高中数学第五章三角函数笔记重点大全(带答案)

高中数学第五章三角函数笔记重点大全
单选题
1、若sin (π
7+α)=1
2，则sin (3π
14−2α)=（ ） A ．3
5
B ．−1
2
C ．1
2
D ．1
3
答案：C
分析：令θ=π
7
+α可得α=θ−π
7
，再代入sin (
3π14
−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可
令θ=π
7+α可得α=θ−π
7，故sinθ=1
2，则sin (3π
14−2α)=sin (3π
14−2(θ−π
7))=sin (π
2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=1
2
故选：C
2、sin1860°等于（ ） A ．1
2B ．-1
2C ．√3
2D ．-√3
2 答案：C
分析：用诱导公式先化简后求值.
sin1860°=sin (5×360°+60°)=sin60°=√32
, 故选: C
3、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ
=（ ）
A ．−1
7B ．0C ．7D ．1
7 答案：D
分析：由题知A (3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A (3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=4
3， 所以
sinθ−cosθsinθ+cosθ
=
tanθ−1tanθ+1
=
4
3−143
+1=1
7
故选：D
4、化简：tan(π−α)cos(2π−α)sin(−a+3π2 )
cos(−a−π)sin(−π−a)
的值为（）
A．−2B．−1C．1D．2
答案：B
分析：运用同角三角函数间的基本关系和三角函数的诱导公式化简可得答案.
解：原式＝−tanα⋅cosα⋅(−cosα)
cos(π+a)⋅[−sin(π+a)]＝tanα⋅cos2α
−cosα⋅sinα
＝−sinα
cosα
⋅cosα
sinα
＝－1．
故选：B.
5、sin(3π
2
+α)=（）
A．sinαB．−sinαC．cosαD．−cosα
答案：D
分析：利用诱导公式sin(π+α)=−sinα,sin(π
2
+α)=cosα代入计算．
sin(3π
2+α)=sin(π+π
2
+α)=−sin(π
2
+α)=−cosα．
故选：D．
6、函数y=−sin2x−4cosx+6的值域是（）
A．[2,10]B．[0,10]C．[0,2]D．[2,8]
答案：A
分析：根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx的二次函数，利用换元法可得值域.
函数y=−sin2x−4cosx+6=−(1−cos2x)−4cosx+6=cos2x−4cosx+5=(cosx−2)2+1，因为cosx∈[−1,1]，
所以当cosx=1时，函数取得最小值2，
当cosx=−1时，函数取得最大值10，
故函数的值域为[2,10]，
故选：A．
7、关于函数y=sinx(sinx+cosx)描述正确的是（）
A．最小正周期是2πB．最大值是√2
C ．一条对称轴是x =π4
D ．一个对称中心是(π8,1
2) 答案：D
分析：利用三角恒等变换化简y 得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论. 解：由题意得：
∵y =sinx(sinx +cosx) =sin 2x +1
2sin2x
=
1−cos2x 2+1
2sin2x =
√2
2sin(2x −π4)+12
选项A ：函数的最小正周期为T min =
2πω
=
2π2
=π，故A 错误；
选项B ：由于−1≤sin(2x −π
4)≤1，函数的最大值为√2
2+1
2，故B 错误； 选项C ：函数的对称轴满足2x −π
4=kπ+π
2，x =k
2π+3π
8
，当x =π4时，k =−1
4∉Z ，故C 错误； 选项D ：令x =π
8，代入函数的f(π
8)=√2
2sin(2×π8
−π
4)+1
2=1
2，故(π8,1
2)为函数的一个对称中心，故D 正确；
故选：D
8、当θ∈(0,π
2)，若cos (5π
6−θ)=−1
2，则sin (θ+π
6)的值为（ ） A ．1
2B ．√3
2
C ．−
√3
2D ．−12 答案：B
分析：利用诱导公式和平方关系求解.
