小学六年级下册数学奥数知识点讲解第4课《奇妙的方格表》试题附答案

小学六年级下册数学奥数知识点讲解第4课《奇妙的方格表》试题附答案
第四讲奇妙的方格表
方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学河题,许多i可题看起来非常简单非常有趣，但却要用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理.这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到.
一.
计数问题
例1下图中共有多少个矩形?
例2在上页的方格表中，共有几个“日二f形（含有3个小方格
QP”或?
的拥也可以是“匚日”或“
例3在4X4的方格表中，至少放上几个“土”后，才^使
这一表中不能再放下一个“田”了（不许重叠）?如果是6X6或｝件的方恰表，结果如何？
例3在4X4的方格表中，至少放上几个“土"后，才能使
这一表中不能再放下一个“土"了（不许重登）？如果是6乂6或8X8的方格表，结果如何？
二.
染色方法
染色方法实际上是一神分美方法，不过对有些问题来乱通过染色能使问题比较直观，解决起来更方便.
例4如图是半张象棋盘，一只马能否从枫出发，跳遍半张象模盘而使每个格点只经过一次？
例5正方体形的房子共分27个小房间，每相邻两个房间都有门相通（上.下两间也有门相通）.每个房间里都有一块奶酪，右下角的房间有一门通向外面.一只耗子从最中间的房间出发，想走遍各个房间，且每个房间只经过一次.最后从右下角出来，这样是可否能？如果可能，该怎么走？
抽JB原理
三,
例6能否在8乂8的方格表的每个方格中写上0.L2中的一个数，使每行、每列以及两条对角线上各数之和都互不相等？
例7在5X5的方格表中，任意挖去一个方格后，是否总能用8个
“匚□"形完全盖住？如果不能，请说明道理.
四、分类、试验，递推-寻求规侔
例Z在4X4的方格表中任意挖去一恪，是否总能用5个
“日亍形差住？对于8X8或M X 16的方格表，结论如何?
例9在一个6*6的方格表中，任选5个方格涂黑，然后再逐步将凡是与两个或两个以上黑裕相邻的方格涂黑，不断按这个法则做下去，证明；无论怎样选择最初的5个方格，都不可能技这样的法则将所有方格全部徐黑.
答案
笫四讲奇妙的方格表
方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题.许多问题看起来非常简单非常有趣，但却爰用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理.这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到，
一、计数何题
例1下图中共有多少个矩形。

分析如果直接数，很容易遗漏或者重复.为了避免遗漏或重复，可以将图形中的各种矩形技形状大小分类，分别计数后再相加.在分类计数中如果能度现规律，那就更简单了.
解法L 在己知的方格表中，“口 ”共有5X3Q5个，"口口 ”共有4X 3二12个，“口口口”共有3X3= 9个，…如此进行下去，把各类矩形的个数相 加，可得矩形总数为90个.
解法2：将各类矩形列出表来（如下页图），分析各类矩形个数的算式. 很容易发现规律，于是可得矩形总个数丸 （1 + 2+3+4+5）X （3+2+1； =90个.
5X3□5X24X32X31 X3
4X2
ffi 4X1 目
3X33X2
匚12X21X23X12X11X1例2在上页的方格表中，共有几个“山，形（含有3个小方格 的拐，也可以是“|2日"或“丁if ■?
例3在4X4的方格表中，至少放上几个“ 上 "后，才能使
这一表中不能再放下一个“日口”了（不许重叠）？如果是6 乂 6或8部的 方格表，结果如何？
解：如图，在4X4的方格表中放下3个L 形，即不能再放下一个L 形了.如果只放了两个L 形，那么可以证明总还能再放下一个L 形.因为每个 “田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L 形，而4X4的方格表中共有4个不 相重叠的“田”字形，至少应盖住2X4胡格后，才不再能放一个l 形，如果只 放了两个L 形，仅仅盖住6格，所以总还能再放一个L 形,
从以上两机 可以看出4 乂 4的方格表中至少放上3个L 形后，才能使这一表 中不再能放下一个L 形
.
