高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新人教A版选修

3.在“近似代替”中，函数f(x)在区间［xi，xi+1］上 的近似值等于( )
A.只能是左端点的函数值f(xi) B.只能是右端点的函数值f(xi+1) C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈［xi， xi+1］) D.以上答案均不正确
【解析】选C.由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确.
A.[i1,i ] nn
C.[ti1,ti]
nn
B.[i ,i1] nn
ti2 ti1
D.[ , ] nn
【解题指南】(1)利用四个矩形的面积近似代替. (2)可先利用分割的方法求出第i个小区间再确定第i-1 个小区间.
【解析】(1)选D. S [(1 4 )3 (4 2 )3 (4 3 )3 1 3 ] 1 4 1 3 2 3 4 4 3 3 4 3 25. (2)6 选4 D.在［0，t］上等间隔插入(n-1)个分点，把区
S[(1)3 (2)3 (3)3 (n1)3 13]1
nnn
n
n
13 23 33 n13 n3 n2 n12
n4
4n4
取 n极2 限2n得1曲边1 梯1形的1面，积为 4n2 4 2n 4n2 1. 4
2.本例(1)中，若取每个区间的左端点函数值，不经过 计算，比较两个近似值的大小.
【解析】因为函数y=x3在区间［0,1］上是增函数，故
类型一 求曲边梯形的面积 【典例1】(1)由直线x=1，y=0，x=0和曲线y=x3所围成 的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值 (取每个区间的右端点函数值)是( )
A .1 B .1 1 1 C .1 1 D .2 5 1 9 2 5 6 2 7 6 4
(2)(2017·惠州高二检测)求由抛物线y=2x2与直线x=0， x=t(t>0)，y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间 ［0，t］等分成n个小区间，则第i-1个区间为( )
1
x
2.和式 5 (yi+1)可表示为( )
i 1
A.(y1+1)+(y5+1)
B.y1+y2+y3+y4+y5+1
C.y1+y2+y3+y4+y5+5 D.(y1+1)(y2+1)…(y5+1)
【解析】选C. 5 (yi+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+ i 1
(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+5.
6n(1 1 ). n 2n
(4)取极限 slni m snlni m 6n(n 121n)3.
【课堂小结】 1.知识总结
2.方法总结 (1)“以直代曲”求曲边梯形面积的方法. (2)“以不变代变”求变速直线运动的路程的方法.
3.在实际生活中，经常会遇见一些不规则的曲边围成 的平面图形(如图蔬菜大棚的横截面)，这种图形的面 积如何求呢？
提示：可以对截面图形进行分割，分割越细所得小图 形越接近矩形，然后对每个小“矩形”求面积，再求 和.
结论： 1.曲边梯形的含义 它有三条边是直线，其中两条互相平行，第三条与前 两条互相垂直，第四条边是一条曲线的一段弧，它与 任一条平行于它的邻边的直线至多只交于一点.
③将［0,2］n等分,当n很大时,求出的sn就是s的准确值; ④s的准确值就是由直线t=0,t=2,v=0和曲线v=v(t)所 围成的图形的面积.
【解题指南】利用曲边梯形面积的求法去判断. 【解析】由曲边梯形面积的求法知只有当n无穷大时求 出的矩形的面积和才是曲边梯形的面积，故结果与小区 间上的取值无关，只有④正确，对于③当n很大时，并 未点明有多大，应该是无穷大时Sn对应的极限值. 答案：④
【方法总结】求变速直线运动路程的方法 求变速直线运动路程的问题,方法和步骤类似于求曲边 梯形的面积,用“以直代曲”“无限逼近”的思想求解. 求解过程为:分割、近似代替、求和、取极限. 应特别注意求变速直线运动的区间.
【巩固训练】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时
刻t的速度v(t)= 6 ，求汽车在t=1到t=2这段时间内 运动的路程s. t 2
结论：
变速直线运动的路程的求解方法以“_不__变__代__变__”的方 法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求_匀__速__直__ _____________问题.即将区间［a,b］等分成n个区间， 在线每运个动小的区路间程上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽
车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区
间［0，t］等分成n个小区间，每个小区间的长度均
为 ，故第i-1个区间为
t
ti2 ti1
[ , ].
n
nn
【延伸探究】
1.本例(1)中的曲边梯形的面积为
.
