高考数学复习题库第六章第六节

实
优
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解
考
反证法的思考过程、特点．
综
点
合
突
训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 点
知识扫描
创 新
梳
设
理
一、直接证明
·
计 ·
基
素
础
能
落 内容
实
综合法
分析法
培 优
利用已知条件和某 从要__证__明__的__结__论_____出发，
综 合
突
训
破 ·
只要证：0＜12，∵0＜12 成立，∴P＜Q 成立．
练 ·
规
能
律 总
答案 P<Q
力 提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 考点突破·规律总结
创
点
新
梳
设
理
计
· 基
考点一 综合法的应用
· 素
础
能
落 实
例1
对于定义域为[0，1]的函数f(x)，如果同时满
培 优
足 以 下 三 条 ： ① 对 任 意 的 x∈[0 ， 1] ， 总 有 f(x)≥0 ； ②
练 ·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 点
[规律方法]
创 新
梳
设
理
综合法证题的思路
计
·
·
基
素
础
能
落
培
实
优
考 点 突 破 · 规 律 总 结
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 点
◎变式训练
梳
创 新 设
理
考
需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式 综
点
合
突 破
的规范．
训 练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 ◎变式训练
点
创 新
梳 理
· 基
2．已知函数 f(x)＝tan x，x∈0，π2 ，若 x1，x2∈
设 计 · 素
础 落 实
0，π2 ，且 x1≠x2，
些数学定义、公理、逐步寻求使它成立的充分条
考
定理等，经过一系 件，直到最后把要证明的结
点 突 破
定义 列的_推__理__论__证__， 论归结为判定一个明显成立
综 合 训 练
·
·
规 律
最后推导出所要证 的条件(已知条件，定理，定
能 力
总 结
明的结论成立. 义，公理等)为止．
提 升
菜单
高考总复习·数学（理科）
创 新
梳 理
不大于60°”时，应假设
设 计
· 基
A．三个内角都不大于60°
· 素
础
能
落 实
B．三个内角都大于60°
培 优
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
考
解析 因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”， 综
点 突
所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定
合 训
力 提 升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要
创
点 梳 理 ·
只需证明s2inc（os xx11＋coxs2x）2 >1＋sinco（s（x1x＋1＋x2x）2）.
新 设 计 ·
基 础 落 实
由于 x1，x2∈0，π2 ，故 x1＋x2∈(0，π)，
素 能 培 优
∴cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0，1＋cos(x1＋x2)>0，
第六章 不等式、推理与证明
要
创
点
新
梳
设
理
计
·
·
基
素
础
能
落
培
实
优
第六节 直接证明与间接证明
考 点 突 破 · 规 律 总 结
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 要点梳理·基础落实
创
点
新
梳
设
理 ·
考纲点击
计 ·
基
素
础 落
能
1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合 培
能 力 提 升
菜单
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第六章 不等式、推理与证明
要
创
点 梳
考点三 反证法的应用
新 设
理
计
· 基 础
例3
已知数列{an}满足 a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，
· 素 能
落 实
n∈N*，其中 λ 为实数，求证：数列{an}不是等比数列．
培 优
【证明】 由已知可得 a1＝λ，a2＝23λ－3，a3＝49
能 力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 点
【解析】 g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数，证
创 新
梳
设
理
明如下，
计
·
·
基 础
因为x∈[0，1]，所以2x≥1，2x－1≥0，
素 能
落
培
实
即对任意x∈[0，1]，总有g(x)≥0，满足条件①.
优
g(1)＝21－1＝2－1＝1，满足条件②.
计 ·
基 础
＝2x1·2x2－2x1－2x2＋1
素 能
落
培
实
＝(2x1－1)(2x2－1)．
优
由于x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥0，2x2－1≥0，
于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]≥0，
考
综
点 突
因此g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足条件③，
合 训
破 ·
故函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数．
当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，
考
综
点 突
g(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，
合 训
破 ·
g(x1)＋g(x2)＝2x1－1＋2x2－1，
规
练 · 能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 点
于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
创 新
梳
设
理 ·
＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)
能 培 优
求证：12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2.
考 点
证明 要证12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2.
综 合
突 破
· 规
即证明12(tan x1＋tan x2)>tan x1＋2 x2，
训 练 · 能
律 总 结
只需证明12csions xx11＋csions xx22>tan x1＋2 x2，
破 ·
练
是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三 ·
规
能
律 总
个内角都大于60°”，故选B.
