2014-2015第一学期经管类微积分III期末试卷答案

1、(10分）计算下列极限
（1）11lim sin n
n k k n
n π→∞=∑； （2）2
2
222[]lim (2)x
u t
x e du dt
x -→-⎰⎰； (3）4
2
0sin lim 1n
n x
dx x π
→∞+⎰。

解：（1）由定积分的定义得11001112
lim sin sin cos |.n
n k k xdx x n
n πππππ→∞===-=∑⎰ （2）由洛必达法则得 2
2
2
2
2
42
2
2
2
2[]1lim
lim
lim .(2)2(2)22
x
u u x t
x
x x x e du dt
e du
e e x x ----→→→==-=---⎰⎰⎰
（3)44
2200sin 120lim limsin ()arctan )014142
n
n n n n n x dx dx x x π
πππ→∞→∞→∞≤≤=⋅=++⎰⎰。

或0411lim lim 1sin lim 01
40402=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≤+≤+∞→∞→∞→⎰⎰n n n n n n n dx x dx x x ππ
π.
或利用积分中值公式
4220sin sin lim lim 0141n n
n
n n n x dx x π
ξπξ→∞→∞==++⎰，2sin 0sin sin 0,(0,).144
n n n n n n n n ξππξξξ≤≤≤→∞∈+ 2、(20分）计算下列积分 （1）212
1I x =+； （2）22cos(21)I x x dx =+⎰；
(3）()
2
2
8
7
232
ln(1)sin cos d I x
x x x x x π
π-=
++++⎰;(4）240
|sin 3|d I x x x π
=⎰
解：(1）2
222212
tan tan sec tan sec (sec t 1)sec sec 1t
I x t tdt t tdt tdt t x ====-+⎰⎰⎰令
32sec tdt sec sec (tan )sec sec tan tan sec sec tdt td t tdt t t t tdt tdt =-=-=⋅--⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以
2211111
sec tan sec sec tan ln |sec tan |1ln |12222
I t t tdt t t t t c x x x x c =⋅-=⋅-++=++++⎰。

另解：222
2
212
2
2
=11ln |1111I x dx x x x x x x x =
+-=+-+++++
厦门大学微积分（III ）期末考试试卷
2014级经管类试卷（A ） 考试日期2015.1.21
故
2
1
11
ln|c
22
I x
==+.
（2）222
2
11
cos(21)sin(21)sin(21)sin(21)
22
I x x dx x d x x x x x dx
=+=+=+-+
⎰⎰⎰
2
111
sin(21)cos(21)cos(21)
222
x x x x x dx
=+++-+
⎰
2
111
sin(21)cos(21)sin(21)
224
x x x x x c
=+++-++.
（3
）由于ln(x+
为奇函数，2ln(
x x+也为奇函数，则有
()
28787
222
3
222
ln(sin cos d sin d cos d
I x x x x x x x x x
πππ
πππ
---
=+++=+
⎰⎰⎰
87
22
00
75316423516
2sin d2cos d2[]2[]
8642275325635
x x x x
ππππ
=+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+
⎰⎰。

（4)
因为
1
sin2(sin)2sin()
223
x x x x x
π
=-=-，且它是以2π为周期的函数，故
222
4000
1
|sin|d2|sin|d2|sin()|d
223
I x x x x x x x x
ππππ==-=-
⎰⎰⎰
3
3
2|sin()|d32|sint|d4sintd8
3
x x x t t t
π
πππ
ππ
π
π
π
+
-
-+
=--===
⎰⎰⎰。

其中利用积分公式
,(,),()()()().
a T T
a
a x f x T f x f x dx f x dx
+
∀∈-∞+∞+==
⎰⎰
若，则
3．（10分）已知()
f x具有二阶连续导数，()
g x为连续函数，且满足
00
()
()lncos(),lim2
x
x
g x
f x x
g x t dt
x
→
'=+-=-
⎰
试问：0
x=是否是()
f x的极值点？(0,(0)
f是否是曲线()
y f x
=的拐点？请论证说明理由. 解：由()
g x的连续性和
()
lim2
x
g x
x
→
=-及极限的保号性知，
00
()
(0)lim()lim(2)00
x x
g x
g g x x
x
→→
==⋅=-⋅=，
且存在0
x=的某个邻域(,)
δδ
-，使得当0
x
δ-<<时,()0
g x>，当0xδ
<<时,()0
g x<，
由
00
()lncos()lncos()
x x
f x x
g x t dt x g t dt
'=+-=+
⎰⎰，其中00
()()
x x
g x t dt x t u g u du
--=
⎰⎰
知(0)0
f'=,0
x=是()
f x的驻点，且当0
x
δ-<<时,
()lncos()0
x
f x x
g t dt
'=+<
⎰
当0x δ<<时， 0
()lncos ()0x
f x x
g t dt '=+<⎰,即()f x '在0x =的邻域内不变号,所以0x =不是
()f x 的极值点。

再由0
()[lncos ()]tan ()x
f x x
g t dt x g x '''=+=-+⎰，且(0)0f ''=.
当0x δ-<<时， ()0f x ''>，当0x δ<<时， ()0f x ''<，即()f x ''在0x =的邻域内变号， 故(0,(0)f 是函数曲线的()y f x =的拐点。

4、(10分）设()f x 是区间[,]a b 上单调减少的连续函数,且()0,[,]f x x a b >∀∈，求证：在(,)a b 内存在唯一的ξ，使得在区间[,]a ξ上以()y f x =为曲边的曲边梯形的面积与在[,]b ξ上以()f ξ为高的矩形面积相等。

