第三章函数的概念与性质【新教材】人教A版(2019)高中数学必修【解析版】

第三章函数的概念与性质单元测试题
1.函数兀\,)=七"的定义域为()
A. (1, 4-co) B . [1 , +oo)
C. [1, 2)
D. [1, 2)U(2, +oo)
x—1>0,
解析：选D.根据题意有…解得启1且原2.
|/一2找，
2.函数)的值域是()
A. [0, +8)
B. [1, +oo)
C. (0, +8)
D.(1, +8)
解析：选B.由题意知，函数的定义域为XWR,则『+1斗，所以a L
3.已知乂5- 1) = 〃+3,则46)的值为()
A. 15 C. 31
B. 7 D. 17
解析：选C.令*-1=乙则x=2f+2.
将x=2/+2 代入7(5-1)=公+3,
得负。

=2(2/+2) + 3=4/+7.
所以/U)=4x+7,所以/(6)=4x6 + 7 = 3L
4.若函数儿'•) = 〃/ +以+1是定义在［—1—% 2a］上的偶函数，则该函数的最大值为( )
A. 5
B. 4
D. 2
C. 3
解析：选A,因为函数氏、・)=0\,2 +法+1是定义在［—1-% 2〃］上的偶函数，所以一1一" + 2" =0,所以4=1,所以函数的定义域为［-2, 2］.因为函数图象的对称轴为x=0,所以｝=0, 所以兀、•)=『+］,所以x=±2时函数取得最大值，最大值为5.
1-x2, A<1, / 1 A
5・巳知函数网O的值为()
8
Cg D. 18
解析：选C.由题意得用)=32—3 — 3 = 3,那么‘方斗所以右右一卜娘=1 一出2=/
6.已知函数)，=A2X)+2A•是偶函数，且共2)=1,则共-2)=( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
解析：设g(x)=y=/(Zt) + 2A\ •••函数y=/(2x) + 2x 是偶函数，・・・g(-x)=H — 2x)-
2¥=g(x) = A2x) + 2x,即/( - 2x)=/(2x)+4x,当x= 1 时，4-2)=/(2)+4= 1 +4=5,故选 A.
7.已知函数外)的定义域为(0, +oo),且在(0, +8)上单调递增,则不等式/(x)»(2x—3)的解集是()
A. (-00, 3)
B. (3, 十功
C. (0,3)
D.(| , 3)
解析：本题考查函数的单调性.因为函数/W在(0, +8)上单调递增，所以/㈤/2丫-3)=筋
-3>0,解得;u<3,故选D.
8・甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元，他可以在h至白的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果
他在，4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（）
A.40万元
B. 60万元
C. 120万元
D. 140万元
解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120・6 = 20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20x2=40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买（120
+40）X=40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40x2 = 80万元，
，共获利40+80=120万元，故选C.
9. 一个偶函数定义在［ - 7,7］上，它在［0,7］上的图象如图所示，下列说法正确的是（C ）
A.这个函数仅有一个单调增区间
B.这个函数有两个单调减区间
解析：结合偶函数图象关于y 轴对称可知，这个函数在［-7, 7］上有三个单调递增区间，三个 单调递减区间，且定义域内有最大值7,无法判断最小值是多少.
10.函数段）=f-2ox+a+2在［0,㈤上的最大债为3,最小值为2,则，的值为（ ）
A. 0
B. 1 或 2
C. 1
D. 2 解析：二次函数）=/一2八.+〃 + 2的图象开口向上，且对称轴为x=a,所以该函数在［0, a ］ 上为减函数，因此有a+2 = 3且/—2/+a + 2 = 2,得4=1.
f X2 —f XI
11 .定义在R 上的偶函数兀t ）满足：对任意的修，心£［。

