数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。

在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

一、公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、 差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+=； 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n ； 3、)1(211+==∑=n n k S n
k n ； 4、)12)(1(6
112++==∑=n n n k
S n k n ； 5、21
3)]1(21[+==∑=n n k S n k n . 例1：已知3log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2
12log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x , 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝x x x n --1)1(＝2
11)211(21--n ＝1－n 21. 解析：如果计算过程中出现了这些关于n 的多项式的求和形式，可以直接利用公式。

练习：
（1）等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a ++++＝_____ ；
（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。

二进制即“逢2进1”，如2(1101)表示二进制数，
将它转换成十进制形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制220051
(11111)个转换成十进制数是
______ ；
二、错位相减
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n
项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列。

例2：求数列()为常数a na a a a a n ,,,4,3,2,432的前n 项和。

解：00==n S a ，则若.
()2
13211+=++++==n n n S a n ，则若. n n na a a a S a a ++++=≠≠ 323211，则，且若.
143232+++++=∴n n na a a a aS .
()11
13211+++---=-++++=-∴n n n n n na a
a a na a a a a S a . ()11)
1(121≠----=∴++a a na a a a S n n n . 当0=a 时，此式也成立.
()()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠----=+=∴++111121121a a na a a a a n n S n n n 解析：数列{}n na 是由数列{}n 与{}n
a 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。

练习：
（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+
++，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.；
（2）设函数2()(1)f x x =-，()4(1)g x x =-，数列}{n a 满足：12a =，1()()()n n n n f a a a g a +=-，
其中n N +∈。

①求证：数列}1{-n a 是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-(1)n n a x ++-，求
函数)(x h 的解析式。

三、倒序相加
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。

例3：求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
证明：设n n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得0113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）
又由m n n m n C C -=可得n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(………. ②
①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）
∴ n n n S 2)1(+=
解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。

练习：已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234
f f f f f f f ++++++＝___ .
四、分组求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例4：()()1217531--+++-+-=n S n
n . 解法：按n 为奇偶数进行分组，连续两项为一组.
当n 为奇数时：()()n n n n S n -=+-+-⨯
=+-+++-++-=122
1212)75()31( ; 当n 为偶数时：()()[]n n n n S n =⨯=+++-+++-++-=221232)75()31( . ()()
⎩⎨⎧-=∴为偶数为奇数n n n S n .
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：
⑴1n n n a S S -=-； ⑵111)1(1+-=+=
n n n n a n ； ⑶1111()()n a n n k k n n k
==-++； ⑷)1
21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； ⑸])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n ；
⑹11(1)!!(1)!
n n a n n n ==-++；
⑺
n a ==
<<=； ⑻2211111()1211
k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--. 例5：求数列311⨯，421⨯，5
31⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S 解：∵)2(1+n n =2
11(21+-n n ） ∴S n =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =42122143+-+-n n 解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。

练习：（1）求和：1111447(32)(31)
n n +++=⨯⨯-⨯+ ； （2）在数列{}
n a 中，n a =
，且9n S =，则n ＝_____
六、合并求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
例6： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a …
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和）
＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
＝2002200120001999a a a a +++
＝46362616+++++++k k k k a a a a
＝5
七、拆项求和
先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。

例7：求数5，55，555，…，
n
555，的前n 项和S n 解： 因为()
11095555-=n n
， 所以
n
n S 555555555++++= []
)110()110()110(952-+⋅⋅⋅+-+-=n ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=n n 110)110(1095 81
5095108150--⨯=n n 解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。

另外：S n =n n 2
1813412211
+⋅⋅⋅+++可以拆成：S n =(1+2+3+…+n)+(n 21814121+⋅⋅⋅+++)。