例3在4X4的方格表中，至少放上几个“土"后，才能使
这一表中不能再放下一个“日口”了（不许重叠）？如果是6乂6或8爵的方格表，结果如何7
解：如图，在4X4的方格表中放下3个L形.即不能再放下一个L形了.
如果只放了两个L形，那么可以证明总还能再放下一个L形.因为每个“田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L形，而的方格表中共有4个不相重登的“田”字形，至少应盖住2X4*格后，才不再能放一个l形，如果只放了两个L形，仅仅盖住6格，所以总还能再放一个L形.
从以上两批可以看出4乂4的方格表中至少放上3个L形后，才能使这一表中不再能放下一个L形.
在6X6的方格表中有9个不相重叠的“田〃字形，每个“田〃字形至少盖住两格，才不再能放下一个L形，这样至少应盖住18格，也就是至少要放上6个L形.如右图，己放了6个L形，确实己不能再放下一个L形了，因此6个是最少的数目.
卜■1 44
■卜+ 4：■
用同样的方法可以得到在8乂8的方格表中至少放上11个L形后，就不再能放下一个L形了.
二、染色方法
染色方法实际上是一神分类方法，不过耐有些问题来说，通过染色能使i可题比较直观，解决起来更方便.
例4如图是半张象慎盘，一只马能否从媛出发，跳遍半张象棋盘而使符个格点只经过一次？
解：把半张象慎盘的格点（共45个）相间地涂上黑、白两色（黑色用
”乂〃表示，如图共有22个黑点，23个白点.按照马走步的规则，每步走“日”字的对角线，不论马在何处也不论往哪个方向跳，起点和终点的颜色总是不同的.由于A处是黑格点，如果马从A站出发跳遍每个格点且每个格点只经过一次，那么需经过21个器点，23个白点，黑'白格点数相差2,故这样的走法是不可能的.
例5正方体形的房子共分27个小房间，每相邻两个房间都有门相通（上、下两间也有门相通）•每个房间里都有一块奶酪，右下角的房间有一门通向外面.一只耗子从最中间的房间出发，想走遍各个房间，且每个房间只经过一次，最后从右下角出来，这样是可否能？如果可能，该怎么走？
解：将27个小正方体相间染成黑、白两色（如图），共13个房黑间，14个白房间，中间房间是黑色.如果从中间房间出发，有个房间经过一次，共需经过12个黑房间（除中间房间外）、14个白房间•但是与黑房间相邻的都是白房间，与白房间相邻的都是黑房间，路线只能葺黑_白_黑一白…这是不可能
雾观的，
如果改从任一个（不是右下角的）白房间出发，就能达到目的.请自己设计路线.
三、抽屉琼理
例6能否在8X8的方格表的每个方格中写上0、L2中的一个数，使每行、符列以及两条对角线上各数之和都互不相等？
S：8行、8列及两条对角线共有魅个和数，将这L8个和数作为“苹果
8个数（每个数是0、1、2中的一个）的和最小是0,最大是16,共有17神不同的和，将这17个不同的和作为“抽屉”.根据抽屉原理，必有一个“抽屉〃中存在2个或2个以上的“苹果"，这就是说，在18个和数中至少有2个相等，不可能都互不相等.
例7在5乂5的方格表中，任意挖去一个方格后，是否总能用8个
“P~|”形完全盖住?如果不能，请说明道理，
X1a d
y C
•活.活
解法L如右图，将5X5的方格表挖去一格（阴影）后，剩下的24
格不可能用8个“土〃形完全盖住.因为如果完全盖住，为了盖住湍，需要用一个L形盖住a、d、e或a、b、c三格，由于两边对称，不妨设盖住a、
4C三徐这样，X格就不可能被任何一个L形盖住（否则就重叠了），所以这24裕不可能被完全盖住.
解法2：如图，标上“X”的格共有9个，如果挖去的一格不是标上“x〃的格，那么剩下的24格不可能被8个L形盖住.这是因为任意两个“X”格不可能被同一个L形盖住，这9个“X刃格若都能被盖住.至少需要9个L形.因此不能用8个L形盖住剩下的24格.