，+8）（x 洪H ）,君 - ------- <0,
X2 X 1
则（）
A. /⑶勺（一2）勺⑴
B.*）夕―2）43）
C.1―2）勺⑴勺⑶
D.43）勺⑴勺（―2）
解析：:/U ）是偶函数，・,次-2）=汽2）.
又丁任意的 xi,必£［0, +8）（XI R M ）, <-~二,J'—'—<0,・\/W 在［0, +8）上是减函 入 2 -X 1
数.
又・・・1<2<3,・•・/⑴次2）=D,故选A.
12 .函数Ax ）是定义在R 上的奇函数，下列命题：
①/⑼=0；②若於）在=,+8）上有最小值一 1,则於）在（-8, 0］上有最大值1；③若於） 在
［1, +8）上为增函数，则7W 在（-8, —1］上为减函数；④若Q0时，人#=/一2r,则X <0 时，/U ）= —X 2 —2x.
其中正确命题的个数是（）
B. 2c.这个函数在其定义域内有最大值是7 D.这个函数在其定义域内有最小值是一7
A. 1
解析：人目为R上的奇函数，则/(0)=0,①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，一心⑷，人一》)=(一外2—2(—x)=f + 2x,又所以/(%)=一『一2%,收④正确.
13.已知/U)为奇函数，g(x)=/(x) + 9, g( —2) = 3,则人2)=.
解析：根据已知条件，得以―2)=<-2)+9,又兀灯为奇函数，所以八-2)=-/(2),则3= 一心)+9,解得共2) = 6.
/+ (。

+ 1) x-\-a
14.设函数力>)= -------- ------ 为奇函数，则实数"=.
『十(〃+1) x+4 a
解析：f(x)=-------- ------- =x+;+a+1,
人人
W 此有人一')=一x+三+“+ 1,
因为兀t)为奇函数，
所以式-x)+/U) = O,
即为+ 2=0,所以a=一1.
卜，烂一2,
15.已知函数兀、•) = < x+1, —2VxV4,若人〃)<_3,则。

的取值范围是____________ .
、3x, x>4,
解析：当心一2时，/(“)=〃<—3,此时不等式的解集是(一8, -3);
当一2V“V4时，大4)="+1〈―3,此时不等式无解；
当色4时，A0=3aV—3,此时不等式无解.
所以a的取值范围是(一8, —3).
16.设奇函数/a)在(0, +8)上为增函数且/a)=o,则不等式人」--——匚<。

的解集为
f X —f —X f x
解析：因为JU ）为奇函数，所以不等式-------- ------ ＜。

化为〈°，即求x ）＜O ，/U ）的
人 人
大致图象如图所示.所以MUX 。

的解集为（一i,o ）u （o,i ）.
X 2 —Zv+«, x ＞\,
3-“一，闫是R 上的单调递增函数，则实数〃的取值范围
解析：f[x} =
显然函数/U ）在（1, +功上单调递增.
解得
18 .具有性质彳3=一大工）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数:
x, Owl, 1 1 n r= i
①尸》一；;②尸x+;;③' '中满足"倒负’交换的函数是（填序号）
.
人 人
x>\ X'
解析：对于①：= 5 - 4
=_Q_g=_/u ）,
17.已知1x) = / 故由已知可得,
3 — 2a>0,
a —1> 3 —2a xl-1,
所以①满足；
对于②：《）=：+#一小），
所以②不满足；
对于③：当0。

<1时，!>1, 人
则J（B=_X=-/U）,
当X=1时，显然满足，
当x>l 时，0<7<1, 人
则./（3=5=一负>）,所以③漕足.
答案：①③
19.已知函数/）=2%—黑且右） = 3.
（1）求实数。