因为cos (5π
6−θ)=−cos (π−(5π
6−θ))=−cos (π
6+θ)=−1
2， 所以cos (π
6+θ)=1
2， 因为θ∈(0,π2)， 所以π
6+θ∈(π6,
2π
3)，
所以sin (θ+π
6)=√1−cos 2(π
6+θ)=
√32
，
故选：B 多选题
9、已知角α,β,γ，满足α+β+γ=π，则下列结论正确的是（ ） A ．sin(α+β)=sinγB ．cos(β+γ)=cosα C ．sin
α+γ2
=sin β2
D ．cos
α+β2
=sin γ
2
答案：AD
分析：由诱导公式判断．
因为α+β+γ=π，所以sin(α+β)=sin(π−γ)=sinγ，cos (γ+β)=cos (π−α)=−cosα，
α+β+γ2
=π2，sin
α+γ2
=sin (π2−β2)=cos β2，cos
α+β2
=cos (π2−γ2)=sin γ
2．
BC 错，AD 正确． 故选：AD ．
10、如图，已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，|φ|≤π
2）的图象与x 轴交于点A,B ，与y 轴交
于点C ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠OCB =π
3
,|OA|=2，|AD|=2√21
3
.则下列说法正确的有（ ）
A ．f (x )的最小正周期为12
B ．φ=−π
6
C ．f (x )的最大值为16
3D ．f (x )在区间(14,17)上单调递增
答案：ACD
分析：由题意可得：√3|Asinφ|=2+π
ω，sin(2ω+φ)=0，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据|AD|=2√21
3
，可得方程(1−π
2ω)2+
A 2sin 2φ
4
=
283
，进而解出ω，φ，A ．判断出结论．
由题意可得：|OB|=√3|OC|，∴√3|Asinφ|=2+π
ω
，sin(2ω+φ)=0，
A(2,0)，B(2+πω
，0)，C(0,Asinφ)，∴D (1+
π2ω
,
Asinφ2
)，
∵|AD |=
2√213，∴(1−
π
2ω
)2
+A 2sin 2φ
4
=
283
，把|Asinφ|=
1√3
(2+πω
)代入上式可得：(πω
)2−2×
πω
−24=0，
ω>0.解得π
ω=6，∴ω=π
6，可得周期T =
2πω
=12，∴sin(π3+φ)=0，|φ|≤π
2，解得φ=−π
3.可知：B 不对，∴√3|Asin (−π
3)|=2+6，A >0，解得A =16
3
，函数f(x)=
163
sin(π6x −π
3)，可知C 正确.
x ∈(14,17) 时，(π
6x −π
3)∈(2π,
5π2
)，可得：函数f(x)在x ∈(14,17)单调递增.
综上可得：ACD 正确. 故选：ACD
小提示：关键点点睛：本题的关键是表示点B,C,D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.
11、已知函数f(x)=√3cos(2x +π
3)，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f(x)的最小正周期为π B ．函数f(x)在[0,π]上有三个零点 C ．当x =
5π6
时，函数f(x)取得最大值
D ．为了得到函数f(x)的图象，只要把函数f(x)=√3cos(x +π
3)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) 答案：AC
分析：根据各选项分别进行讨论，从而得出结论. A 选项，根据周期公式T =
2π2
=π，故A 正确；
B 选项，画出函数图象，根据图象可知函数f(x)在[0,π]上有两个零点，故B 错误；
C 选项，画出函数图象，根据图象可知当x =
5π6
时，函数f(x)取得最大值，故C 正确；
D选项，为了得到函数f(x)的图象，只要把函数f(x)=√3cos(x+π
3)图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
倍(纵
坐标不变)，故D错误.
故选：AC.
小提示：本题考查余弦型三角函数的知识点，涉及到函数的周期零点以及函数的图象等，属于基础题型.
