浙江省杭州市上城区杭州中学2017-2018学年八年级上学期期中数学试题(含解析).
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北师大附属杭州中学2017学年第一学期八年级期中检测
数学试卷
一、仔细选一选(本题有
10个小题,每小题
3分,共30分)
1.下列四个图形中,不是轴对称图形的是(
).
A .
B .
C .
D .
【答案】A
【解析】考查轴对称图形定义.2.下列长度的四根木棒中,能与长为
4cm ,9cm 的两根木棒围成一个三角形的是(
).
A .4cm
B .5cm
C .9cm
D .14cm
【答案】C
【解析】设第三边长为x ,则94
9
4x
,
即5
13x
.
3.下列命题是假命题的是(
).
A .有一个角为60的等腰三角形是等边三角形
B .等角的余角相等
C .钝角三角形一定有一个角大于90
D .同位角相等
【答案】D
【解析】D 中当两直线不平行时,同位角不一定相等.4.已知a
b ,则下列四个不等式中,不正确的是().A .2
2
a b
B .
2
2
a
b
C .0.50.5a
b
D .21
21
a
b 【答案】B
【解析】不等式的基本性质:a
b ,
a b ,
22a
b
.
5.如图,已知ABC △的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素,则与ABC △全等
的三角形是(
).
72°
50°
58°A B C
a b
c
甲
50°a
c 乙
58°50°
a 丙
50°
72°
a A .甲和乙
B .乙和丙
C .只有乙
D .只有丙
【答案】B 【解析】甲,边
a ,c 夹角不是50,∴甲错,
乙:两角58,50,夹边是a ,∴乙正确,丙:两角50,72,72对边是a ,丙正确.
6.如图,ABC △中,ABC 、ACB 的平分线相交于
O ,MN 过点O 且与BC 平行.ABC △的周长
为20,AMN △的周长为12,则BC 的长为(
).
A
B
C
O
M N A .10B .16
C .8
D .4
【答案】C 【解析】由题知BM OM ,CN ON ,
∴12AMN l AB
AC
△,20ABC l AB AC BC
△,
∴8BC
.N M O
C
B
A
7.如图,ABC △中,10AB
AC
,8BC ,AD 平分BAC 交BC 于点D ,点E 为AC 的中点,连
接DE ,则CDE △的周长为(
).
D
A
B
C
E
A .14
B .12
C .20
D .13
【答案】A 【解析】∵AB AC ,AD 为角平分线,∴AD
BC ,4BD
CD
,
在Rt ADC △中,1
52
DE AC (E 为AC 中点),
55
414CDE
l DE
EC
DC
△.
E
C B
A
D
8.如图,ABC △中,50A ,点E 、F 在AB 、AC 上,沿EF 向内折叠AEF △,得DEF △,则
图中
12等于(
).
2D
A
B
C
E F 1A .130B .120
C .65
D .100
【答案】D 【解析】设AEF
x ,
AFE
y 则
DEF
x ,
DFE y ,∴21
21360x y
,
∵130x y ,∴12
2()
360x
y ,
12100.
1F E C
B
A
D
29.如图所示的正方形网格中,
网格线的交点称为格点,
已知A 、B 是两格点,如果C 也是图中的格点,且使得ABC △为等腰三角形,则点
C 的个数是(
).
A
B
A .6个
B .7个
C .8个
D .9个
【答案】C
【解析】分2种情况:①AB 为底边②AB 为腰.①以AB 为底时有4个.②以AB 为腰时有4个.
B
A
10.有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形(如图1),且三个正
方形所围成的三角形是直角三角形;再经过一次“生长’’后变成了图2,如此继续“生长”下去,则“生长”
第七次后所有正方形的面积和为(
).
1图1
1图2
A .k
B .1
k
C .2
k
D .2
(1)
k 【答案】B
【解析】设图1中直角三角形ABC 三边为a ,b ,c ,
A
B
C S S S 正方形正方形正方形,【注意有文字】
同理:A F A S S S 正方形正方形正方形,【注意有文字】
M N B S S S 正方形正方形正方形,【注意有文字】E
F
M
N S S S S 正方形正方形正方形正方形,【注意有文字】
A
B
C S S S 正方形正方形正方形,【注意有文字】
∴所有正方形面积和为
3
(2
1)1,k 次之后,所有正方形面积和是
(1)1
1k
k
.
A B
C 1
A B
C
E F M
N 1
二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)要注意认真看清题目的条件和要填写的内
容,尽量完整地填写答案.
11.在直角三角形中,两条直角边的长分别是
12和5,则斜边上的中线长是
__________.
【答案】
132
【解析】斜边
2
2
12
5
13,斜边的一半132
.12.等腰三角形的一个外角等于80,则它的顶角是__________.
【答案】100
【解析】①当80是顶角的外角时,顶角为100.
②当80是底角的外角时,底角为100,
不合题意.
