贵州省遵义市航天高中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷

2016-2017学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数学试卷
一、选择题：（共60分，5分/题）
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）
A．{0}B．{0，4}C．{2，4}D．{0，2，4}
2．“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
3．某校有高一学生650人，高二学生550人，高三学生500人，现用分层抽样抽取样本为68人的身高来了解该校学生的身高情况，则高一，高二，高三应分别有多少学生入样（）A．26，21，20 B．26，22，20 C．30，26，20 D．30，22，20
4．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（）
A．B．C．1 D．
5．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）
A．B．C．D．
6．下列程序执行后输出的结果是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
8．已知等差数列{a n}，且a9=20，则S17=（）
A．170 B．200 C．340 D．360
9．若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m为（）
A．4 B．C．3 D．4 或
10．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
11．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）
A．x=B．x=C．x=4 D．x=2
12．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈时，f（x）=x2，g（x）=ln|x|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（共20分，5分/题）
13．85
转换为十进制数是．
（9）
14．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为．
15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
16．点P在椭圆+=1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值．
三、解答题：（共70分）
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；
（2）若sinC=2sinB，且a=，求边b，c．
18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别做记录，抽查数据如下：
甲车间：102，101，99，98，103，98，99；
乙车间：110，115，90，85，75，115，110．
问：（1）这种抽样是何种抽样方法；
（2）估计甲、乙两车间包装产品的质量的均值与方差，并说明哪个均值的代表性好，哪个车间包装产品的质量较稳定．
19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，三角形VAB为等边三角形，AC ⊥BC且AC=BC=，O、M分别为AB和V A的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求直线MC与平面V AB所成角．
20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，左焦点到左顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．
21．已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，若S n=2（a n﹣1），（n∈N+）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
）2﹣（log2a n）2，若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．
（2）设b n=（log2a n
+1
22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．
2016-2017学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共60分，5分/题）
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）
A．{0}B．{0，4}C．{2，4}D．{0，2，4}
【考点】交集及其运算．
【分析】由集合B中的元素的属性用列举法写出集合B，直接取交集即可．
【解答】解：因为集合A={0，1，2，3，4}，所以集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，
所以A∩B={0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6，8}={0，2，4}．
故选D．
2．“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的充分而不必要条件，
故选：A
3．某校有高一学生650人，高二学生550人，高三学生500人，现用分层抽样抽取样本为68人的身高来了解该校学生的身高情况，则高一，高二，高三应分别有多少学生入样（）A．26，21，20 B．26，22，20 C．30，26，20 D．30，22，20
【考点】分层抽样方法．
【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用各年级的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得高一，高二，高三入样学生人数．
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，
高一，高二，高三入样学生分别有26，22，20，
故选B．
4．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（）
A．B．C．1 D．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】将条件“∀x∈，tanx≤m”转化为“x∈时，m≥（tanx）max”，再利用y=tanx在的单调性求出tanx的最大值即可．
【解答】解：∵“∀x∈，tanx≤m”是真命题，
∴x∈时，m≥（tanx）max，
∵y=tanx在的单调递增，
∴x=时，tanx取得最大值为，
∴，即m的最小值为．
故选：D．
5．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）
A．B．C．D．
【考点】函数的值．
【分析】首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值．
【解答】解：因为＞0，所以f（）==﹣2，又﹣2＜0，所以f（﹣2）=2﹣2=；故选：B．
6．下列程序执行后输出的结果是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】伪代码．
【分析】该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．
【解答】解：该程序是一个当型循环结构．
第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；
第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；
第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；