的值；
（2）判断函数/U）在（1, +oo）上的单调性，并用定义证明.解：（1）因为负》= 2工一；,
且 (3)
所以,/（；）= 1 一方=3,解得4=-1.
（2）由（1）得yu）=2x+；, /U）在a, +8）上单调递增. 人
证明如下：
设 XI >X2 > 1 ,
1 1 2X1X2—1
则fM-fiX2）=2XI^--2X2--=（XI-M）———. 1 人2 人】人2 时为X\ >X2>ly
所以XI—X2>o, 2X]X2~ 1 >0, XlX2>0,
所以兀仃）>兀口），
所以人、）在（1, +应上单调递增.
x>x£[0, 2],
20.已知函数/a）=14 / 2
（2, 4].
lx 1 （1）在图中画出函数负力的大致图象；°
（2）写出函数人力的最大值和单调递减区间.
解：（1）函数人X）的大致图象如图所示.
（2）由函数外）的图象得出，/）的最大值为2,函数外）的单调递减区间为[2, 4].
21.已知Ax)是R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=/一x—1.
(1)求/U)的解析式；
(2)作出函数/U)的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间.
解：(1)设 xVO,则一x>0,
所以A-X)= (-X)2 — (一、)一1 =『+x— 1.
又因为函数/U)是奇函数，所以人一外=一力>),
所以f(x) = -f(-x)= -x2—1.
当x=O时,由汽0)= 一八0),得/(0)=0,
fx2—X— 1 (x>0),
所以/U)=< ° U=o),
一记一x+l (x<0).
(2)作出函数图象，如图所示.
由函数图象易得函数外)的单调递增区间为(一8, 一当，七，+8).
22.已知二次函数外)的最小值为1,且-0)=二2) = 3.
(1)求/U)的解析式；
(2)若./U)在区间［为，。

+1］上不单调，求实数。

的取值范围；
(3)在区间［—1,1］上，)，=/(x)的图象恒在丁=2%+2机+1的图象上方，试确定实数〃？的取值范围.
解：（1）由以0）=A2）知二次函数负为关于直线X=1对称，又函数/U）的最小值为1, 故可设/（工）=。

（工一 1户+1,
由式0）= 3,得a = 2.
枚大、）=25—4工+3.
（2）要使函数不单调，则2avlv，，+l,
, 1
则0«/<2.
（3）由已知，即2?_4X+3>2X+2〃?+1,
化简得 v2—3x+ 1 —m>0,
设 g（R =『-3x + 1 —〃?，则只要g（X）min>。

，
Vxe[-l,l],
• , g（x）min = g（ 1 ）= - 1 —〃7>0,得〃1< 一1.
23.已知函数/㈤是定义在R上的奇函数，当立0时，於）=二.求:
（1次X）的解析式；
（2求x）在[2,6]上的最大值和最小值.
解：（1）因为函数/U）是定义在R上的奇函数，
则当心>0时，一x<0,
—2x 2x
f（x}=一/（一'）= 一千T= 一布，
r 2x
所以/U）的解析式为
2x
~T7, v>0. x+ 1
⑵任取
、t~ 2x\
则久W)一./U2)=_F
人］I 1
2X2 _ 2xi 2 X2一项
X2+ 1 X1+ 1 JQ+1 XI + 1 "
2 X2 —XI
由2Sv.<r2<6 可得—"二厂>。

，
即兀仃）次也），
所以/U）在⑵6］上单调递减.
4
故当x=2时，/（X）取得最大值一Q；
12
当x=6时，/（x）取得最小值一万.
工+〃7 24.已知/㈤是定义在R上的奇函数，且人、）=2二F.
人 I 〃人I 1（1）求〃?，〃的值；
（2）用定义证明於）在（一 1,1）上为增函数;
⑶苦於•埼对•%£ 一.］恒成立,求。

的取值范围.解：（D因为奇函数段）的定义域为R,所以人0）= 0.
0+〃？
故有狗=西版甲=0，
解得m= 0.
X
所以兀'）=后亦.
由—一1）=-/0）.
-1 1
-1 2 + 〃x -1 +1 i2+«xi + r
留得〃=0.
所以〃? = 〃= 0.
（2）证明：由（1）知凡（）==丁，任取一10」02<1.
♦0 | 1
, X\ X2
见几口）一,穴也）=石［一/
XI 五+1 —X2XT 4- 1
=XT+1 7+1
Xl.d —X2XT + Xl —X2
- X?+ 1 A?+l
X\—%2 1-X\X2
=~XT+1 A-2+1-,
因为一- 1 <\'2< 1 , 所以一IVlQVl.
故1 —内也>。

，又因为X\<X2,
所以Xl—X2<0,
故於1）一/2）<0,
即凡引人烟）,
所以函数於）在（一1,1）上为增函数.
（3）由（2）知危）在（一1,1）上为增函数, 所以函数於）在［一；，；上为增函数, 故最大值为局=需
a 3 9由题意可得空而，解得〃柒.
故4的取值范围为［4, +8).。