12、已知函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,|φ|<π
2
)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A．f(x)=√3sin(2x+π
3
)
B．函数f(x)在[π
6,2π
3
]上单调递减
C．函数g(x)＝√3cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移π
12
个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（5π
12
，0）中心对称
答案：AC
分析：首先利用“五点法”求函数的解析式，利用函数的性质求函数的单调递减区间，判断选项B，再利用平移
规律，判断选项C ，利用对称中心公式求函数的对称中心，判断选项D . 解：对于A ：根据函数的图象：2×π12
+φ＝2kπ+π2
（k ∈Z ），解得φ＝2kπ+π
3
（k ∈Z ），
由于|φ|＜π
2，
所以当k ＝0时，φ＝π
3．
由于f （0）＝3
2
，所以A sin π
3
=3
2
，解得A ＝√3．
所以f (x )＝√3sin(2x +π
3
)，故A 正确；
对于B ：令π2+2kπ≤2x +π3≤2kπ+3π2
（k ∈Z ），
解得：
π12
+kπ≤x ≤kπ+
7π12
（k ∈Z ）， 所以函数的单调递减区间为[
π
12
+kπ,kπ+
7π12
]（k ∈Z ），
故函数在[π
12,7π
12]上单调递减，在[7π12,
2π
3
]上单调递增，故B 错误；
对于C ：函数f （x ＋π
12）＝√3sin(2x +π
6+π
3)=√3cos2x =g(x)，故C 正确；
对于D ：令2x +π
3=kπ（k ∈Z ），解得x =−π
6+kπ2
（k ∈Z ），
所以函数的对称中心为（−π
6+
kπ2
,0）（k ∈Z ），由于k 为整数，故D 错误；
故选：AC ．
小提示：思路点睛：本题考查y =Asin (ωx +φ)的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数y =Asin (ωx +φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线x =x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证f (x 0)的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求ωx +φ的范围，验证此区间是否是函数y =sinx 的增或减区间.
13、已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．f (13
6)=1
2
B ．函数f (x −1
3
)是偶函数
C ．函数f (x )在区间[2k −2
3,2k +1
3](k ∈Z )上单调递增 D ．若函数f (x )在[−2,a ]上有5个零点，则17
6≤a <236
答案：CD
分析：根据图像得到函数解析式为f(x)=sin (πx +π
6)，代入数据计算知A 错误，f (x −1
3)=sin (πx −π
6)，
非奇非偶，所以B 错误，计算单调性得到C 正确，计算t =πx +π
6∈[−2π+π
6,aπ+π
6]，根据函数图像计算得到D 正确，得到答案.
T 2
=43−13=1，T =
2πω=2，即ω=π，
由1
3π+φ=2kπ+π
2，可得φ=2kπ+π
6，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ=π
6， 因此函数f(x)=sin (πx +π
6). f (13
6)=f (1
6)=
√3
2
，所以A 错误；
f (x −13)=sin [π(x −1
3)+π
6]=sin (πx −π
6)，非奇非偶，所以B 错误；
由2kπ−π
2≤πx +π
6≤2kπ+π
2，可得2k −2
3≤x ≤2k +1
3(k ∈Z)，所以函数f(x)在区间[2k −2
3,2k +1
3](k ∈Z)单调递增，所以C 正确；
因为x ∈[−2,a]，所以t =πx +π
6∈[−2π+π
6,aπ+π
6]，结合函数y =sint(t ∈R)的图象可得3π≤aπ+π
6<4π，
所以
176
≤a <
236
，所以D 正确.
故选：CD. 填空题
14、若函数f (x )=2sin (ωx +π
6)(ω>0)在区间[−π4,π
4]上单调递增，则ω的最大值是__________. 答案：4
3
分析：直接利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可求解. ∵−π
4≤x ≤π
4，∴π
6−π
4ω≤ωx +π
6≤π
4ω+π
6，
要使f (x )在[−π4,π4]上单调递增，则{π
6
−π
4ω≥−π
2,π4ω+π6≤π2
,，解得{ω⩽8
3ω⩽43
， 又∵ω>0，∴0<ω⩽43
，则ω的最大值是4
3
.
