2021年高考数学(理)一轮复习讲义 第8章 5讲 直线、平面垂直的判定与性质

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第八章 立体几何
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因为 AD⊂平面 ABD， 所以 BC⊥AD. 又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC. 又因为 AC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥AC.
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第八章 立体几何
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(1)判定线面垂直的四种方法
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第八章 立体几何
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所以四边形 MEFD 是平行四边形， 所以 EF∥MD. 因为 PD＝AD，所以 MD⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD，所以 MD⊥AB. 因为 PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面 PAB， 所以 EF⊥平面 PAB.
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第八章 立体几何
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(1)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的________心；
(2)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是△ABC 的________心．
解析：(1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 Rt△POA，Rt△POB 和 Rt△POC 中，PA＝PC＝PB， 所以 OA＝OB＝OC，即 O 为△ABC 的外心．
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第八章 立体几何
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(2)三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直． 3．重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直 的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
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第八章 立体几何
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二、习题改编
1．(必修 2P73 练习 T1 改编)下列命题中错误的是________(填序号)．
①如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β
②如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β
③如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面 γ
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第八章 立体几何
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(2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于点 H，D，G. 因为 PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， 所以 PC⊥平面 PAB，又 AB⊂平面 PAB，所以 PC⊥AB， 因为 AB⊥PO，PO∩PC＝P， 所以 AB⊥平面 PGC，又 CG⊂平面 PGC， 所以 AB⊥CG，即 CG 为△ABC 边 AB 上的高． 同理可证 BD，AH 分别为△ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为△ABC 的垂心． 答案：(1)外 (2)垂
因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC.
由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，
所以 AE⊥平面 PCD.
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第八章 立体几何
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而 PD⊂平面 PCD， 所以 AE⊥PD. 因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥AB. 又因为 AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， 所以 AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD， 所以 AB⊥PD.又因为 AB∩AE＝A， 所以 PD⊥平面 ABE.
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第八章 立体几何
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(2)判定线线垂直的四种方法
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第八章 立体几何
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如图所示，在四棱锥 P­ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB ⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
②线面角 θ 的范围：θ∈_0_，__π_2_ ___．
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第八章 立体几何
6
(2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这 条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做_二__面__角__的__面_____． 如图的二面角，可记作：二面角___α_-_l-_β___或二面角_P_-_A_B__-Q___． ②二面角的平面角 如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别作 BO⊥l， AO⊥l，则_∠__A__O_B___就叫做二面角 α-l-β 的平面角．
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第八章 立体几何
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α. (2)垂直于同一个平面的两平面平行． (3)直线 a⊥α，b⊥α，则 a∥b. (4)若 α⊥β，a⊥β，则 a∥α. (5)若直线 a⊥平面 α，直线 b∥α，则直线 a 与 b 垂直． (6)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.
所以平面 EFG⊥平面 EMN.
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第八章 立体几何
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法二：连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF＝12AB.
又 CD＝12AB，所以 AF＝CD.
又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形．
因此 CF∥AD.
又 CF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
所以 CF∥平面 PAD.
因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EF∥PA.
一个平面过另一个平面的 判定定理 __垂__线_____，则这两个平面互
相垂直
图形语言
两个平面互相垂直，则一个平 性质定理 面内垂直于_交__线______的直线
垂直于另一个平面
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4
符号语言 ll⊂⊥βα⇒α⊥β α⊥β lα⊂∩ββ＝a⇒l⊥α l⊥a
第八章 立体几何
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3.空间角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐__角______，叫做这 条直线和这个平面所成的角，如图，_∠__P_A_O____就是斜线 AP 与平面 α 所 成的角．
角度二 线面垂直性质的应用 如图，在三棱锥 A-BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，
F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC.
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第八章 立体几何
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【证明】 (1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD，所以 EF∥AB. 又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD.
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第八章 立体几何
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面面垂直的判定与性质(典例迁移)
(一题多解)如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD， E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点． (1)求证：CE∥平面 PAD； (2)求证：平面 EFG⊥平面 EMN.
