人教课标版高中数学选修2-3《二项式定理(第2课时)》教学设计

1.3 二项式定理第二课时
一、教学目标 1．核心素养
通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想增强了学生的逻辑推理能力. 2．学习目标
二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用. 3．学习重点
二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用. 4．学习难点
二项式定理和二项式系数性质的应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习自测
1.21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 解：D
2.8
2
1(12)x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
解：-42
3.若6
21x ax ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = ．
解：2
（二）课堂设计 1．知识回顾
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++
+∈，
（2）1(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 2．问题探究 问题探究一
●活动一 认知杨辉三角
在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？
()1b a + ()2b a + ()3b a +
()4b a + ()5b a + ()6b a +
仔细观察，你能发现什么规律？“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？ 二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 ●活动二 函数观点认知二项式系数
设函数()r n C r f =，这个函数的定义域是怎样的？试以n ＝6为例作出()r
n C r f =的函数图象，观察
函数图像，你能说出它的哪些性质？
()n a b +展开式的二项式系数是0n
C ，1n C ，2
n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m
n n
C C -=）． 直线2
n
r =
是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k
k n n n n n n k n k C C k k
----+-+=
=⋅
， ∴k n C 相对于1
k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112
n k n k k -++>⇔<
， 当12
n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最
大值；
当n 是偶数时，中间一项2n
n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C -，12n n
C
+取得最大值．
●活动三 认知二项式系数
各二项式系数的和等于多少？为什么？
∵1(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r n
n n n n n
C C C C C =+++
++
+ ●活动四 二项式系数、系数的应用 1. 二项式系数的性质
例1（1）多项式x 10＝a 0＋a 1 (x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45 【知识点：二项式系数的性质】
解：B x 10＝[1＋(x －1)]10＝1＋110C (x －1)＋210C (x －1)2＋…＋1010C (x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10对任意实数x 都成立，∴a 8＝810C ＝210C ＝45.
(2)二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为5
2
，则x 在[0,2π]内的值为________．
【知识点：二项式系数的性质】
详解：6π或56π.由题意得T 4＝36C ·sin 3x ＝20sin 3x ＝52，∴sinx ＝12，∵x ∈ [0,2π]，∴x ＝6
π
或56π.
(3)若261()x ax +
的二项展开式中，x 3的系数为5
2
，则二项式系数最大的项为________． 【知识点：二项式系数的性质】 解：52x 3.∵261231661()()r r r r r r
r T C x C a x ax ---+==，令12－3r ＝3，得r ＝3，∴36C a －3＝52
，解得a ＝2.
故二项式系数最大的项为T 4＝36C (x 2)331(
)2x ＝52
x 3
. 点拨：二项式系数、二项展开式中的项的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对
条件进行逐个击破.
2.用赋值法求二项式各项系数的和 例2在10)32(y x -的展开式中，求： ①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【知识点：用赋值法求二项式各项系数的和】
分析:因为二项式系数特指组合数r
n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数
无关.
详解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),
各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a ++
+,偶数项系数和为
9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和
10420a a a a ++++ .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .
②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C , 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .
④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- , 令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),
令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a …(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为2
5110+;
(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a ,∴偶数项的系数和为2
5110
-.
⑤x 的奇次项系数和为2
5110
9531-=++++a a a a ;
x 的偶次项系数和为2
5110
10420+=++++a a a a . 点拨：要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 3.综合运用
例3(1）设a ∈Z ，且0≤a<13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．B ．1 B ．C ．11 B ．D ．12 【知识点：二项式定理的应用】
解：A 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝02012C 522012－12012C 522011＋2
2012C 522010＋…＋20112012C ×52×(－1)2011＋20122012C ×(－1) 2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12.
（2）在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )
A ．第11项
B ．第13项
C ．第18项
D ．第20项 【知识点：二项式定理，数列的应用】
解：D. (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x 4项的系数为444567C C C ++＝123
567C C C ++＝5
＋15＋35＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D. （3）将2
1(1)n x
-
(n ∈N *
)的展开式中x －4的系数记为a n ，则232014111a a a +++=…________. 【知识点：二项式定理，不等式的应用】 解：
20131007.第r ＋1项2121()(1)r
r r r r n T C x x
-+=-=-，令－2r ＝－4，∴r ＝2， ∴a n ＝(－1)22n C ＝
(1)
2
n n +, 232014111222122320132014
11111120132[(1)()]2(1).
