一元二次方程根的分布问题

一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
（5） 一个根大于 ，一个根小于 ） 一个根大于1，一个根小于1
f(1)=2m-2 <0
{m m < 1}
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
2
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
（2）有两个负根 ）
∆ = (m−3) − 4m ≥ 0 ⇒ {m m ≥ 9} 3− m < 0 m > 0
2
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
（3） 两个根都小于 ） 两个根都小于1
∆ = (m − 3) − 4m ≥ 0 b 3− m ⇒ mm≥9 = <1 − 2 2a f (1) = 2m − 2 > 0
2
{
}
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
1
总结：两根在K的异侧,只要a*f(k) ﹤0, 不用判断
∆
b 与− 2a
∆
当两根在k的同侧时，不仅要满足 a*f(k) ﹥0,还要判断
∆
b 与 − 2a
∆
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
（1） 两个正根 ）
∆ = (m−3) −4m≥ 0 ⇒ {m | 0 < m ≤ 1} 3−m > 0 m > 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
1 （4） 两个根都大于 2 ） ∆ = (m − 3)2 − 4 m ≥ 0 b 3 − m 1 = > ⇒ − 2a 2 2 1 6m − 5 > 0 f (2 ) = 4
5 m < m ≤1 6
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
（9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 ） 一个正根，
பைடு நூலகம்
f ( 0) = m < 0 ⇒ b 3− m − 2 a = 2 > 0
{m m < 0}
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
（7） 两个根有且仅有一个在（0 , 2）内 ） 两个根有且仅有一个在（ ）
f(0)f(2)=m(3m-2) <0
⇒
2 m < m ≤ 1 3
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
∆
b 与− 2a
∆
当两根在k的同侧时，不仅要满足 a*f(k) ﹥0,还要判断
∆
b 与 − 2a
∆
例题：关于x的方程
(m + 1) x + mx + 3 = 0
2
有两个根，其中一根大于 ， 有两个根，其中一根大于1，另一根小 的取值范围。 于1，求m的取值范围。 ， 的取值范围
例题：关于x的方程
x − 2ax + 4 = 0
2
的两根均大于1，求实数a的取值范围。
三：二分布（规定 k1 > k2 ）
1. 2. 3. 4.
x2 < k2 < x1 < k1
x2 < k2 < k1 < x1 k2 < x2 < x1 < k1
k2 < x2 < k1 < x1
例题：关于x的方程
x + (a − 1) x + a = 0 的两根 x1 , x2 ，满足 0 < x1 < x2 < 1
（6） 两个根都在（0 , 2）内 ） 两个根都在（ ）
∆ = (m − 3) − 4m ≥ 0 3− m 0< <2 2 ⇒ m < m ≤ 1 2 3 f (0) = m > 0 f (2) = 3m − 2 > 0
2
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
1< β < 2
∵α + β = m, αβ = 1, 1 ∴m = β + ,
答案：2<m<2.5
β
∵ β ∈ (1, 2),
且函数
m=β+
1
β
在（1，2）上是增函数， 所以1+1<m<2+1/2,即
m ∈ (1, 2)
五：四分布（就是说方程的两根跟四 个常数有关系，共一种情况，课后请 自己讨论一下）
（10）一个根小于 ，一个根大于 ）一个根小于2，一个根大于4
f (2) = 3m − 2 < 0 m m < − 4 ⇒ 5 f ( 4) = 5m + 4 < 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （ 的范围
一元二次方程根的分布问 题
王丽娟
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
2
回顾：根存在的判定条件与韦达定理 目的：利用根的分布条件求参数
一：0分布的情况
1.两根都大于0 2.一根大于0，一根小于0 3.两根都小于0
总结：当两根异号时：a*f(0) ﹤0 b 不用判断 ∆ 与 − .
2a
当两根同号时：同时判断a*f(0) ﹥0, ∆与 − b
2a 2a
∆
例题：关于x的方程
x − 4mx + 2m − 1 = 0
2
(1)两根异号，求m的取值范围。 (2)两根都大于0，求m的取值范围。 (3)两根都小于0，求m的取值范围。
二：K（K≠0）分布的情况
1.两根都大于K 2.两根都小于K 3.一根大于K，另一根小于K
总结：两根在K的异侧,只要a*f(k) ﹤0, 不用判断
另一个根在（ （11）一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（0 , 4）内 ）一个根在（ ） ）
f (−2) = − m + 10 > 0 ⇒m f ( 0) = m < 0 f ( 4) = 5m + 4 > 0
4 − < m < 0 5
1
另一个根在（ （8） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 , 3）内 ） 一个根在（ ） ）
f (−2) = − m + 10 > 0 f ( 0) = m < 0 ⇒ f (1) = 2m − 2 < 0 f (3) = 4m > 0
Ø
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 ）
2
求实数a的取值范围。
四：三分布（规定 k3 < k2 < k1
1.
）
x2 < k3 < k2 < x1 < k1
k3 < x2 < k2 < x1 < k1
2.
3.
k3 < x2 < k2 < k1 < x1
例题（2008江苏）方程
x − mx + 1 = 0
2
的两根为α ，β ，且 α > 0 则实数m的取值范围是：＿