说明：解法1虽然很简单，但要想到这种解法，需要做多次试验（当挖去 的一格在某些位置时，题目的要求是可以成立的）・解法2实际上用了抽屉原理，“X"格看作“苹果”，8个L形看成“抽屉用油屉原理的关键是要设计好“抽雇"和“苹果",
四.
分类.试验、递推.寻求规律
例8在4%的方格表中任意挖去一格，是否总能用5个
“日形盖住？对于8X8或16X*的方格表，结论如何？
分析对于4乂4的方裕表，由挖去一裕的位置不同，可分三种情况讨论.这种分类讨论的方法，对于4X4的方格表来说，由于试验次数较少，还比较容易得到结论.但对于8X8的方格表，需要分10种情况，分别去试验；对于16X 16的方格表，则需要分36神情况.对于每神情况，由于表格较大，试验起来也很繁琐.如果运用数学上称为“递推”的方法，问题就简单得多了，不仅能轻易弛解决目X&16X16的方格表的问题，还能解决32X32.64X64、…等方格表中的类似问题.
解法L对于4X4的方格表，由挖去一格的不同位置，可分三种情况，每种情况都能运用5个L形盖住，因此在4乂4的方格表中任意挖去一格，总能用5个L形盖住（如下图）.
怒衫I
y X>X■
I
对于8X8及16X16的方榕表，由于分类情况较多，这里从略.
解法2：先考虑2X2的方格表，任意挖去一格，剩下3格总是恰好能用1个L 形盖住.
对于4X4的方格表，挖去的一格总在某个角上的2X2小方格表内，不妨设在左上角，那么左上角的2X2小方格表中剩下3格能用1个L形盖住.在右上、
右下、左下的3个2乂2方格表中，先各挖去靠中间的一精（如图），剩下的各能用1个L形盖住，而挖去的3裕也恰能用1个L形盖住.
对于gxg 的方格表，挖去的一格总在某个角上的4X4方格表内，不妨设在 左上角，那么左上角剩下的部分总能用5个L 形盖住.在右上、右下、左下的3 个4X4方格表牝 先各挖去靠中央的一格（如右图）,由上述结论，各4X4方 格表中剩下部分总能分别用5个L 形盖住.而挖去的3格也恰能用1个L 形盖住， 所以，8X8方格表中任意挖去一格，总能用21个L 形完全盖住.
同样，对于16X16的方格表.任意挖去一格后■总可以用85个L 形完全盖 住.
例9在一个6X6的方格表中，任选5个方格泳黑，然后再逐步将凡是与两 个成两个以上黑格相邻的方格涂黑，不断按这个法则做下去，证明：无论怎样 选择最初的5个方格，都不可能按这样的法则将所有方格全部涂黑.
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〔4)
分析先试验一下，在上图的方格表中选5格涂黑，然后按给定法则除黑另 一些格，直到上图（4）,已无法再将其余的方格涂黑.如果改变最初5格的位 置，虽然最后涂黑的部分会不同，但都不能将所有方格全部涂黑.为了证明这 一结论，如果将最初5格的不同位置一一列举出来，再逐个证明，当然也是可 以的（这种方法叫枚举法），不过过于繁琐.因此，应该在试验中寻求规律， 不被表面现象迷惑
.
证明，考虑徐黑过程中黑色区域的周界总长度.设小方榕的边长为1,则开始有5个摞格，摞色区域总长度不大于2。

・技照题设的徐黑法则，霉格在徐黑前后，黑色区域的周界不会变长（此方格至少有两边是原来黑色区域的周界，当此格涂黑后，这两边己不再是边界，而另两边可能成为边界）・艾咪能将所有方格都徐黑，那么黑色边界的忌长度应为24,由以上分析，这是不可能的，因此，无论怎样选择最初的5个方格，都不可能按照题设的法则将全部方格徐:黑.。