证明：由题设条件，欲证(,)a b ξ∃∈，使得()()()a
f x dx f b ξ
ξξ=-⎰.
构造辅助函数 ()()()(),[]x
a
F x f t dt f x b x x a,b =--∈⎰
显然()F x 在区间[,]a b 上连续，且
()()()()()()0a a
F a f t dt f a b a f a b a =--=--<⎰，()()()()()0b b
a
a
F b f t dt f b b b f t dt =--=>⎰⎰
由闭区间上连续函数的零点定理知，()F x 在区间(,)a b 内必有零点，即存在()a,b ξ∈，使得
()()()()0a
F f x dx f b ξ
ξξξ=--=⎰，即得
()()()a
f x dx f b ξ
ξξ=-⎰。

{或利用洛尔定理证. 令()()(),[]x a
G x x b f t dt x a,b =-∈⎰，显然()[]G x a,b 在上满足洛尔定理的三个
条件,由洛尔定理，存在()a,b ξ∈，使得()=0,G ξ'即
()()()a
f x dx f b ξ
ξξ=-⎰。

}
下面利用()F x 的单调性来证ξ存在的唯一性。

对1212,[],x x a,b x x ∀∈<.
21
212211()()()()()()()()x x a
a
F x F x f t dt f x b x f t dt f x b x -=---+-⎰⎰
2
1
2211()()()()()x x f t dt f x b x f x b x =--+-⎰
2
1
122121()[()()]()()()0x x f t dt f x f x b x f x x x =+--+->⎰
其中上式右端第一、三项为正，第二项非负，故()F x 在[,]a b 上严格单调增加,因此ξ是唯一的.
5、(10分）判断广义积分
+20
arctan d x
x
e x e
∞⎰
的敛散性，若收敛则求出其广义积分值。

解：由于
22arctan ,(0,)2
x x
x e e x e π-≤∈+∞，因为+20
1
d 2
x e x ∞-=⎰
收敛,
由比较判别法知广义积分
+20
arctan d x
x
e x e
∞⎰
收敛。

222222arctan arctan 111arctan d d arctan d()[]22(1)
x x
x
e t dt t t
x e t t e t t t t t t =⋅=-=--+⎰⎰⎰⎰ 222
21arctan d d 1arctan 1
[][arctan ]212t t t t t c t t t t t
=--+=-++++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2x x x
x e e c e e
=-+++ 所以
+220
arctan 1arctan 1d [arctan ]2x x
x
x x x
e e x e e e e +∞
∞=-++⎰
211arctan 1
(2arctan11)lim[arctan ]22x x x x x e e e e →+∞=+-++ 11(1)2242
ππ=
+-=。

6、(15分）现过点)2,0(作曲线3y x Γ=：的切线L 。

（1)求L 的方程；（2)求Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.
解：（1）设切点为300(,)x x ，则有200()3y x x '=，所以L 的方程为32
0003()y x x x x -=-，
将2,0==y x 代入L 的方程，有13
0-=x ,解得唯一实根01x =-，故切点为(1,1)--,切线方程为32y x =+.
(2) 由332
y x y x ⎧=⎨=+⎩解得121,2x x =-=，故所求D 的面积为23127(32)4S x x dx -=+-=⎰.
（3） 所求体积为2
2320
264[(32)()]7
V x x dx ππ
=+-=
⎰。

7、（15分)设()f x 在[,]a b 上连续可微，且函数曲线()y f x =在[,]a b 上是下凸的(即函数曲线形如
型），证明:1()()
()()d 22
b a a b f a f b f f x x b a ++≤≤-⎰. 证：先证左边的不等式。

由已知条件曲线()y f x =在[,]a b 上是下凸的，其函数曲线()y f x =总在曲线切线的上方.令02
a b
x +=
，则有 000()()()(),[,]f x f x f x x x x a b '≥+-∈，两边从a 到b 积分，得
000000()d ()d ()()d ()d ()()d b b b b b
a
a
a
a
a
f x x f x x f x x x x f x x f x x x x ''≥+-=+-⎰
⎰⎰⎰⎰
0()()()()2
a b
b a f x b a f +=-=-， 其中
0()d ()d 02
b b
a
a
a b
x x x x x +-=-
=⎰
⎰。

即1()d ()2
b a a b f x x f b a +≥-⎰，此即左边的不等式. 下面证右边的不等式
再由已知条件曲线()y f x =在[,]a b 上是下凸的，则其函数曲线()y f x =总在曲线端点弦连线的下方。

则有 ()()
()()(),[,]f b f a f x f a x a x a b b a
-≤+
-∈-,两边从a 到b 积分,得
2
()()()()()()d ()d ()d ()()2
b b b a
a
a f
b f a f b f a b a f x x f a x x a x b a f a b a b a ---≤+-=-+⋅--⎰
⎰
⎰ ()[()()]()()
()()()22
b a f b f a f b f a b a f a b a --+=-+
=-
即 1()()
()d ()2
b a f b f a f x x b a +≤-⎰，此即要证的右边的不等式。

证毕！
8、（10分)某企业将投资800万元生产一种产品,假设在投资的20年中该企业以200万元/年的速度均匀地收回资金，如果按年利率5％的连续复利计算，试计算该项投资收入的现值及投资回收期.
解:以题意收益率为200，投资总收益的现值为
现值20
0.050.0510
100200=200dt |4000(1)2528.40.05
t
t e
e e ---=-=-=⎰ 假设回收期为T 年，则
0.050
200dt 800T t e -=⎰
，即0.050200|8000.05
t T
e --
= 由此解得20ln 0.8 4.46T =-=年,所以投资回收期为4。

46年.。