所以答案是：4
3.
15、已知cosα=1
3，则sin (π
2+α)=_____________. 答案：1
3
分析：直接利用诱导公式sin (π
2+α)=cosα计算可得. 解：因为cosα=1
3
，所以sin (π
2
+α)=cosα=1
3
所以答案是：1
3.
16、当θ∈(0,π
2)时，若cos (5π
6−θ)=−1
2，则sin (θ+π
6)的值为_________． 答案：√3
2##1
2√3
分析：先由已知条件求出sin (5π
6−θ)，然后利用诱导公式可求得结果. ∵θ∈(0,π
2
)，∴
5π6
−θ∈(π3
,
5π
6
)，
∴sin (5π
6−θ)=√1−cos 2(5π
6−θ)=
√32， ∴sin (θ+π
6)=sin [π−(5π
6−θ)]=sin (5π
6−θ)=
√32
．
所以答案是：√3
2
解答题
17、已知函数f(x)=4−msinx−3cos2x（m∈R）．
(1)若关于x的方程f(x)=0在区间(0,π)上有三个不同解x1,x2,x3，求m与x1+x2+x3的值；
(2)对任意x∈[−π
6
,π]，都有f(x)>0，求m的取值范围．
答案：(1)m＝4，x1+x2+x3=3π
2
；
(2)(−7
2
,2√3).
分析：（1）由题设及同角三角函数平方关系有f(x)=3sin2x−msinx+1，令t=sinx∈(0,1]，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及x1,x2,x3的关系，进而求x1+x2+x3.
（2）由（1）得t∈[−1
2
,1]且3t2+1>mt恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围. （1）
f(x)=4−msinx−3cos2x=3sin2x−msinx+1,
设t=sinx，在(0,π)上0<t≤1，则y=3t2−mt+1，
若f(x)=0有三个不同解x1,x2,x3，则3t2−mt+1=0有两个不同的根，其中t1=1，0<t2<1，
所以3−m+1=0，得：m＝4，
由t1=sinx1=1得：x1=π
2
，
由t2=sinx，知：两个解x2,x3关于x=π
2对称，即x2+x3=2×π
2
=π，
综上，x1+x2+x3=π+π
2=3π
2
；
（2）
由（1），当x∈[−π
6,π]时，t∈[−1
2
,1]，
要使f(x)>0恒成立，即3t2−mt+1>0，得3t2+1>mt，当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，m<3t+1
t 恒成立，又3t+1
t
≥2√3t⋅1
t
=2√3，当且仅当t=√3
3
时取等号，此时0<m<2√3，
当t ＜0时，m >3t +1t ，而t ∈[−12,0)时y =3t +1t 为减函数，而y|t=−12=−32−2=−72，此时0>m >−72， 综上，实数m 的取值范围是(−72,2√3)．
18、已知函数f (x )=3sin (2x +φ)(φ∈(0,π2))，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称．
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)说明其图象是由y =sinx 的图象经过怎样的变换得到的．
答案：(1)f (x )=3sin (2x +π6)
(2)答案见解析
分析：（1）写出变换后的函数解析式，根据函数的对称性可得出关于φ的等式，结合φ的取值范围可求得φ的值，即可得出函数f (x )的解析式；
（2）根据三角函数图象的变换规律可得出结论.
(1)
解：将函数f (x )=3sin (2x +φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，
所得图象的函数解析式为y =3sin [2(x +π6)+φ]=3sin (2x +π3+φ)．
因为图象平移后关于y 轴对称，所以2×0+π3+φ=kπ+π2(k ∈Z )，
所以φ=kπ+π6(k ∈Z )．
因为φ∈(0,π2)，所以φ=π6，所以f (x )=3sin (2x +π6)．
(2)
解：将函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y =sin (x +π6)， 再把所得图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得函数y =sin (2x +π6
)的图象， 再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即得函数y =3sin (2x +π6
)的图象．。