偶函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性(ab >0)．
⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．
⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f (x )的表达式，观察其特点，然后再进行判断． [例1] 1、判断下列函数的奇偶性
(1)f (x )＝x 3＋1x
；(2)f (x )＝x 2
＋1；(3)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；
(4)f (x )＝2x ＋1；(5)f (x )＝x －1＋1－x ；(6)f (x )＝1
|x |－1
.
2、判断函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)的奇偶性．
[例2]已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
2、已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
[例3]1、已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？
2、(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小结果为______．
(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值．
[例4]1、已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象．
2、(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－4)·f(－2)＝________.
(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为________．
[例5] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)
x ＋1x －1； (2)f (x )＝1－x 2
|x ＋2|－2
课堂练习
一、选择题
1．下列函数不具备奇偶性的是 ( )
A ．y ＝－x
B ．y ＝－1
x C ．y ＝x －1x ＋1
D ．y ＝x 2＋2
2．下列命题中真命题的个数为
( )
(1)对f (x )定义域内的任意x ，都有f (x )＋f (－x )＝0则f (x )是奇函数
(2)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (x )－f (－x )＝0，则f (x )是偶函数
(3)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (－x )
f (x )＝－1，则f (x )是奇函数
(4)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (－x )
f (x )＝1，则f (x )是偶函数
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．若函数y ＝f (x )为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )的图象上的是 ( ) A ．(a ，－f (a )) B ．(－a ，－f (－a )) C ．(－a ，f (a )) D ．(－a ，－f (a ))
4．已知y ＝f (x )是奇函数，且方程f (x )＝0有六个实根，则方程f (x )＝0的所有实根之和是 ( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．0
5．已知f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是
( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．部分为增函数，部分为减函数 D ．无法确定增减性 6．偶函数y ＝f (x )在区间[－4，－1]是增函数，下列不等式成立的是
( )
A ．f (－2)<f (3)
B ．f (－π)<f (π)
C ．f (1)<f (－3)
D ．f (－2)>f (3)
二、解答题 7．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1 x 是有理数－1 x 是无理数. (2)f (x )＝|2x ＋1|－|2x －1|.
(3)f (x )＝2
|x |
. (4)f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x (x －2) x ≥0
－x (x ＋2) x <0
课后练习
一、选择题 1．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与y 轴一定相交 ④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③
2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )
A ．减函数
B ．增函数
C ．既可能是减函数也可能是增函数
D ．不一定具有单调性
3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( ) A ．－15
B ．15
C ．10
D ．－10
4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (1) C ．f (2)>f (3) D ．f (－3)<f (5)
5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x
－3，则f (－2)的值等于( ) A ．－1
B ．1 C.11
4
D ．－114
6．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )
A ．为减函数，最大值为3
B ．为减函数，最小值为－3
C ．为增函数，最大值为－3
D ．为增函数，最小值为3
7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x 3
B ．y ＝－x 2
＋1 C ．y ＝|x |＋1 D ．y ＝2
－|x |
8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫1
3的x 取值范围是( )
A.⎝⎛⎭
⎫13，2
3 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭
⎫12，2
3 `
D.⎣⎡⎭
⎫12，2
3 9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( ) A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不存在
10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( ) A ．f (1)<f (2) B ．f (1)＝f (2) C ．f (1)>f (2) D ．不能确定
二、填空题
11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________． 12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________． 三、解答题
13．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1
x 2＋x .
14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2
＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．
15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．
16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2
)<0，求实数a 的取值范围．
17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．
答案
1．函数的奇偶性
(1)定义： ①奇函数：－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x ) ②偶函数：－x ∈D ，且g (－x )＝g (x ) (2)性质： 坐标原点 坐标原点 y 轴 y 轴 (3)
[答案] ①偶 ②既是奇函数，又是偶函数 ③非奇非偶 ④奇 2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：
(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．
(2)定义域关于原点对称时，看f (－x )＝±f (x )(或f (x )±f (－x )＝0或f (－x )
f (x )＝±1(用此式时，f (x )≠0对定义域内任意x 都
成立))是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．
(3)f (－x )＝－f (x )成立时为奇函数．f (－x )＝f (x )成立时为偶函数． 3． b ＝0， b ＝0 奇.
对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：
①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y ＝f (x )是否具有奇偶性，不仅考察f (x )与f (－x )之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称． ③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既
是奇函数又是偶函数的函数f (x )一定是常数函数f (x )＝0，但f (x )＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．
④奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.
⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性；偶函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性(ab >0)．
⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．
⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f (x )的表达式，观察其特点，然后再进行判断．
[例1] 1、 [分析] 利用函数奇偶性定义来判断． ∴f (x )为奇函数．
(2)f (x )定义域为R ，且f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．
(3)定义域为(－∞，＋∞)，∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (4)定义域为(－∞，＋∞)，f (－x )＝－2x ＋1， ∵f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )为非奇非偶函数． (5)定义域为{1}，
∵定义域不关于原点对称，∴f (x )为非奇非偶函数．
2、 [解析] f (x )的定义域为R ，当a ≠0时，f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，
当a ＝0时，有f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数.