13.如图,ABC △中,
100BAC
,EF ,MN 分别为AB ,AC 的垂直平分线,如果
12cm BC
,
那么FAN △的周长为__________cm ,
FAN
__________.
A B
C
E F M
N
【答案】12cm ,20【解析】由题知AF
BF ,AN
CN ,12cm AFN l AF
AN FN BF FN NC △,令BAF x ,则B
x ,
CAN
y 则
C
y ,
∵100BAC x y
FAN ,
又∵80B C ,
∴80x y
,20FAN
.
N
M
F E C
B
A 14.已知等腰ABC △中,A
B A
C ,
D 是BC 边上一点,连结
AD .若ACD △和ABD △都是等腰三
角形,则
C 的度数为__________.
【答案】45或36【解析】①当AD
BD ,AD
CD 时,
ADB △≌ADC △,
∴90ADC ADB
,∴
45C
.
②AB BD ,CD
AD 时,
∵ADB △≌ADC △,
∴
B
C
DAC ,
2BAD BDA C ,∵180C B BAC
,
∴5180C
,
∴
36C .D
A
B
C
D
A
B
C
15.如图,在ABC △中,5AB AC
,8BC ,点P 是BC 上的动点,过点P 作PD AB 于点D ,
PE
AC 于点E ,则PD
PE __________.
D A
B
C
E
P
【答案】 4.8【解析】过点A 作AF
BC 于F 点,连接AP ,∵5AB AC
,8BC
,
∴4BF
,
∴ABF △中,2
2
3AF AB
BF
,
∴
11183
552
2
2
PD
PE ,
即1
125()2
PD PE ,
4.8PD
PE
.
F
P
E
C
B
A
D 16.如图,ABC △和AD
E △都是等腰直角三角形,
90BAC DAE ,连接CE 交AD 与F ,连接BD 交CE 于点G ,连接BE ,下列结论:①
BD
CE ;②
90CGD
;③
ADB AEB ;④
2BCDE
S BD CE ;⑤2
2
2
2
BC
DE
BE
CD .正确的有__________.
D
A
B
C
E
G 【答案】①②④⑤【解析】①由题知:AB AC ,AD AE ,
BAC DAC DAE
DAC ,
∴
BAD
CAE ,
∴BAD △≌(SAS)CAE △,∴BD CE ,①正确.②又∵CEA BDA (已证),90CEA AFE BDA DFG ,
∴
90DFG 即
90CGD
,
②正确.
③BAD △≌BAE △无法证明,∴
ADB AEB 无法判断,③错误.④∵1
2
BCE
S CE BG △,1
2
CDE
S CE DG △,1()2BCDE
S CE BG
DG 四边形,
【注意有文字】12
CE BD ,
即2BCDE S CE BD 四边形,【注意有文字】
④正确.⑤∵BD CE (已证),∴2
2
2
BG CG
BC ,2
2
2
BG GE BE ,222DG CG CD ,2
2
2
DG GE DE ,22222
2
BC DE BG CG DG GE ,2
2
22
2
2
BE
CD
BG
GE
DG
CG ,
即22
2
2
BC DE
BE CD ,
⑤正确.
三、全面答一答(本题有7个小题,共66分)
17.(本小题满分6分)解不等式:
(1)53
3(2
)x
x .
(2)
1112
3
x x .
【答案】见解析.【解析】(1)解:53
3(2
)x x ,
5363x x ,5363x x ,
23x
,
32
x
,故不等式的解集为32x
.
②解:
1112
3
x x ,
3(1)2(1)6x x ,
33
22
6x x ,
5
6x ,
1x ,
故不等式的解集为
1x
.
18.(本小题满分8分)如图,点E 、F 在线段BC 上,BE CF ,AB
DC ,
B
C ,AF 与DE 交
于点O .求证:
D
A
B
C
E F
O
(1)ABF △≌DCE △.(2)试判断OEF △的形状.【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵BE CF ,
∴BE EF
CF
EF ,
∴BF
CE ,
在ABF △和DCE △中,AB DC B C BF
CE
,∴ABF △≌(SAS)DCE △.
(2)∵ABF △≌DCE △(已证),∴
DEF
OFE ,
∴OEF △是等腰三角形.
O
F
E C
B
A
D
19.(本小题满分8分)如图,在
Rt ABC △中,
90ACB
.
A
B
C (1)用尺规在边BC 上求作一点P ,使PA PB (不写作法,保留作图痕迹)
.
(2)连结AP ,若4AC ,8BC
时,试求线段CP 的长度.【答案】见解析.
【解析】(1)作AB 的垂直平分线与BC 的交点,即为
P 点.
(2)设PC x ,则8
BP
x ,∵AP BP ,
∴8
AP
x ,
在Rt ACP △中,2
2
(8)16x x ,
3x
,
即3PC
.
x 48x P
C B
A 20.(本小题满分10分)如图,在ABC △中,AD 平分BAC ,且
B D
C
D ,D
E AB 于点E ,DF
AC
于点F .
D
A
B
C
E F (1)求证:AB AC .