如图所示，在四棱锥 P­ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB ∥CD，PD＝AD，E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点，且 DF＝12AB， PH 为△PAD 中 AD 边上的高． 求证：(1)PH⊥平面 ABCD； (2)EF⊥平面 PAB.
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第八章 立体几何
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【证明】 (1)因为 AB⊥平面 PAD，PH⊂平面 PAD，所以 PH⊥AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高，所以 PH⊥AD. 因为 AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，所以 PH⊥平面 ABCD. (2)如图，取 PA 的中点 M，连接 MD，ME.因为 E 是 PB 的中点， 所以 ME∥═ 12AB. 又因为 DF∥═ 12AB. 所以 ME∥═ DF，
又 EF⊄平面 PAD，PA⊂平面 PAD，
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第八章 立体几何
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所以 EF∥平面 PAD. 又因为 CF∩EF＝F.故平面 CEF∥平面 PAD. 又因为 CE⊂平面 CEF， 所以 CE∥平面 PAD.
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第八章 立体几何
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(2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，
第八章 立体几何
第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
数学
第八章 立体几何
1
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
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第八章 立体几何
2
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第八章 立体几何
一、知识梳理 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ语言
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第八章 立体几何
7
③二面角的范围
设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]___． π
④当 θ＝___2______时，二面角叫做直二面角．
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第八章 立体几何
8
常用结论
1．线线、线面、面面垂直间的转化
2．两个重要定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直．
④如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β
解析：对于④，若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β，即与平面 β
的关系还可以是斜交、平行或在平面 β 内，其他选项均是正确的． 答案：④
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第八章 立体几何
11
2．(必修 2P67 练习 T2 改编)在三棱锥 P-ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.
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第八章 立体几何
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【证明】 (1)法一：取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 又 E 为 PB 的中点，所以 EH∥═ 12AB. 又 CD∥═ 12AB，所以 EH∥═ CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD. 所以 CE∥平面 PAD.
图形语言
判定 定理
一条直线与一个平面内的 ___两__条__相__交__直__线____都垂直，则 该直线与此平面垂直
性质 垂直于同一个平面的两条直线 定理 _平__行______
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3
符号语言
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
⇒l⊥α
l⊥b
ab⊥⊥αα⇒a∥b
第八章 立体几何
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言
所以 EF∥PA，又 AB⊥PA，所以 AB⊥EF.
同理可得 AB⊥FG.
又 EF∩FG＝F，EF⊂平面 EFG，
FG⊂平面 EFG，因此 AB⊥平面 EFG.
又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MN∥CD.
又 AB∥CD，所以 MN∥AB，所以 MN⊥平面 EFG.
又 MN⊂平面 EMN，
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第八章 立体几何
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证明：(1)在四棱锥 P-ABCD 中，
因为 PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，
所以 PA⊥CD.因为 AC⊥CD，PA∩AC＝A，
所以 CD⊥平面 PAC.
而 AE⊂平面 PAC，所以 CD⊥AE.
(2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA.
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( ×) ( ×) ( √) ( ×) ( √) ( ×)
第八章 立体几何
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二、易错纠偏 常见误区 (1)忽略线面垂直的条件致误； (2)忽视平面到空间的变化致误．
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第八章 立体几何
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1．“直线 a 与平面 α 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 α 垂直”的________条 件． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 α 内的无数条直线都垂直”不能推 出“直线 a 与平面 α 垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件． 答案：必要不充分
2．已知直线 a，b，c，若 a⊥b，b⊥c，则 a 与 c 的位置关系为________． 解析：若 a，b，c 在同一个平面内，由题设条件可得 a∥c；若在空间中，则直线 a 与 c 的位置关系不确定，平行，相交，异面都有可能． 答案：平行，相交或异面
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第八章 立体几何
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线面垂直的判定与性质(多维探究) 角度一 线面垂直的证明