[例2] 1、 [分析] 由函数图象关于原点对称可知y ＝f (x )是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式． [解析] ∵函数f (x )的图象关于原点对称． ∴f (x )为奇函数，则f (0)＝0，
设x ＜0，则－x ＞0，∵x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3 于是有：f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－2x ＋3 (x ＞0)0 (x ＝0)
－x 2－2x －3 (x ＜0)
先画出函数在y 轴右边的图象，再根据对称性画出y 轴左边的图象．如下图．
由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]、[1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]． 2、 [答案] －x ＋1
[解析] x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x ＋1，
又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1.
[例3] 1、已知b ＞a ＞0，偶函数y ＝f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数，问函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数还是减函数？
[分析] 由函数的奇偶性进行转化．
[解析] 设a ≤x 1＜x 2≤b ，则－b ≤－x 2＜－x 1≤－a .∵f (x )在[－b ，－a ]上是增函数．∴f (－x 2)＜f (－x 1) 又f (x )是偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2) 于是 f (x 2)＜f (x 1)，故f (x )在[a ，b ]上是减函数．
[点评] 由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的． 2、[答案] (1)f (－5)<f (3)
[解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－5)＝f (5)，
∵f (x )在[2,6]上是减函数， ∴f (5)<f (3)，∴f (－5)<f (3)．
(2)设－6≤x 1<x 2≤－1，则1≤－x 2<－x 1≤6，
∵f (x )在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f (1)≤f (－x 2)<f (－x 1)≤f (6)＝10， 又∵f (x )为奇函数，∴4≤－f (x 2)<－f (x 1)≤10， ∴－10≤f (x 1)<f (x 2)≤－4，
即f (x )在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.
[例4] 1、[解析] (1)根据偶函数图象关于y 轴对称的性质，画出函数在y 轴左边的图象，如图(1)． (2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质，画出函数在y 轴左边的图象，如图(2)．
2、 [答案] (1)2 (2)f (3)>f (1)
[解析] (1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f (x )图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)， ∴f (－4)·f (－2)＝(－2)×(－1)＝2.
(2)∵偶函数f (x )满足f (－3)>f (－1)， ∴f (3)>f (1)．
[点评](1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号¡°f ¡±内的负号，f (－4)·f (－2)＝－f (4)·[－f (2)]＝f (4)·f (2)＝2×1＝2.
[辨析] 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f (x )进行变形，以利于判定其奇偶性．
[例5] [正解] (1)由x ＋1
x －1
≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，
∵f (x )定义域关于原点不对称，∴f (x )为非奇非偶函数．
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，
定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2
x ，
∵f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x 2
x ＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数． 课后练习答案 一、选择题
1．[答案] C
2．[答案] D
[解析] 四个命题都正确，故选D.
3．[答案] D
[解析] ∵－f (a )＝f (－a )，∴点(－a ，－f (a ))在y ＝f (x )的图象上，故选D. 4．[答案] D
[解析] 奇函数的图象关于原点对称，方程f (x )＝0的六个根，即f (x )图象与x 轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称， ∴和为0.
5．[答案] A
[解析] ∵f (x )＝(m －1)x 2
＋2mx ＋3为偶函数，
∴m ＝0，∴f (x )＝－x 2
＋3，因此f (x )在(－5，－2)上为增函数，故选A.
6．[答案] D
二、解答题a
7． [解析] (1)为偶函数．∵x ∈Q 时，－x ∈Q ， ∴f (－x )＝1＝f (x )．
同理，x 为无理数时，－x 也为无理数． ∴f (－x )＝－1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．
(2)奇函数．∵f (－x )＝|－2x ＋1|－|－2x －1|aa ＝|2x －1|－|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．
(3)偶函数．∵f (－x )＝2
|－x |
＝2|x |
＝f (x )，
∴f (x )为偶函数．
(4)画出其图象如图，可见f (x )为奇函数．
课后练习答案 一、选择题 1． [答案] D
[解析] f (x )＝1
x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③
错． 2．[答案] B 3．[答案] A
[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15. 解法2：设g (x )＝x 7
＋ax 5
＋bx ，则g (x )为奇函数，
∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.
4．[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)． 5．[答案] A
[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x
－3，∴f (2)＝22
－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1. 6．[答案] D
[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，
又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.
7．[答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C. 8．[答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13x <2
3，∴选A.
9．[答案] B
[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1. 解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，
∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1. 10．[答案] C [解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．
[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较． 二、填空题
11． [答案] 奇函数 [解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数． 12． [答案] 0
[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0. 三、解答题
13．[解析] (1)f (－x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x (x ≥0)
－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
(2)f (－x )＝1
x 2－x
≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．
14． [解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2
－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2
－x －2 又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .
15． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝25，所以12a
1＋⎝⎛⎭
⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16． [解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)， ∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1<1－a <1－1<1－a 2
<1
1－a >a 2－1
解得0<a <1. 故a 的取值范围是{a |0<a <1}．
17． [解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2
＋2，
∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2
＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2
＋2.
当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，
∴f (x )＝2(x ＋1)2
－2，即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2(x －1)2
＋2 (x ≥0)
2(x ＋1)2
－2 (x <0)， 其图象如图所示．。