第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；
第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．
∵s=15，
∴结束循环．
∴n=0．
故选B；
7．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，
∴D正确
故选D
8．已知等差数列{a n}，且a9=20，则S17=（）
A．170 B．200 C．340 D．360
【考点】数列的求和．
【分析】等差数列{a n}中S17=17•a9，代入可得答案．
【解答】解：∵等差数列{a n}中a9=20，
∴a1+a17=2a9=40，
∴S17=（a1+a17）•17=340，
故选：C．
9．若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m为（）
A．4 B．C．3 D．4 或
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】首先将方程转化成标准方程，进而能够得出a2、b2，然后求出m，从而得出长半轴长．
【解答】解：椭圆x2+my2=1即+x2=1，当椭圆焦点在y轴上时，
∴a2=，b2=1，
由c2=a2﹣b2得，c2=，
∵=1﹣m=得m=，
∴则m为，
当椭圆焦点在x轴上时，b2=，a2=1，
∴，可得m=4．
故选：D．
10．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
【考点】轨迹方程．
【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，
点P的轨迹为一条射线
故选D．
11．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）
A．x=B．x=C．x=4 D．x=2
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f（x）的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．
【解答】解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）为奇函数，
∴f（0）=2cosφ=0，
∴cosφ=0，又0＜φ＜π，
∴φ=；
∴f（x）=2cos（ωx+）
=﹣2sinωx
=2sin（ωx+π），又ω＞0，
∴其周期T=；
设A（x1，2），B（x2，﹣2），
则|AB|==4，
∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=4．即T=4，
∴T==8，
∴ω=．
∴f（x）=2sin（x+π），
∴其对称轴方程由x+π=kπ+（k∈Z）得：
x=4k﹣2．
当k=1时，x=2．
故选D．
12．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈时，f（x）=x2，g（x）=ln|x|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由f（x﹣1）=f（x+1）求出函数的周期，利用条件和偶函数的性质求出在的解析式，由周期性画出
f（x）在整个定义域上的图象，由对数函数的图象画出g（x）=ln|x|的图象，由图和函数零点与图象交点的关系即可得到答案．
【解答】解：由f（x﹣1）=f（x+1）得f（x）=f（x+2），
所以函数周期为2，
由f（x）为偶函数知图象关于y轴对称，
∵当x∈时，f（x）=x2，
∴x∈时，﹣x∈，
则f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2=x2，
∴x∈时，f（x）=x2，
在同一直角坐标系中做出：
函数f（x）的图象和g（x）=ln|x|图象，
由图可知有2个交点，
∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，
故选B．
二、填空题：（共20分，5分/题）
13．85
转换为十进制数是77．
（9）
【考点】进位制．
【分析】利用累加权重法，即可将九进制数转化为十进制，从而得解．
=8×91+5×90=77，
【解答】解：由题意，85
（9）
故答案为：77．
14．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先把双曲线8kx2﹣ky2=8的方程化为标准形式，焦点坐标得到c2=9，利用双曲线的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值．
【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，
即，
∵焦点坐标为（0，3），c2=9，
∴，∴k=﹣1，
故答案为：﹣1．
15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为96+4（﹣1）π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图得出该几何体是边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的组合体．
【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，
圆锥的底面半径为2，高为2，
∴圆锥的母线长为2；
∴该正方体的平面面积为6×42﹣π×22=96﹣4π；
又圆锥体的侧面面积为π×2×2=4π．
∴该几何体的表面积为96﹣4π+4π=96+4（﹣1）π．
故答案为：96+4（﹣1）π．
16．点P在椭圆+=1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上
运动，则PA+PB的最大值16．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】由题意得：椭圆+=1的两个焦点（0，±4）分别是圆x2+（y﹣4）2=16和x2+
（y+4）2=4的圆心，故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，PA+PB 取最大值．
【解答】解：由题意得：椭圆+=1的两个焦点（0，±4）分别是圆x2+（y﹣4）2=16
和x2+（y+4）2=4的圆心，
P到两个焦点的距离和为定值2×5=10，
两圆的半径分别为4和2，
故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，
PA+PB的最大值为：2×5+2+4=16，
故答案为：16．
三、解答题：（共70分）
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；
（2）若sinC=2sinB，且a=，求边b，c．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】（1）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA=，进而可得角A；
（2）若sinC=2sinB，c=2b，由a=，利用余弦定理，即可求边b，c．
【解答】解：（1）在△ABC中，由题意可得2acosC=2b﹣c，
结合正弦定理可得2sinAcosC=2sinB﹣sinC，
∴2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，
∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，
∴2cosAsinC=sinC，即cosA=，
∴A=60°；
（2）∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a=，
∴3=b2+c2﹣2bc•，
∴3=b2+4b2﹣2b2，
∴b=1，c=2．
18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别做记录，抽查数据如下：