力 提
结
答案 B
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要
创
点
新
梳 理
3．要证明 3＋ 7＜2 5，可选择的方法有以下几
设 计
·
·
基 础
种，其中最合理的是
素 能
落
培
实
A．综合法
B．分析法
考
综
点
确表述．
合
突
训
破 ·
(3)当所证结论从正面证明较困难时，可采用反证法，
练 ·
规
能
律
即“正难则反”．
总
力 提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 点
小题热身
创 新
梳
设
理 ·
1．下列表述：①综合法是由因素
顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法； 能
要
创
点 梳
5．若 P＝ a＋ a＋7，Q＝ a＋3＋ a＋4(a≥0)，
新 设
理 ·
则 P、Q 的大小关系是________．
计 ·
基
素
础
能
落 实
解析 假设 P＜Q，∵要证 P＜Q，只要证 P2＜Q2，
培 优
只要证：2a＋7＋2 a（a＋7）
＜2a＋7＋2 （a＋3）（a＋4），
考 点
只要证：a2＋7a＜a2＋7a＋12，
考
仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是 综
点 突
反证法；
合 训
破 ·
练
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾， ·
规
能
律 总
有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾
力 提
结
必须是明显的．
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 ◎变式训练
点
创 新
梳
设
理 ·
落
培
实 ⑤反证法是间接证法．其中正确的有
优
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
考
综
点 突
解析
由综合法、分析法和反证法的推理过程可知，
合 训
破 ·
①②③④⑤都正确．
练 ·
规
能
律 总
答案 D
力 提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 点
2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个
即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
训 练
· 规
即证 m(a2－2ab＋b2)≥0，
律
· 能 力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要
点
梳
理
·
基
础
落 实
即证(a－b)2≥0，
又(a－b)2≥0 显然成立，
考
∴a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2.
点
突
破
·
规
律
总
第六章 不等式、推理与证明
要
创
点
新
梳
设
理 ·
实质
由因导果(顺推证法)
执果索因
计 ·
基
素
础
能
落 实
框图
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →… Q⇐P1 → P1⇐P2 →…→
培 优
表示
→ Qn⇒Q
得到一个明显 成立的条件
考 文字 因为……所以……
点 突
语言 或由……得……
破
·
规
律
总
结
要证……只需证…… 综
即证……
结
菜单
创 新 设 计 · 素 能 培 优
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要
创
点
新
梳
设
理
计
· 基
[规律方法] 分析法的特点与思路
· 素
础
能
落 实
分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未
培 优
知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(或定理、性质
或已经证明成立的结论等)．通常采用“欲证——只
· 基 础
1．已知 x，y 均为正实数，求证：41x＋41y≥x＋1 y.
计
· 素 能
落
培
实
优
证明 ∵x，y 均为正实数，∴x＋y≥2 xy，当且
仅当 x＝y 时，取等号(下同)，
考 点 突
∴(x＋y)2≥4xy，∴x4＋xyy≥x＋1 y，即41x＋41y≥x＋1 y.
综 合 训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
要 点
[规律方法] 用反证法证明问题时要注意以下三点
创 新
梳 理
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的
设 计
· 基
·
反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少 素
础
能
落 任何一种可能，反证都是不完全的；
实
培 优
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的
反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，
训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
要 点
[辨析]
创 新
梳
设
理
如何选择证明的方法？
计
·
·
基 础
提示 (1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导
素 能
落
培
实 果较容易，一般用综合法．
优
(2)当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使
用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准
3．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法
计 ·
基 础
素
λ－4.假设存在实数 λ，使{an}是等比数列，则必有 a22＝
考 点 突
a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4，于是
综 合 训
破
练
· 规 律
49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，
· 能 力
总 结
可得 9＝0，矛盾，所以假设错误，即数列{an}不
提 升
是等比数列．
菜单
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第六章 不等式、推理与证明
f(1) ＝ 1 ； ③ 若 x1 ≥ 0 ， x2 ≥ 0 ， x1 ＋ x2 ≤ 1 ， 都 有 f(x1 ＋
考 点
x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．试判断
综 合
突
训
破 g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是否为理想函数，如果是，请予 练
·
·
规 律
证明；如果不是，请说明理由．
故只需证明 1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，
即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，