结构力学之位移计算

l x l CB段 2
l l
lk M M Q Q P P dx dx l l 2 2 EI GA l
2 4 4 M M q l dx q 7 l 7 ql P dx x x M l l 2 2 EI EI2 EI192 384 EI 2 2
Δ11
A
T22
1 P 222 2
Δ12与P1无关
在Δ12过程中，P1的值不变， T 1 2P 1 12
1、实功与虚功
实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22， 实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，
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ΔKj
如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 产生位移的原因 位移发生的位置

设为矩形截面 k=1.2
2 l k Q Q l dx 3 ql P dx 1 . 2 1 q x Q l l 2 GA 2 GA 20 GA 2 l
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4 2 7 ql 3 ql M Q 384 EI 20 GA
B
l 2
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N 0 M x Q 1
的内力方程：
l 0 x AC段 2
NP 0 MP 0 Q P 0
2 l MP q x 2 2 l QP q x
19
4 2 7 ql 3 ql M Q 384 EI 20 GA
3）讨论
比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。
3ql2 Q GA 8.23 EI 20 2 M 7ql4 GAl 384 EI
E 8 1 1 。 设材料的泊松比 , 由材料力学公式 2 G 3 3 3 bh 代入上式 设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有 A bh ,I , 12
b c1 a
R1
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； 应的支座反力。构造一个平衡力系；
（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相
（3）特点百度文库用静力平衡条件解决几何问题。
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单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
5
四、支座位移时静定结构的位移计算
已知位移
M.N.Q.R k
R2
实际变形状态

虚力状态
k k
( M N Q ) d s R c
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；
表达式; (2) 求虚力状态下的内力及反力 M.N.Q.R k
(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
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cA
求: （1）C点的竖向位移 c
C
（2）杆CD的转角
D
1 1 1 c 0 c D 3
cA
c
A
B
l
A
l 3
2 l 3
1 D
B
C
1 c cA 3 1 2 1 c 0 A 2 l
1 3
A
2 3
C D
1

1 cA 2l
B
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。

M P EI
N Q P kP EA GA
1.2
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
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10
9
A
A1
M M N N k Q Q P P P ds ds ds 15 EI EA GA
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
M MP ds EI
（2）桁架
N N N N N N l P P P ds ds EA EA EA
（3）拱
M M N N P P ds ds EI EA
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。 例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 ,EI C AV P=1 q x A x C C B A AV
3
2、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有
关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。 3）若广义力是等值、反向的一对力P
i
B d

A
m
i
B
d
A
Q
a
B d
a
A
i
m
i
B A
Q
a
M
B
a
1 1
A
A
Q
a
a
M 1 sin a
虚功方程：1 M d 0 m
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Q 1sin
1 Q d 0 Q
d m M
Q Q d
7
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在 ｉ－ｉ方向的位移 N 。
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位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
( M N Q ) d s R c
k k
K
K
ds

t1
t2
c2
c1
1
R1
ds d
ds
ds
ds
R2
ds
d
d
Q N 外虚功：W 内虚功：W 1 R c M N Q d e k k i
P ( )P T P P A B A B
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
P
P A
ΔA m 表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
t t
B β
P
ΔB Δ
B m
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
m A A Δ
T m m m ( )m A B A B

d ( M N Q ) ds

如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q ) ds

若结构的支座还有位移，则总的位移为：
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( M N Q ) d s R c
R
d

d
d
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（1）三种变形：
1 R


9
d
ds
i
d
ds
ds d
ds

d
i
R
d

d
R
d
1
（2）微段两端相对位移：

d
M , N ,Q
ds d ds d
ds ds R
续基本思路：设 ds 0 , 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的 形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 （3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。

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位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
2
二、虚功原理
P1
Δ11
荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到
Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。
P2 元功： dT P d
1 T dT P 11 1 11 2
P dT B P1 O Δ
Δ12
Δ22

再加P2， P2在自身引起的位移Δ22上作的功为：
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l x l CB段 2
2 l MP q x 2 2 l QP q x
NP 0

2
N 0 Mx Q 1
2 4 4 M M q l dx q 7 l 7 ql P dx x x M l l 2 2 EI EI2 EI192 384 EI 2 2 l l
第 九 章
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1
§9-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c c
t1
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示 AB两截面的相对转角。 2019/3/18
B
4
三、虚力原理
c1
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c 1 求
A
?
设虚力状态
a
b
P=1
b R a P b 0 R 1 1 a
虚功方程 B
A
C a b
1 R c 0 1 1
求 R c 0 骤 解 （2）建立虚功方程 1 k k 2019/3/18 步 Rc 定出方向。 （3）解方程得
k k
（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；
6
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 m。 的位移 Q 。
§9-3
荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
、 、 的表达式。 重点在于解决荷载作用下应变 一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 M 的方程，可经由荷载内力应力应变 N Q P. P. P 过程推导应变表达式。 （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
( M N Q ) ds
M Q N
8
§9-2
结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算
推导位移计算公式的两种途径
{ 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
由变形体虚功原理来推导；
一、局部变形时的位移计算公式 在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形 基本思路： 所引起的位移。
i
d
R
d
ds
ds
ds d
ds

d
i
201453117ac段????????2lx00np?mp?qp?np?0000???nmqx??1cb段????????lx2l???????????????2p2lx2qm??????????????????2lxqqp?????0n?xm??1??qac段????????2lx00np?mp?qp?np?0000??n?mqx??1cb段????????lx2l???????????????2p2lx2qm??????????????????2lxqqp?????0n?xm??1q????2014531?18ei2将上面各式代入位移公式分段积分计算???2avac段?????lx0在荷载作用下的内力均为零故积分也为零
d M d N d Q d M N Q
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d ( M N Q ) ds
10
或
二、结构位移计算的一般公式
i


i
d ( M N Q ) ds
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
N 0 M x Q 1
NP 0
l x l CB段 2
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算 AV

2
N 0 Mx Q 1
l 0 x 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。 AC段 2
k k
11
( M N Q ) d s R c
k k
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
NP 0
l x l CB段 2
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2
N 0 Mx Q 1
17
l 0 x AC段 2
NP 0 MP 0 Q P 0
2 q l MP x 2 2 l QP q x

M
变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位 移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：
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1 R c M N Q ds k k

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三、位移计算的一般步骤: K
t1
K

t2
c2
c1
1
R1
i
B
A
N
由平衡条件：
d
B
i
A
N 1 cos
虚功方程：
N
1 B
1 N d 0 N
N
N
A
d N N
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移， 即是三者的叠加，有：
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M d Q d N d