(已 知 1 3 2 3 3 3 n 3 [n n 1 ]2)
2
【解析】将区间［0,1］等分成n个小区间后取每个小 区间的右端点函数值所求得的和为
取每个区间的左端点函数值所求的和比取每个区间的
右端点函数值所求的和小.
答案：
1 4
【方法总结】求曲边梯形面积的三个注意点 (1)求解的数学思想是以直代曲和无限逼近的思想. (2)求解过程有四步,即分割、近似代替、求和与取极 限. (3)求解的关键是近似代替. 提醒：分割越细，结果越准确.
Байду номын сангаас型二 变速运动的路程
4.一辆汽车做变速直线运动，汽车的速度v(单位：m/s)
与时间t(单位：s)之间具有如下函数关系：v(t)＝ t 2 ＋6t.求汽车在0≤t≤2这段时间内行驶的路程s时，2将
行驶时间等分成n段，下列关于n的取值中，所得估计
值最精确的是( )
A.5
B.10
C.20
D.50
【解析】选D.将行驶时间等分得越细，得到的估计值 越精确.
主题2 求汽车行驶的路程 1.比较求曲边梯形的面积是把曲边梯形分割成n个矩形 求和，再取极限得到，求变速运动的汽车行驶的路程 是如何处理的？ 提示：把整个路程分割为n个时间段，在每一段上近似 看作是匀速运动来求和，再取极限.
2.求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积的思想方法 和步骤相同吗？ 提示：相同.
【典例2】汽车以v=v(t)(函数v=v(t)在(0,+∞)上为连
续函数)在笔直的公路上行驶,在［0,2］内经过的路程
为s,下列说法中正确的是
.
①将［0，2］n等分,若以每个小区间左端点的速度近 似代替时,求得的sn是s的不足近似值(sn＜s); ②将［0,2］n等分,若以每个小区间右端点的速度近似 代替时,求得的sn是s的过剩近似值(sn＞s);
间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让
n趋向无穷大就得到s的精确值.
【微思考】 求汽车行驶的路程可以用求曲边梯形面积的方法和步 骤，那变力做功能否用这种方法？ 提示：可以，步骤相同.
【预习自测】
1.下列函数在R上不是连续函数的是( )
A.y=x2 B.y=|x| C.y=
D.y=
1
【解析】选D.对于函数y= ，x当x=0时函数x 无意义.
数，不妨认为等t 2 于
局部小范围内“以
v( ni1gni)，
直代曲”，则有
nn
siv(n n i1gnn i) tni 61 n2nign 1
ni61nni(i1,2， ， n).
(3)求和
sn
n i1
n
i
6n
1(n
i)
6n(1 1 1 1 1 1 ) n n1 n1 n2 2n1 2n
2.求面积方法
将曲边梯形沿与曲边对应的直线边将其分割成无数个
小长方形条，然后通过求_____________________近似 所有长方形条面积之和
代替曲边梯形的面积.
【微思考】 利用“以直代曲”思想求曲边梯形的面积时，是否必 须等分自变量的取值区间？ 提示：不一定.等分的目的仅是为了便于计算.
1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
主题1 求曲边梯形的面积 1.试列举几个目前为止能求面积的平面图形，并说明 是什么方法？
提示：如图三角形，正方形，梯形，平行四边形，不 规则四边形，圆等都可利用公式求出面积.
2.圆的面积如何推导的？ 提示：可把圆通过分割的方法转化为三角形面积求解， 如图，易知分割越细，所求三角形面积的和越接近圆 的面积.
【解析】(1)分割
把区间［1,2］等分成n个小区间 [ni1,ni]
(i=1,2，…，n)，
nn
每个区间的长度Δt= ，每个时间段行驶的路程记为
1 Δsi(i=1,2，…，n).故n 路程和sn= Δsi.
n
i 1
(2)近似代替
当n很大时，即Δt很小时，在区间 [ni1上, n，i可] 以认为v(t)= 6 的值变化很小，近似地等n 于一n个常