2232013201420141007
a a a ∴
+++=+++⨯⨯⨯=-+-++-=⨯-=………
点拨：涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，需要运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，同时注意二项式定理和不等式、数列的综合应用. 3．课堂总结
【知识梳理】
二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 【重难点突破】
涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 4．随堂检测
1.()20
25x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项.
【知识点：二项式定理的应用】 解：11
2.1
)n x
+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．
【知识点：二项式定理的应用】
解：.展开式中只有第六项的二项式系数最大，10n =，3
734101()T C x
==3.0n C +12n C +24n C +
+2n n n C 729=，则123
n
n n n n C C C C +++
+=（ ）
A ．63 B.64 C.31 D.32 【知识点：二项式定理的应用】 解：A
（三）课后作业 基础型 自主突破
1．
)
()
4
5
1
1x +-展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．
【知识点：二项式定理的应用】 解：45, 0.
2．多项式1223
3()(1)(1)(1)(1)n
n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-+
+-（6n >）的展开式中，6x 的系数
为 .
【知识点：二项式定理的应用】
解：0．提示：()()16n f x x n =-> 3．若二项式231(3)2n
x x
-
（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【知识点：二项式定理的应用】 解：B.
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（ ）
A.低于5％
B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间
D.在8％以上 【知识点：二项式定理的应用】 解：C.
5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q - 【知识点：二项式定理的应用】 解：D.
6．若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R)，求200912
22009
222
a a a +++…的值. 【知识点：二项式定理的应用】 解：令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝1
2，则200912022009222
a a a a ++++…＝0， ∴
2009
12
22009
222a a a +++…＝－1. 能力型 师生共研
7.
n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求(1－x )n
的展开式中系数最小的项的系数． 【知识点：二项式定理的应用】
解：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n ＝64，所以n ＝6，
(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－3
6C ＝－20.
8.若
n
-
的展开式中含有非零常数项，求正整数n 的最小值. 【知识点：二项式定理的应用】
解：
4
3
1
)((n r
r n r r r n r r
r n n
T C C x-
--
+
==
令
4
3
n r
-＝0，得
4
3
n r
=.∴n取最小值为4.
9．令a n为(1＋x)1
n＋的展开式中含x1
n－项的系数，求数列
1
{}
n
a
的前n项和.
【知识点：二项式定理的应用】
解：∵
11
()
r r
r n
T C x
++
=，∴12
11
(1)
2
n
n n n
n n
a C C
-
++
+
===，
12
(1)
n
a n n
=
+
，
∴
1
11111112
2(1)2(1).
223111
n
i n
n
a n n n n
=
=-+-++-=-=
+++
∑…
10．已知(x cosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋
5
4
)4的展开式中x3的系数相等，求cosθ. 【知识点：二项式定理的应用】
解：(x cosθ＋1)5＝(1＋x cosθ)5，展开式中x2的系数为2
5
C cos2θ.
(x＋
5
4
)4＝(
5
4
＋x)4，展开式中x3的系数为
5
4
3
4
C，
由题意可知2
5
C cos2θ＝
5
4
3
4
C，∴cos2θ＝
1
2
，
∴cosθ
＝
2
±.
探究型多维突破
11．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin(2φ＋
2
π
)＝________.
【知识点：二项式定理的应用】
解：
3
5
-
12.已知727
0127
(12)x a a x a x a x
-=++++，求：
（1）
127
a a a
+++；（2）
1357
a a a a
+++；（3）
017
||||||
a a a
+++.
【知识点：二项式定理的应用】
解：（1）当1
x=时，77
(12)(12)1
x
-=-=-，展开式右边为
0127
a a a a
++++
∴
0127
a a a a
++++1
=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a +++
+1=- ①
令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴1357a a a a +++=7
132
+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132a a a a -++++=，
∴017||||||a a a ++
+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=.