(2)若23AD
,
30DAC
,求AC 的长.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵AD 平分BAC ,
∴
BAD
CAD ,
又∵DE AB ,DF AC ,
∴DE DF ,
90AED
AFD
,
在AED △和AFD △中,AD AD DE
DF
,
∴AED △≌(HL)AFD △,∴AE AF ,
在BED △和CFD △中,
BD CD DE
DF
,
∴BED △≌(HL)CFD ,∴BE CF ,∴AE BE AF
CF ,
∴AB
AC .(2)在Rt ADC △中,23AD
,
30DAC
,
12
DC
AC ,
323AD DC ,
∴2DC ,∴4AC
.
F E C
B
A
D
21.(本小题满分10分)如图,ACB △和ECD △都是等腰直角三角形,90ACB ECD
,D 为AB
边上一点.
D
A
B C
E
求证:(1)ACE △≌BCD △.
(2)90EAD .
(3)222
2AD DB CD .【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵ACB △、ECD △是等腰三角形,
∴AC
BC ,CE CD ,90ECA
ACD BCD ACD ,
∴ECA BCD ,在ACE △和BCD △中,
AC
BC ACE
BCD CE DC ,∴ACE △≌(SAS)BCD △.
(2)∵ACE △≌BCD △(已证),
∴
45EAC B ,∵ACB △是等腰三角形,∴
45CAB ,∴
90EAD EAC CAB ,
即90EAD .(3)∵ACE △≌BCD △(已证),
∴AE
BD ,222AE
AD DE ,222BD AD
DE ,又∵22222DE
EC DC DC ,即2222AD BD DC .
22.(本小题满分12分)如图,AB BC ,射线CM
BC ,且5BC ,1AB ,点P 是线段BC (不与点B 、C 重合)上的动点,过点P 作DP AP 交射线CM 于点D ,连结AD .(1)如图1,若4BP ,求证:ABP △≌PCD △.
(2)如图2,若DP 平分
ADC ,试猜测PB 和PC 的数量关系,并说明理由.(3)若PDC △是等腰三角形,作点
B 关于AP 的对称点B ,连结B D ,则B D __________.(请直
接写出答案)
图1D
A
B C M
P 图2D A B C M P 备用图A B C
M 【答案】见解析.
【解析】证明:(1)∵AB BC ,CM BC ,DP AD ,∴90ABP C APD ,
∴90APB BAP APB DPC ,
∴BAP DPC ,
∵5BC ,4BP ,
∴1PC AB .
在Rt ABP △和PCD △中,
B C
AP PC BAP DPC
,
∴ABP △≌(ASA)PCD △.
P M
C
B A
D
(2)过点AP ,DC 交于E 点,
E
P M
C
B A
D
∵DP 平分ADC ,
∴ADP EDP ,
∵DP AP ,
∴90DPA DPE ,
在DPA △和DPE △中,
ADP
EDP DP DP
DPA DPE
,∴DPA △≌(ASA)DPE △,
∴PA
PE ,∵AB
BP ,CM CP ,∴90ABP
ECP ,在APB △和EPC △中,
ABP
ECP APB
EPC PA PE ,
∴APB △≌(AAS)EPC △,
∴PB PC .
(3)连接B P ,作B F
CD 于F 点,P
B'
D
F B A 则90B FC C ,
∵PDC △是等腰三角形,∴PCD △为等腰直角三角形,即
45DPC ,又∵DP
AP ,∴45APB ,
∵点B 关于AP 的对称点为B ,
∴90BPB ,45APB ,BP B P ,
∴ABP △为等腰直角三角形,四边形
B PCF 是长方形,∴1BP
AB B P ,514DC B F ,1CF
B P ,4B F ,413DF ,
在Rt B FD △中,22435B D .
23.(本小题满分12分)如图,ABC △中,90B ,8cm AB ,6cm BC ,P 、Q 是ABC △边上
的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B 方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 开始沿B
C 方向运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒.
A B
C
P Q
(1)当2t 秒时,求PQ 的长.
(2)求出发时间为几秒时,PQB △第一次能形成等腰三角形?
(3)若Q 沿B
C A 方向运动,则当点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ △成为等腰三角形的运动时间.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)224cm BQ
,8216cm BP
AB AP ,
∵90B ,222246213cm PQ BQ BP .
A
B C
Q
(2)由题得:BQ
BP 即28t t ,8
s 3t ,
即出发时间为
8
s 3时,PQB △是等腰三角形.A B
C
Q
(3)分3种情况:
①当CQ
BQ 时,则C CBQ ,∵
90ABC ,∴
90CBQ ABQ ,∴
90A C ,∴A ABQ ,
∴BQ AQ ,
∴5CQ
AQ ,11BC
CQ ,112 5.5s t ,
②当CQ
BC 时,
12BC
CQ ,∴1226s t .
③当BC BQ 时,过B 点作BE
AC 于E ,E
Q
C
B
A 68 4.8cm 10A
B B
C BE
AC ,∴22 3.6cm CE
BC BE ,∴27.2cm CQ
CE ,∴13.2cm BC CQ ,∴13.22 6.6s t ,
∴t 为5.5s ,6s ,6.6s 时BCQ △为等腰三角形.。