甲车间：102，101，99，98，103，98，99；
乙车间：110，115，90，85，75，115，110．
问：（1）这种抽样是何种抽样方法；
（2）估计甲、乙两车间包装产品的质量的均值与方差，并说明哪个均值的代表性好，哪个车间包装产品的质量较稳定．
【考点】系统抽样方法．
【分析】（1）每隔1小时抽取一包产品，等间隔抽取，属于系统抽样．
（2）做出两组数据的平均数和方差，把两组数据的方差和平均数进行比较，看出平均数相等，而甲的方差小于乙的方差，得到甲车间比较稳定．
【解答】解：（1）由于是每隔1小时抽取一包产品，是等间隔抽取，属于系统抽样； （2）甲的平均数为=100 乙的平均数为=100
∴两人的均值相同， 甲的方差为 =
乙的方差为 =．
∴s 2甲＜s 2乙，
∴甲车间包装的产品质量较稳定．
19．如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，平面V AB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且 AC=BC=，O 、M 分别为AB 和V A 的中点．
（1）求证：VB ∥平面MOC ；
（2）求直线MC 与平面V AB 所成角．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由中位线定理得VB ∥OM ，故而VB ∥平面MOC ；
（2）证明∠CMO 是直线MC 与平面V AB 所成角，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵O ，M 分别为AB ，V A 的中点，
∴VB ∥OM ，
又VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，
∴VB∥平面MOC．
（2）解：由题意，CO⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，平面V AB∩平面ABC=AB，
∴CO⊥平面VAB，
∴∠CMO是直线MC与平面V AB所成角．
∵AC⊥BC且AC=BC=，
∴CO=AB=1，
∵MO=1，
∴∠CMO=45°，
∴直线MC与平面V AB所成角是45°．
20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，左焦点到左顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由椭圆离心率为，左焦点到左顶点的距离为1，列出方程组，求出a，b，由
此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点M（1，1）为弦AB中点，利用点差法能求出直线AB的方程．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意e=，
由左焦点到左顶点的距离为1，得a﹣c=1．
解得c=1，a=2．∴b2=a2﹣c2=3．
所以椭圆C的标准方程是．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵点M（1，1）为弦AB中点，∴，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C的标准方程．
得：，∴3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣，
∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），整理，得：3x+4y﹣7=0．
∴直线AB的方程为：3x+4y﹣7=0．
21．已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，若S n=2（a n﹣1），（n∈N+）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（log2a n
+1
）2﹣（log2a n）2，若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）由题意和当n≥2时a n=S n﹣S n
﹣1
进行化简，得到数列的递推公式，由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，由等比数列的通项公式求出{a n}的通项公式；
（2）由（1）和对数的运算化简b n=（log2a n
+1
）2﹣（log2a n）2，代入c n=a n b n化简后，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求T n．
【解答】解：（1）∵S n=2（a n﹣1），
∴当n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n
﹣1
﹣1）
=2（a n﹣a n
﹣1），则a n=2a n
﹣1
，
又a1=2，则数列{a n}是以2为首项、公比的等比数列，
∴=2n；
（2）由（1）得，b n=（log2a n
+1
）2﹣（log2a n）2
=（n+1）2﹣n2=2n+1，
∴c n=a n b n=（2n+1）•2n，
∴T n=3×2+5×22+…+（2n+1）×2n，①
则2T n=3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，②
①﹣②得：﹣T n=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1
=6+2×﹣（2n+1）•2n+1=（﹣2n+1）•2n+1﹣2，
∴T n=（2n﹣1）•2n+1+2．
22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质．
【分析】（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由题意DP⊥x轴，点M 在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l的方程与圆方程联立，消去y得到关于x 的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．
【解答】（本小题满分13分）
解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），
则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①
因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，
将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；…
（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，
（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣，1），（，1），
此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；
（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，
由，
得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由③得：x1+x2=﹣，x1x2=，
又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，
∴
|AB|===，又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，
综上，|AB|的最大值为2，
依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，
∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，
当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…
2016年11月30日。