自助餐
1.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x 3的项的系数是( )
A.74
B.121
C.-74
D.-121 【知识点：二项式定理的应用】
解: D (1-x)5
+(1-x)6
+(1-x)7
+(1-x)8
＝x
x x x x x 9
545)1()1()1(1])1(1[)1(---=-----,(1-x)5中x 4的系数为
545=C ,-(1-x)9中x 4的系数为12649-=-C ,-126+5＝-121.
2.在n x x 2)212(+
的展开式中,x 2的系数是224,则21
x
的系数是( ) A.14 B.28 C.56 D.112 【知识点：二项式定理的应用】
解:A r n r n n r r
n r n r x
C x
x C T 222222212)21()
2(---+==,令2n-2r ＝2,r ＝n-1,则22421242=-n C ,∴561
2=-n n C . ∴n ＝4.再令8-2r ＝-2,∴r ＝5.∴22386144x
x C T ==-. 3.在(x+y)n 的展开式中,若第七项系数最大,则n 的值可能等于( )
A.13,14
B.14,15
C.12,13
D.11,12,13 【知识点：二项式定理的应用】
解:D 分三种情况:(1)若仅T 7系数最大,则共有13项,n ＝12;(2)若T 7与T 6系数相等且最大,则共有
12项,n ＝11;(3)若T 7与T 8系数相等且最大,则共有14项,n ＝13,所以n 的值可能等于11,12,13. 4．在(x ＋1)(2x ＋1)(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( )
A ．2n C
B ．21n
C + C ．1n n C -
D ．3
112
n C +
【知识点：二项式定理的应用】 解：B 1＋2＋3＋…＋n ＝
(1)
2
n n +＝21n C +. 5．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )
A.1(,)5-∞
B.4[,)5+∞
C.4
(,]5
-∞ D.(1,)+∞
【知识点：二项式定理的应用】
解：D 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝9r C ·x 9－r ·y r 依题意有
18
272991,
0.
C x y C x y x y xy ⎧⎪
+=⎨⎪⎩
≤，
＜由此得872(1)4(1)0(1)0x x x x x x ⎧---⎨-⎩≤，＜， 由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．
6．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 【知识点：二项式定理的应用】
解：D 512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．
7.在104)1
(x
x +的展开式中常数项是____________.(用数字作答)
【知识点：二项式定理的应用】
解:45 r
r r r r r x
C x
x C T 54010104101)1()(--+==T 要求常数项,即40-5r ＝0,可得r ＝8,代入通项公式可得452
1081018===+C C T .
8.若(x+1)n ＝x n +…+ax 3+bx 2+…+1(n ∈N *),且a ∶b ＝3∶1,那么n ＝_____________. 【知识点：二项式定理的应用】 解:11 33
n n n
C C
a ==-,2
2n
n n
C C
b ==- ,又a ∶b ＝3∶1,∴1323=n n C C .∴3)1(62
)2)(1(=-•--n n n n n ,解得n ＝11.
9.在(1＋x )3＋(1
3＋(1
)3的展开式中，x 的系数为_______(用数字作答)． 【知识点：二项式定理的应用】
11 / 11 解：7 1
3C ＋23C ＋33C ＝23－1＝7.
10．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，求a 3.
【知识点：二项式定理的应用】
解：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝25C (－
1)2＝10.
11.若(1-2x)2004＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2004x 2004(x ∈R ),求(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004).(用数字作答)
【知识点：二项式定理的应用】
解:2004令x ＝0,得a 0＝1;令x ＝1,得1＝a 0+a 1+a 2+…+a 2004,故(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004)＝2 003a 0+a 0+a 1+a 2+…+a 2004＝2 004.
12.已知(1+kx 2)6(k 是正整数)的展开式中,x 8的系数小于120,求k.
【知识点：二项式定理的应用】
解:(1+kx 2)6按二项式定理展开的通项为r r r r r r x k C kx C T 26261)(==+,∴x 8的系数为444615k k C =.∴15k 4＜120,也即k 4＜8.而k 是正整数,故k 只能取1.。